Признаки равенства треугольника

Чего только не приходится делать на уроках геометрии. Но нет ничего приятнее, чем сесть и доказать равенство треугольников по трем признакам.
  • Автор

    Анастасия Белова

  • Дата публикации

    17.12.2020

  • Просмотры

    4496

Первый признак равенства треугольников

Конечно, равенство треугольников всегда можно доказать наложением одного треугольника на другой. Но, согласитесь, — это несерьезно. Какое может быть наложение, когда есть три теоремы и можно их доказать. 

Давайте рассмотрим три признака равенства треугольников. 

Теорема 1. Равенство треугольников по двум сторонам и углу между ними. 

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. 

Даны два треугольника △ABC  и  △A1B1C1,  у которых: AC = A1C1,  AB = A1B1,  ∠A = ∠A1.


Равенство треугольников по двум сторонам и углу между ними

Докажите равенство треугольников △ABC  =  △A1B1C1.

Доказательство:


△A1B1C1 =  △ABC, если при наложение вершина  A1  совмещается с вершиной  A,  и сторона  A1B1  совмещается со стороной  AB,  AC —  со стороной A1C1,
A1B1 = AB, вершина B совпадает с вершиной B1
A1C1 = AC,  поскольку ∠A = ∠A1, вершина C совпадает с вершиной C1.
B1C1 = BC,
△ABC  =  △A1B1C1.

Теорема доказана.

Важно!
Первый признак используют при доказательстве второго и третьего признаков равенства треугольников.

Второй признак равенства треугольников

Теорема 2. Равенство треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам. 

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. 

Даны два треугольника △ABC  и  △A1B1C1,  у которых:
AC = A1C1,  ∠A = ∠A1,  ∠C = ∠C1.


Равенство треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам

Докажите, что △ABC  =  △A1B1C1.

Доказательство:

Путем наложения △ABC на △A1B1C1, совмещаем вершину А с вершиной  A1.
Тогда АС совмещается с  A1C1, вершина C совпадает с C1, поскольку мы знаем, что АС = A1C1.

AB = A1B1, поскольку мы знаем, что ∠A = ∠A1,
CB = C1B1, поскольку мы знаем, что ∠C = ∠C1.
B совпадает с B1, △ABC    △A1B1C1.

Теорема доказана.

Третий признак равенства треугольников

Теорема 3. Равенство треугольников по трем сторонам.

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Даны два треугольника △ABC  и  △A1B1C1,  у которых:
AC = A1C1,
AB = A1B1,
CB = C1B1.  


Равенство треугольников по трем сторонам

Докажите, что △ABC  = △A1B1C1.

Доказательство 3 признака равенства треугольников:

Наложим △ABC на △A1B1C1, таким образом, чтобы вершина A совпала с вершиной A1, вершина B — с вершиной B1, вершина C — с вершиной C1.

AC = A1C1, BC = B1C1, то △A1C1С и △B1C1С — равнобедренные.
∠1=∠2, ∠3=∠4 (по свойству равнобедренного треугольника),
∠A1СB1 = ∠A1C1B1.
AC = A1C1, BC = B1C1
∠C = ∠C1, тогда △ABC  = △A1B1C1.

Теорема доказана. 

Кроме трех основных теорем, запомните еще несколько свойств равенства треугольников.

Равны ли треугольники, можно определить не только по сторонам и углам, но и по высоте, медиане и биссектрисе.

 
  1. Если угол, сторона, противолежащая этому углу, и высота, опущенная на другую сторону, одного треугольника соответственно равны углу, стороне и высоте другого треугольника — такие треугольники равны.
    равный треугольник

  2. Если две стороны и медиана, заключенная между ними, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и медиане другого треугольника — такие треугольники равны.
    равный треугольник 2

  3. Если сторона и две медианы, проведенные к двум другим сторонам, одного треугольника соответственно равны стороне и двум медианам другого треугольника — такие треугольники тоже равны.
    равный треугольник 3

  4. Если две стороны и биссектриса, заключенная между ними, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и биссектрисе другого треугольника — вы уже догадались сами: эти ребята равны.
    равный треугольник 4

  5. Два треугольника равны, если сторона, медиана и высота, проведенные к другой стороне, одного треугольника соответственно равны стороне, медиане и высоте другого треугольника.
    равный треугольник 5

Как видите, доказать равенство треугольников можно по множеству признаков и десятком способом. Три признака равенства треугольников — основные. Все остальные способы также стоит запомнить, ведь треугольник — только с виду простая фигура.

В онлайн-школе Skysmart ваш ребенок научится доказывать любые теоремы и справляться с даже самыми сложными задачками на контрольных. Вас ждут опытные преподаватели, удобная интерактивная платформа и даже онлайн-доска, на которой можно чертить фигуры вместе с учителем.

Записывайтесь на бесплатный вводный урок по математике и начните заниматься в удовольствие уже завтра!

Бесплатный вводный урок
Шаг 1 из 2. Данные ученика
Класс
Цель обучения
Поделиться: