Научим решать линейные уравнения быстрее всех в классе
Начать учиться

Решение простых линейных уравнений

Решение простых линейных уравнений
377.3K

Сначала мы решаем уравнения в школе в тетрадях, а потом в уме на совещаниях. В статье расскажем, как решать самые простые уравнения быстро и легко.

Понятие уравнения

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.

Например, возьмем выражение 2 + 4 = 6. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 6 = 6.

Уравнением можно назвать выражение 2 + x = 6, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Корень уравнения — то самое число, которое при подстановке на место неизвестной уравнивает выражения справа и слева.

Решить уравнение значит найти все возможные корни или убедиться, что их нет.

Решить уравнение с двумя, тремя и более переменными — это два, три и более значения переменных, которые обращают данное выражение в верное числовое равенство.

Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.

Демоурок по математике
Узнайте, какие темы у вас «хромают», а после — разбирайте их без зубрежки формул и скучных лекций.
Демоурок по математике

Какие бывают виды уравнений

Уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные.

Особенность преобразований алгебраических уравнений в том, что в левой части должен остаться многочлен от неизвестных, а в правой — нуль.

Линейное уравнение выглядят так: ах + b = 0, где a и b — действительные числа. Вот, что поможет в решении:

  • если а ≠ 0 — уравнение имеет единственный корень: х = -b : а;

  • если а = 0 — уравнение корней не имеет;

  • если а и b равны нулю, то корнем уравнения является любое число.

Квадратное уравнение выглядит так: ax2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, a ≠ 0.

Числовой коэффициент — число, которое стоит при неизвестной переменной.

Кроме линейных и квадратных есть и другие виды уравнений, с которыми мы познакомимся в следующий раз:

Онлайн-курсы по математике за 7 класс помогут закрепить новые знания на практике с талантливым преподавателем.

Как решать простые уравнения

Чтобы научиться решать простые линейные уравнения, нужно запомнить формулу и два основных правила.

1. Правило переноса. При переносе из одной части в другую, член уравнения меняет свой знак на противоположный.

Для примера рассмотрим простейшее уравнение: x+3=5.

Начнем с того, что в каждом уравнении есть левая и правая часть.

Левая и правая часть уравнения

Перенесем 3 из левой части в правую и меняем знак на противоположный.

Решение уравнения правилом переноса

Можно проверить: 2 + 3 = 5. Все верно. Корень равен 2.

Решим еще один пример: 6x = 5x + 10.

Как решаем:

  1. Перенесем 5x из правой части в левую. Знак меняем на противоположный, то есть на минус.

    6x - 5x = 10

  2. Приведем подобные и завершим решение.

    x = 10

Ответ: x = 10.

2. Правило деления. В любом уравнении можно разделить левую и правую часть на одно и то же число. Это может ускорить процесс решения. Главное — быть внимательным, чтобы не допустить глупых ошибок.

Применим правило при решении примера: 4x=8.

При неизвестной х стоит числовой коэффициент — 4. Их объединяет действие — умножение.

Числовой коэффициент при неизвестном

Чтобы решить уравнение, нужно сделать так, чтобы при неизвестной x стояла единица.

Разделим каждую часть на 4. Как это выглядит:

Деление на 4

Теперь сократим дроби, которые у нас получились и завершим решение линейного уравнения:

Сокращение дробей в примере

Рассмотрим пример, когда неизвестная переменная стоит со знаком минус: -4x = 12

Как решаем:

  1. Разделим обе части на -4, чтобы коэффициент при неизвестной стал равен единице.

    -4x = 12 | : (-4)
    x = −3

Ответ: x = −3.

Если знак минус стоит перед скобками, и по ходу вычислений его убрали — важно не забыть поменять знаки внутри скобок на противоположные. Этот простой факт позволит не допустить обидные ошибки, особенно в старших классах.

Напомним, что не у каждого линейного уравнения есть решение — иногда корней просто нет. Изредка среди корней может оказаться ноль — ничего страшного, это не значит, что ход решения оказался неправильным. Ноль — такое же число, как и остальные.

Способов решения линейных уравнений немного, нужно запомнить только один алгоритм, который будет эффективен для любой задачки.

Алгоритм решения простого линейного уравнения
  1. Раскрываем скобки, если они есть.
  2. Группируем члены, которые содержат неизвестную переменную в одну часть уравнения, остальные члены — в другую.
  3. Приводим подобные члены в каждой части уравнения.
  4. Решаем уравнение, которое получилось: aх = b. Делим обе части на коэффициент при неизвестном.

Чтобы быстрее запомнить ход решения и формулу линейного уравнения, скачайте или распечатайте алгоритм — храните его в телефоне, учебнике или на рабочем столе.

Блок-схема решений линейного уравнения

Бесплатные занятия по английскому с носителем
Занимайтесь по 15 минут в день. Осваивайте английскую грамматику и лексику. Сделайте язык частью жизни.
Бесплатные занятия по английскому с носителем

Примеры линейных уравнений

Теперь мы знаем, как решать линейные уравнения. Осталось попрактиковаться на задачках, чтобы чувствовать себя увереннее на контрольных. Давайте решать вместе!

Пример 1. Как правильно решить уравнение: 6х + 1 = 19.

Решаем так:

  1. ЮПеренести 1 из левой части в правую со знаком минус.

    6х = 19 − 1

  2. Выполнить вычитание.

    6х = 18

  3. Разделить обе части на множитель, стоящий перед переменной х, то есть на 6.

    х = 3

Ответ: 3.

Пример 2. Как решить уравнение: 5(х − 3) + 2 = 3(х − 4) + 2х − 1.

Решаем так:

  1. Раскрыть скобки

    5х − 15 + 2 = 3х − 12 + 2х − 1

  2. Сгруппировать в левой части члены с неизвестными, а в правой — свободные члены. Не забываем при переносе из одной части уравнения в другую поменять знаки на противоположные у переносимых членов.

    5х − 3х − 2х = −12 − 1 + 15 − 2

  3. Приведем подобные члены.

    0х = 0

Ответ: х — любое число.

Пример 3. Решить: 4х = 1/8.

Решаем так:

  1. Разделим обе части уравнения на множитель стоящий перед переменной х, то есть на 4.

    х = 1/8 : 4

    х = 1/32

Ответ: 1/32.

Пример 4. Решить: 4(х + 2) = 6 − 7х.

Решаем так:

  1. 4х + 8 = 6 − 7х

  2. 4х + 7х = 6 − 8

  3. 11х = −2

  4. х = −2 : 11

  5. х = −2/11

Ответ: −2/11 или −(0,18). О десятичных дробях можно почитать в другой нашей статье.

Пример 5. Решить: пример 5

Решаем так:

  1. пример 5, шаг 1

  2. 3(3х - 4) = 4 · 7х + 24

  3. 9х - 12 = 28х + 24

  4. 9х - 28х = 24 + 12

  5. -19х = 36

  6. х = 36 : (-19)

  7. х = - 36/19

Ответ: 1 17/19.

Пример 6. Как решить линейное уравнение: х + 7 = х + 4.

Решаем так:

  1. Сгруппировать в левой части неизвестные члены, в правой — свободные члены:

    х – х = 4 - 7

  2. Приведем подобные члены.

    0 * х = - 3

Ответ: нет решений.

Пример 7. Решить: 2(х + 3) = 5 − 7х.

Решаем так:

  1. 2х + 6 = 5 − 7х

  2. 2х + 7х = 5 − 6

  3. 9х = −1

  4. х = −1/9

Ответ: −1/9.



 
Шпаргалки по математике родителей
Все формулы по математике под рукой
Шпаргалки по математике родителей

Бесплатный вводный урок по математике в онлайн школе Skysmart

На вводном уроке с методистом

  1. Определим уровень и дадим советы по обучению
  2. Расскажем, как проходят занятия
  3. Подберём курс

Оставляя заявку, вы принимаете условия соглашения об обработке персональных данных