Центральная симметрия — это отображение, при котором каждая точка фигуры перемещается на противоположную относительно заданного центра симметрии. Например, точка A(2, 3) при центральной симметрии относительно точки O(0, 0) переходит в точку A'(-2, -3). Эти преобразования сохраняют прямые и плоскости, переводя их в параллельные.
Что такое симметрия
Симметрия — это соразмерность, пропорциональность частей чего-либо, расположенных по обе стороны от центра. Говоря проще, если обе части от центра одинаковы, то это симметрия.
Ось симметрии фигуры — это прямая, которая делит фигуру на две симметричные части. Чтобы наглядно понять, что такое ось симметрии, внимательно рассмотрите рисунок.
Центр симметрии — это точка, в которой пересекаются все оси симметрии.
Вернемся к рисунку: на нем мы видим фигуры, имеющие ось и центр симметрии.
Рассмотрите фигуры с осевой и центральной симметрией.
- Ось симметрии угла — биссектриса.
- Ось симметрии равностороннего треугольника — биссектриса, медиана, высота.
- Оси симметрии прямоугольника проходят через середины его сторон.
- У ромба две оси симметрии — прямые, содержащие его диагонали.
- У квадрата 4 оси симметрии, так как он сразу и квадрат, и ромб.
- Ось симметрии окружности — любая прямая, проведенная через ее центр.
Витрувианский человек да Винчи — хрестоматийный пример симметрии. Принято считать, что, чем предмет симметричнее, тем он красивее. Хотя, по секрету, в природе нет ничего абсолютно симметричного, так уж задумано. Вся идеальная симметрия — дело рук человека.
Осевая симметрия
Вот как звучит определение осевой симметрии:
Осевой симметрией называется симметрия, проведенная относительно прямой. При осевой симметрии любой точке, расположенной по одну сторону прямой, всегда соответствует другая точка на второй стороне этой прямой.
При этом отрезки, соединяющие эти точки, перпендикулярны оси симметрии.
Осевая симметрия часто встречается в повседневной жизни. К сожалению, не на фото в паспорте и не в стрелках на глазах. Но её вполне себе можно встретить в половинках авокадо, на морде кота или в зданиях вокруг. Осевая симметрия — неотъемлемая часть архитектуры. Оглядитесь и поищите примеры осевой симметрии вокруг вас.
В геометрии есть фигуры, обладающие осевой симметрией: квадрат, треугольник, ромб, прямоугольник.
Давайте разберемся, как построить фигуру, симметричную данной относительно прямой.
Пример 1. Постройте треугольник A1B1C1 ,симметричный треугольнику ABC относительно прямой.
- Проведем из вершин треугольника ABC три прямые, перпендикулярные оси симметрии, выведем эти прямые на другую сторону оси симметрии.
- Найдем расстояние от вершин треугольника ABC до точек на оси симметрии.
- С другой стороны прямой отложим такие же расстояния.
- Соединяем точки отрезками и строим треугольник A1B1C1, симметричный треугольнику ABC.
- Получаем два треугольника, симметричных относительно оси симметрии.
Пример 2. Постройте треугольник, симметричный треугольнику ABC относительно прямой d.
- Строим по уже известному алгоритму. Проводим прямые, перпендикулярные прямой d, из вершин треугольника ABC и выводим их на другую сторону оси симметрии.
- Измеряем расстояние от вершин до точек на прямой.
- Откладываем такие же расстояния на другой стороне оси симметрии.
- Соединяем точки и строим треугольник A1B1C1.
Пример 3. Построить отрезок A1B1, симметричный отрезку AB относительно прямой l.
- Проводим через точку А прямую, перпендикулярную прямой l.
- Проводим через точку В прямую, перпендикулярную прямой l.
- Измеряем расстояния от точек А и В до прямой l.
- Откладываем такое же расстояние на перпендикулярных прямых от прямой l по другую сторону и ставим точки A1 и B1.
- Соединяем точки A1 и B1.
Больше примеров и увлекательных заданий — на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart!
Получи больше пользы от Skysmart:
-
Прокачивай знания на курсах математики.
-
Выбирай из 1200+ репетиторов по математике.
Записывайся на бесплатные курсы для детей.
Центральная симметрия
Теперь поговорим о центральной симметрии — вот ее определение:
Центральной симметрией называется симметрия относительно точки.
Фигуры с центральной симметрией, как и фигуры с осевой симметрией, окружают нас повсюду. Центральную симметрию можно заметить в живой природе, в разрезе фруктов и в цветах.
Давайте разберемся, как построить центральную симметрию и рассмотрим алгоритм построения фигур с центральной симметрией.
Пример 1: Постройте треугольник A1B1C1 ,симметричный треугольнику ABC, относительно центра (точки О).
- Соединяем точки ABC c центром и выводим эти прямые на другую сторону оси.
- Измеряем отрезки AO, BO, CO и откладываем равные им отрезки с другой стороны от центра (точки О).
- Получившиеся точки соединяем отрезками A1B1 A1C1 B1C1.
- Получаем треугольник A1B1C1, симметричный треугольнику ABC, относительно центра.
Пример 2. Построить отрезок A1B1, симметричный отрезку AB относительно центра (точки О).
- Измеряем расстояние от точки B до точки О и от точки А до точки О.
- Проводим прямую из точки А через точку О и выводим ее на другую сторону.
- Проводим прямую из точки B через точку О и выводим ее на другую сторону.
- Чертим на противоположной стороне отрезки А1О и B1О, равные отрезкам АО и АB.
- Соединяем точки A1 и B1 и получаем отрезок A1B1, симметричный данному.
Задачи на самопроверку
В 8 классе геометрия — сплошная симметрия: центральная, осевая, зеркальная да какая угодно. Чтобы во всем этом не поплыть, больше тренируйтесь. Чертите и приглядывайтесь, угадывайте вид симметрии и решайте больше задачек. Вот несколько упражнений для тренировки. Мы в вас очень верим!
Задачка 1. Рассмотрите симметричные геометрические рисунки и назовите вид симметрии.
Мы рассмотрели примеры осевой и центральной симметрии и знаем, что:
Симметрия относительно прямой — осевая
Симметрия относительно точки — центральная
Задачка 2. Пусть M и N какие-либо точки, l — ось симметрии. М1 и N1 — точки,
симметричные точкам M и N относительно прямой l. Докажите, что MN = М1N1.
Подсказка: опустите перпендикуляры из точек N и N1 на прямую MМ1.
Задачка 3. Постройте фигуру, симметричную данной относительно прямой a.
