Осевая и центральная симметрия

Осевая и центральная симметрия — тема для перфекционистов, любителей снимков в отражении и противников заваленного горизонта. Симметрично — значит красиво? Тогда давайте разберемся, что такое симметрия с точки зрения математики.
  • Автор

    Анастасия Белова

  • Рубрика

    8 класс

  • Дата публикации

    09.12.2020

  • Просмотры

    82188

Что такое симметрия

Симметрия — это соразмерность, пропорциональность частей чего-либо, расположенных по обе стороны от центра. Говоря проще, если обе части от центра одинаковы, то это симметрия.

Ось симметрии фигуры — это прямая, которая делит фигуру на две симметричные части. Чтобы наглядно понять, что такое ось симметрии, внимательно рассмотрите рисунок.


Ось симметрии фигуры

Центр симметрии — это точка, в которой пересекаются все оси симметрии.

Вернемся к рисунку: на нем мы видим фигуры, имеющие ось и центр симметрии.

Рассмотрите фигуры с осевой и центральной симметрией.

  • Ось симметрии угла — биссектриса.
  • Ось симметрии равнобедренного треугольника — биссектриса, медиана, высота.
  • Оси симметрии прямоугольника проходят через середины его сторон.
  • У ромба две оси симметрии — прямые, содержащие его диагонали.
  • У квадрата 4 оси симметрии, так как он сразу квадрат, треугольник (если его сложить пополам) и ромб.
  • Ось симметрии окружности — любая прямая, проведенная через ее центр.

Витрувианский человек да Винчи

Витрувианский человек да Винчи — хрестоматийный пример симметрии. Принято считать, что, чем предмет симметричнее, тем он красивее. Хотя, по секрету, в природе нет ничего абсолютно симметричного, так уж задумано. Вся идеальная симметрия — дело рук человека.

 

Осевая симметрия

Вот как звучит определение осевой симметрии:

Осевой симметрией называется симметрия, проведенная относительно прямой. При осевой симметрии любой точке, расположенной по одну сторону прямой, всегда соответствует другая точка на второй стороне этой прямой.

При этом отрезки, соединяющие эти точки, перпендикулярны оси симметрии.

На рисунках осевая симметрия: точки A и B симметричны относительно прямой a; точки R и F симметричны относительно прямой AB

Осевая симметрия часто встречается в повседневной жизни. К сожалению, не на фото в паспорте и не в стрелках на глазах. Но её вполне себе можно встретить в половинках авокадо, на морде кота или в зданиях вокруг. Осевая симметрия — неотъемлемая часть архитектуры. Оглядитесь и поищите примеры осевой симметрии вокруг вас.


Примеры осевой симметрии в реальной жизни

В геометрии есть фигуры, обладающие осевой симметрией: квадрат, треугольник, ромб, прямоугольник.

Давайте разберемся, как построить фигуру, симметричную данной относительно прямой.

Пример 1. Постройте треугольник A1B1C1 ,симметричный треугольнику ABC относительно прямой.


Пример постройки симметричного прямоугольника относительно прямой
  1. Проведем из вершин треугольника ABC три прямые, перпендикулярные оси симметрии, выведем эти прямые на другую сторону оси симметрии.

  2. Найдем расстояние от вершин треугольника ABC до точек на оси симметрии.

  3. С другой стороны прямой отложим такие же расстояния.

  4. Соединяем точки отрезками и строим треугольник A1B1C1, симметричный треугольнику ABC.

  5. Получаем два треугольника, симметричных относительно оси симметрии.
 

Пример 2. Постройте треугольник, симметричный треугольнику ABC относительно прямой d.


Задача построить симметричный прямоугольник относительно прямой
  1. Строим по уже известному алгоритму. Проводим прямые из вершин треугольника ABC и выводим их на другую сторону оси симметрии.

  2. Измеряем расстояние от вершин до точек на прямой.

  3. Откладываем такие же расстояния на другой стороне оси симметрии.

  4. Соединяем точки и строим треугольник A1B1C1.
 

Пример 3. Построить отрезок A1B1, симметричный отрезку AB относительно прямой l.


Здание построить симметричный отрезок относительно прямой
  1. Измеряем расстояние от точки B до прямой l и от точки A до прямой l.

  2. Проводим прямую от точки А через прямую l под прямым углом к прямой l, выводя за ось симметрии.

  3. Проводим прямую от точки B через прямую l под прямым углом к прямой l, выводя за ось симметрии.

  4. Соединяем точки A1 и B1 и получаем отрезок A1B1, симметричный данному.

Центральная симметрия

Теперь поговорим о центральной симметрии — вот ее определение:

Центральной симметрией называется симметрия относительно точки.

На картинках центральная симметрия: точка O здесь — центр симметрии

Фигуры с центральной симметрией, как и фигуры с осевой симметрией, окружают нас повсюду. Центральную симметрию можно заметить в живой природе, в разрезе фруктов и в цветах на 8 марта.


центральная симметрия

Давайте разберемся, как построить центральную симметрию и рассмотрим алгоритм построения фигур с центральной симметрией.

Пример 1: Постройте треугольник A1B1C1 ,симметричный треугольнику ABC, относительно центра (точки О).


Задание построить симметричный треугольник относительно центра
  1. Соединяем точки ABC c центром и выводим эти прямые на другую сторону оси.

  2. Измеряем отрезки AO, BO, CO и откладываем равные им отрезки с другой стороны от центра (точки О).

  3. Получившиеся точки соединяем отрезками A1B1 A1C1 B1C1.

  4. Получаем треугольник A1B1C1, симметричный треугольнику ABC, относительно центра.

Пример 2. Постройте треугольник A1B1C1, симметричный треугольнику ABC, относительно центра (точки О).


Задача построить симметричный треугольник относительно центра
  1. По аналогии с предыдущим примером сначала соединяем точки ABC с точкой O.

  2. Выводим прямые за точку О.

  3. Измеряем отрезки AO, BO, CO и отмеряем такие же на противоположной стороне.

  4. Получаем два центрально-симметричных треугольника.

Пример 3. Построить отрезок A1B1, симметричный отрезку AB относительно центра (точки О).


Задача построить симметричный отрезок относительно центра
  1. Измеряем расстояние от точки B до точки О и от точки А до точки О.

  2. Проводим прямую из точки А через точку О и выводим ее на другую сторону.

  3. Проводим прямую из точки B через точку О и выводим ее на другую сторону.

  4. Чертим на противоположной стороне отрезки равные отрезкам АО и OB.

  5. Соединяем точки A1 и B1 и получаем отрезок A1B1, симметричный данному.

Задачи на самопроверку

В 8 классе геометрия — сплошная симметрия: центральная, осевая, зеркальная да какая угодно. Чтобы во всем этом не поплыть, больше тренируйтесь. Чертите и приглядывайтесь, угадывайте вид симметрии и решайте больше задачек. Вот несколько упражнений для тренировки. Мы в вас очень верим!

Задачка 1. Рассмотрите симметричные геометрические рисунки и назовите вид симметрии.

Мы рассмотрели примеры осевой и центральной симметрии и знаем, что:

Симметрия относительно прямой — осевая
Симметрия относительно точки — центральная


Опознайте вид симметрии

Задачка 2. Пусть M и N какие-либо точки, l — ось симметрии. М1 и N1 — точки,
симметричные точкам M и N относительно прямой l. Докажите, что MN = М1N1.


Докажите симметричность отрезка

Подсказка: опустите перпендикуляры из точек N и N1 на прямую MМ1.

Задачка 3. Постройте фигуру, симметричную данной относительно прямой a.


Задание построить симметричную фигуру относительно оси
 
 
  • 0
  • 0
  • 0
  • 0
  • 0
  • 0