Разложение многочлена на множители — это тождественное преобразование суммы одночленов в произведение двух или нескольких множителей (одночленов и скобок). В школьной алгебре и на ОГЭ/ЕГЭ применяются 4 главных метода: 1) вынесение общего множителя за скобки; 2) формулы сокращённого умножения (ФСУ); 3) метод группировки; 4) разложение квадратного трёхчлена по корням: ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂).
- Метод 1 — Вынесение общего множителя за скобки:
a·b + a·c = a · (b + c)(всегда проверяется самым первым шагом!). - Метод 2 — Формулы сокращённого умножения (ФСУ):
a² − b² = (a − b)(a + b);a² ± 2ab + b² = (a ± b)²;a³ ± b³ = (a ± b)(a² ∓ ab + b²). - Метод 3 — Группировка (для 4 слагаемых):
ac + ad + bc + bd = a(c + d) + b(c + d) = (c + d)(a + b). - Метод 4 — Разложение квадратного трёхчлена через корни x₁ и x₂:
ax² + bx + c = a · (x − x₁) · (x − x₂)(не теряйте старший коэффициент a перед скобками!).
Правило для бланка ОГЭ и ЕГЭ: при разложении квадратного трёхчлена ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂) для сокращения дробей в Задании №22 ОГЭ никогда не забывайте писать множитель a перед первой скобкой!
2. Корни: x₁ = (5 + 1)/2 = 3; x₂ = (5 − 1)/2 = 2.
3. Разложение: 1 · (x − 3)(x − 2) = (x − 2)(x − 3).
1. Теорема Безу и алгоритмы факторизации
Многочлен f(x) считается разложенным на множители, если его можно представить в виде произведения двух или более многочленов меньшей степени.
Пример: многочлен
Ещё примеры разложения многочленов на множители:
-
Разложение квадратного трёхчлена.
Пусть у нас есть многочлен
Пример:
Разложение на множители:
-
Вынесение общего множителя за скобки.
Пример:
Общий множитель:
Разложение:
-
Разложение многочлена более высокой степени может потребовать применения различных методов, таких как метод группировки, использование теоремы Безу или даже численные методы.
Пример:
Разложение на множители:
Разложение многочлена на множители — важный математический инструмент, применяемый в различных областях, начиная с алгебры и заканчивая приложениями в физике и инженерии. Оно помогает упростить выражения и решить уравнения, которые могут быть слишком сложными для решения в исходном виде.
2. Практикум: разбор реальных задач ОГЭ и ЕГЭ
1. Сначала выносим общий множитель 5a за скобки: 5a · (a² − 9).
2. К скобке применяем разность квадратов a² − 3²: 5a(a − 3)(a + 3).
1. Группируем попарно: x²(x − 3) − 4(x − 3) = 0.
2. Выносим общую скобку (x − 3) и раскладываем x² − 4: (x − 3)(x − 2)(x + 2) = 0.
3. Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю: x₁ = −2; x₂ = 2; x₃ = 3.
1. Разложим числитель по корням (x₁ = 2, x₂ = 3): (x − 2)(x − 3).
2. Разложим знаменатель по разности квадратов: (x − 3)(x + 3).
3. Сокращаем на (x − 3) (при x ≠ 3): (x − 2) / (x + 3).
Получи больше пользы от Skysmart:
-
Прокачивай знания на курсах математики
-
Выбирай из 1200+ репетиторов по математике
Записывайся на бесплатные курсы для детей
3. Контрольный чек-лист: на чём срезаются школьники
- Ловушка экзамена: При разложении квадратного трёхчлена не забывайте про старший коэффициент a: a(x − x₁)(x − x₂), а не просто скобки!
- Ловушка экзамена: При группировке со знаком минус перед скобками меняйте знаки внутри: −(4x + 12), а не −(4x − 12).
- Ловушка экзамена: Разность квадратов раскладывается на множители, а сумма квадратов a² + b² на действительные множители НЕ раскладывается!
В уравнении №20 разложение на множители — основной метод решения. Репетиторы Skysmart научат безошибочно видеть группировку слагаемых.
На индивидуальных уроках на онлайн-курсах по математике в Skysmart методисты и действующие эксперты экзаменационной комиссии разбирают все подводные камни темы и доводят решение до автоматизма.
4. Ответы на частые вопросы (FAQ)
Всегда ли многочлен можно разложить на множители?
Не всегда: например, x² + 1 или x² + x + 1 не имеют действительных корней и не раскладываются на множители в действительных числах.
В чём разница между разложением на множители и раскрытием скобок?
Это взаимно обратные операции: раскрытие скобок превращает произведение в сумму, а разложение на множители превращает сумму в произведение.
