Как решать систему уравнений

Основные понятия

Алгебра в 8 и 9 классе становится сложнее. Но если изучать темы последовательно и регулярно практиковаться в тетрадке и онлайн — ходить на уроки математики будет не так страшно.

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.

Например, возьмем выражение 3 + 4 = 7. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 7 = 7.

Уравнением можно назвать выражение 3 + x = 7, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Система уравнений — это несколько уравнений, для которых надо найти значения неизвестных, каждое из которых соответствует данным уравнениям.

Так как существует множество уравнений, составленных с их использованием систем уравнений также много. Поэтому для удобства изучения существуют отдельные группы по схожим характеристикам. Рассмотрим способы решения систем уравнений.

Система линейных уравнений с двумя переменными

Уравнение вида ax + by + c = 0 называется линейным уравнением с двумя переменными x и y, где a, b, c — числа.

Решением этого уравнения называют любую пару чисел (x; y), которая соответствует этому уравнению и является верным числовым равенством.

Вот алгоритм построения графика ax + by + c = 0, где a ≠ 0, b ≠ 0: 

1. Дать переменной 𝑥 конкретное значение x = x₁, и найти значение y = y₁ при

ax₁ + by + c = 0.

2. Дать 𝑥 другое значение x = x₂, и найти соответствующее значение y = y₂ при ax₂ + by + c = 0.
3. Построить на координатной плоскости xOy точки: (x₁; y₁); (x₂; y₂).
4. Проводим прямую через эти две точки и вуаля — график готов. 

Система двух линейных уравнений с двумя переменными

Для ax + by + c = 0 можно сколько угодно раз брать произвольные значение для x и находить значения для y. Решений в таком случае может быть бесчисленное множество.

Система линейных уравнений (ЛУ) с двумя переменными образуется в случае, когда x и y связаны не одним, а двумя уравнениями. Такая система может иметь одно решение или не иметь решений совсем. Выглядит это дело вот так:

Из первого ЛУ a₁x + b₁y + c₁ = 0 можно получить линейную функцию, при условии если b₁ ≠ 0: y = k₁x + m₁. График — прямая линия.

Из второго ЛУ a₂x + b₂y + c₂ = 0 можно получить линейную функцию, если b₂ ≠ 0: y = k₂x + m₂. Графиком снова будет прямая линия.

Можно записать систему иначе:

Множеством решений первого ЛУ является множество точек, лежащих на определенной прямой, аналогично и для второго ЛУ. Если эти прямые пересекаются — у системы есть единственное решение. Это возможно при условии, если k₁ ≠ k₂.

Две прямые могут быть параллельны, а значит они никогда не пересекутся и система не будет иметь решений. Это возможно при следующих условиях: k₁ = k₂ и m₁ ≠ m₂.

Две прямые могут совпасть, и тогда каждая точка будет решением, а у системы будет бесчисленное множество решений. Это возможно при следующих условиях: k₁ = k₂ и m₁ = m₂.

Метод подстановки

Разберем решение систем уравнений методом подстановки. Вот алгоритм при переменных x и y:

1. Выразить одну переменную через другую из более простого уравнения системы.

2. Подставить то, что получилось на место этой переменной в другое уравнение системы.

3. Решить полученное, найти одну из переменных.

4. Подставить поочередно каждый из найденных корней в уравнение, которое получили на первом шаге, и найти второе неизвестное значение.

Ответ принято записывать в виде пар значений (x; y).

Метод сложения

Теперь решим систему уравнений способом сложения. Алгоритм с переменными x и y:

1. Приравнять модули коэффициентов при одном из неизвестных.

2. Сложить или вычесть уравнения.

3. Решить полученное с одной переменной.

3. Подставить поочередно каждый из найденных корней в одно из уравнений исходной системы. Найти второе неизвестное.

Ответ принято записывать в виде пар значений (x; y).

Система линейных уравнений с тремя переменными

Системы ЛУ с двумя переменными решают так же, как и с двумя. В них присутствуют три неизвестных с коэффициентами и свободный член. Выглядит так:

• ax + by + cz = d

Решений в таком случае может быть бесчисленное множество. Придавая двум переменным различные значения, можно найти третье значение. Ответ принято записывать в виде тройки значений (x; y; z).

Если x, y, z связаны между собой тремя уравнениями, то образуется система трех ЛУ с тремя переменными. Для решения такой системы можно применять метод подстановки и метод сложения.

Решение задач

Разберем примеры решения систем уравнений.

Задание 1. Как привести к нормальному виду это уравнение

5x - 8y = 4x - 9y + 3

Как решаем:

1. 5x - 8y = 4x - 9y + 3


2. 5x - 8y - 4x + 9y = 3


3. x + y = 3

Задание 2. Как решать систему уравнений способом подстановки

Как решаем:

1. Выразить у из первого:
   

2. Подставить полученное выражение во второе:
   
3. Найти соответствующие значения у:
   

Ответ: (2; -1), (-1; 2).

Задание 3. Как решать систему уравнений методом сложения

Как решаем:

1. Решение систем линейных уравнений начинается в внимательного просмотра задачи. Заметим, что можно исключить у. Для этого умножим первое уравнение на минус два и сложим со вторым:
   

2. Решаем полученное квадратное уравнение любым способом. Находим его корни:
   

3. Найти у, подставив найденное значение в любое место:
   

4. Ответ: (1; 1), (1; -1).

Задание 4. Решить систему уравнений

Как решаем:

Ответ: (2; 4); (5; 13).

Задание 5. Как решить систему уравнений с двумя неизвестными

Как решаем:

При у = -2 первое уравнение не имеет решений, при у = 2 получается:

Ответ: (-4; 2); (4; 2).