Как решать систему уравнений

Основные понятия

Алгебра в 8 и 9 классе становится сложнее. Но если изучать темы последовательно и регулярно практиковаться в тетрадке и онлайн — ходить на уроки математики будет не так страшно.

Например, возьмем 3 + 4 = 7. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 7 = 7.

Уравнением можно назвать, например, равенство 3 + x = 7 с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Так как существует множество уравнений, составленных с их использованием систем уравнений также много. Поэтому для удобства изучения существуют отдельные группы по схожим характеристикам. Рассмотрим способы решения систем уравнений.

Линейное уравнение с двумя переменными

Уравнение вида ax + by + c = 0 называется линейным уравнением с двумя переменными x и y, где a, b, c — числа.

Решением этого уравнения называют любую пару чисел (x; y), которая соответствует этому уравнению и обращает его в верное числовое равенство.

Вот алгоритм построения графика ax + by + c = 0, где a ≠ 0, b ≠ 0: 

1. Дать переменной 𝑥 конкретное значение x = x₁, и найти значение y = y₁ при ax₁ + by + c = 0.

2. Дать x другое значение x = x₂, и найти соответствующее значение y = y₂ при ax₂ + by + c = 0.

3. Построить на координатной плоскости xy точки: (x₁; y₁); (x₂; y₂).

4. Провести прямую через эти две точки и вуаля — график готов. 

Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!

Система двух линейных уравнений с двумя переменными

Для ax + by + c = 0 можно сколько угодно раз брать произвольные значение для x и находить значения для y. Решений в таком случае может быть бесчисленное множество.

Система линейных уравнений (ЛУ) с двумя переменными образуется в случае, когда x и y связаны не одним, а двумя уравнениями. Такая система может иметь одно решение или не иметь решений совсем. Выглядит это вот так:

Из первого линейного уравнения a₁x + b₁y + c₁ = 0 можно получить линейную функцию, при условии если b₁ ≠ 0: y = k₁x + m₁. График — прямая линия.

Из второго ЛУ a₂x + b₂y + c₂ = 0 можно получить линейную функцию, если b₂ ≠ 0: y = k₂x + m₂. Графиком снова будет прямая линия.

Можно записать систему иначе:

Множеством решений первого ЛУ является множество точек, лежащих на определенной прямой, аналогично и для второго ЛУ. Если эти прямые пересекаются — у системы есть единственное решение. Это возможно при условии, если k₁ ≠ k₂.

Две прямые могут быть параллельны, а значит, они никогда не пересекутся и система не будет иметь решений. Это возможно при следующих условиях: k₁ = k₂ и m₁ ≠ m₂.

Две прямые могут совпасть, и тогда каждая точка будет решением, а у системы будет бесчисленное множество решений. Это возможно при следующих условиях: k₁ = k₂ и m₁ = m₂.

Метод подстановки

Разберем решение систем уравнений методом подстановки. Вот алгоритм при переменных x и y:

1. Выразить одну переменную через другую из более простого уравнения системы.

2. Подставить то, что получилось на место этой переменной в другое уравнение системы.

3. Решить полученное уравнение, найти одну из переменных.

4. Подставить поочередно каждый из найденных корней в уравнение, которое получили на первом шаге, и найти второе неизвестное значение.

5. Записать ответ. Ответ принято записывать в виде пар значений (x; y).

Потренируемся решать системы линейных уравнений методом подстановки.

Пример 1

1. Решите систему уравнений:

   x − y = 4
   x + 2y = 10

2. Выразим x из первого уравнения:

   x − y = 4
   x = 4 + y

3. Подставим получившееся выражение во второе уравнение вместо x:

   x + 2y = 10
   4 + y + 2y = 10

4. Решим второе уравнение относительно переменной y:

   4 + y + 2y = 10
   4 + 3y = 10
   3y = 10 − 4
   3y = 6
   y = 6 : 3
   y = 2

5. Полученное значение подставим в первое уравнение вместо y и решим уравнение:

   x − y = 4
   x − 2 = 4
   x = 4 + 2
   x = 6
   

Ответ: (6; 2).

Пример 2

1. Решите систему линейных уравнений:

   x + 5y = 7
   3x = 4 + 2y

2. Сначала выразим переменную x из первого уравнения:

   x + 5y = 7
   x = 7 − 5y

3. Выражение 7 − 5y подставим вместо переменной x во второе уравнение:

   3x = 4 + 2y
   3 (7 − 5y) = 4 + 2y

4. Решим второе линейное уравнение в системе:

   3 (7 − 5y) = 4 + 2y
   21 − 15y = 4 + 2y
   21 − 15y − 2y = 4
   21 − 17y = 4
   17y = 21 − 4
   17y = 17
   y = 17 : 17
   y = 1

5. Подставим значение y в первое уравнение и найдем значение x:

   x + 5y = 7
   x + 5 = 7
   x = 7 − 5
   x = 2

Ответ: (2; 1).

Пример 3

1. Решите систему линейных уравнений:

   x − 2y = 3
   5x + y = 4

2. Из первого уравнения выразим x:

   x − 2y = 3
   x = 3 + 2y

3. Подставим 3 + 2y во второе уравнение системы и решим его:

   5x + y = 4
   5 (3 + 2y) + y = 4
   15 + 10y + y = 4
   15 + 11y = 4
   11y = 4 − 15
   11y = −11
   y = −11 : 11
   y = −1

4. Подставим получившееся значение в первое уравнение и решим его:

   x − 2y = 3
   x − 2 (−1) = 3
   x + 2 = 3
   x = 3 − 2
   x = 1

Ответ: (1; −1).

Метод сложения

Теперь решим систему уравнений способом сложения. Алгоритм с переменными x и y:

1. При необходимости умножаем почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами.

2. Складываем почленно левые и правые части уравнений системы.

3. Решаем получившееся уравнение с одной переменной.

4. Находим соответствующие значения второй переменной.

5. Запишем ответ в в виде пар значений (x; y).

Система линейных уравнений с тремя переменными

Системы ЛУ с тремя переменными решают так же, как и с двумя. В них присутствуют три неизвестных с коэффициентами и свободный член. Выглядит так:

• ax + by + cz = d

Решений в таком случае может быть бесчисленное множество. Придавая двум переменным различные значения, можно найти третье значение. Ответ принято записывать в виде тройки значений (x; y; z).

Если x, y, z связаны между собой тремя уравнениями, то образуется система трех ЛУ с тремя переменными. Для решения такой системы можно применять метод подстановки и метод сложения.

Решение задач

Разберем примеры решения систем уравнений.

Задание 1. Как привести уравнение к к стандартному виду ах + by + c = 0?

5x − 8y = 4x − 9y + 3

Как решаем:

1. 5x − 8y = 4x − 9y + 3

2. 5x − 8y − 4x + 9y = 3

3. x + y = 3

Задание 2. Как решать систему уравнений способом подстановки

Как решаем:

1. Выразить у из первого уравнения:
   

2. Подставить полученное выражение во второе уравнение:
   

3. Найти соответствующие значения у:
   

Ответ: (2; −1), (−1; 2).

Задание 3. Как решать систему уравнений методом сложения

Как решаем:

1. Решение систем линейных уравнений начинается с внимательного просмотра задачи. Заметим, что можно исключить у. Для этого умножим первое уравнение на минус два и сложим со вторым:
   

2. Решаем полученное квадратное уравнение любым способом. Находим его корни:
   

3. Найти у, подставив найденное значение в любое уравнение:
   

4. Ответ: (1; 1), (1; -1).

Задание 4. Решить систему уравнений

Как решаем:

Решим второе уравнение и найдем х = 2, х = 5. Подставим значение переменной х в первое уравнение и найдем соответствующее значение у.

Ответ: (2; 4); (5; 13).

Задание 5. Как решить систему уравнений с двумя неизвестными

Как решаем:

При у = -2 первое уравнение не имеет решений, при у = 2 получается:

Ответ: (-4; 2); (4; 2).