Признаки равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников

Конечно, равенство треугольников всегда можно доказать наложением одного треугольника на другой. Но, согласитесь, — это несерьезно. Какое может быть наложение, когда есть три теоремы и можно их доказать. 

Давайте рассмотрим три признака равенства треугольников. 

Теорема 1. Равенство треугольников по двум сторонам и углу между ними. 

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. 

Даны два треугольника △ABC  и  △A₁B₁C₁,  у которых AC = A₁C₁,  AB = A₁B₁, ∠A = ∠A₁.

Докажите, что △ABC  =  △A₁B₁C₁.

Доказательство:

При наложении △A₁B₁C₁ на △ABC вершина  A₁  совмещается с вершиной  A,  и сторона  A₁B₁ накладывается на сторону AB,  AC — на сторону A₁C₁.

Сторона A₁B₁ совмещается со стороной AB, вершина B совпадает с вершиной B₁, сторона A₁С₁ совмещается со стороной AС, вершина C совпадает с вершиной C₁.

Значит, происходит совмещение вершин В и В₁, С и С₁.

B₁C₁ = BC, следовательно, △ABC совмещается с △A₁B₁C, значит, △ABC = △A₁B₁C₁.

Теорема доказана.

Второй признак равенства треугольников

Теорема 2. Равенство треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам. 

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. 

Даны два треугольника △ABC  и  △A₁B₁C₁,  у которых:
AC = A₁C₁,  ∠A = ∠A₁,  ∠C = ∠C₁.

Докажите, что △ABC  =  △A₁B₁C₁.

Доказательство:

Путем наложения △ABC на △A₁B₁C₁, совмещаем вершину А с вершиной  A₁, вершины В и В₁ лежат по одну сторону от А₁С₁.

Тогда АС совмещается с  A₁C₁, вершина C совпадает с C₁, поскольку мы знаем, что АС = A₁C₁.

AB накладывается на A₁B₁, поскольку мы знаем, что ∠A = ∠A₁.

CB накладывается на C₁B₁, поскольку мы знаем, что ∠C = ∠C₁.

Вершина B совпадает с вершиной B₁.

Если АВ совмещается с А₁В₁, ВС совмещается с В₁С₁, то △ABC совмещается с △A₁B₁C₁, значит, △ABC = △A₁B₁C₁ .

Теорема доказана.

Третий признак равенства треугольников

Теорема 3. Равенство треугольников по трем сторонам.

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Даны два треугольника △ABC  и  △A₁B₁C₁,  у которых:
AC = A₁C₁,
AB = A₁B₁,
CB = C₁B₁.  

Докажите, что △ABC  = △A₁B₁C₁.

Доказательство 3 признака равенства треугольников:

Приложим △ABC к △A₁B₁C₁ таким образом, чтобы вершина A совпала с вершиной A₁, вершина B — с вершиной B₁, вершина C и вершина C₁ лежат по разные стороны от прямой А₁В₁.

AC = A₁C₁, BC = B₁C₁, то △A₁C₁С и △B₁C₁С — равнобедренные.
∠1=∠2, ∠3=∠4 (по свойству равнобедренного треугольника), значит,
∠A₁СB₁ = ∠A₁C₁B₁.
AC = A₁C₁, BC = B₁C₁. 
∠C = ∠C₁, тогда △ABC  = △A₁B₁C₁ (по первому признаку равенства треугольников).

Теорема доказана. 

Кроме трех основных теорем, запомните еще несколько признаков равенства треугольников.

Равны ли треугольники, можно определить не только по сторонам и углам, но и по высоте, медиане и биссектрисе.

1. Если угол, сторона, противолежащая этому углу, и высота, опущенная на другую сторону, одного треугольника соответственно равны углу, стороне и высоте другого треугольника — такие треугольники равны.
   


2. Если две стороны и медиана, заключенная между ними, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и медиане другого треугольника — такие треугольники равны.
   


3. Если сторона и две медианы, проведенные к двум другим сторонам, одного треугольника соответственно равны стороне и двум медианам другого треугольника — такие треугольники тоже равны.
   


4. Если две стороны и биссектриса, заключенная между ними, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и биссектрисе другого треугольника — вы уже догадались сами: эти ребята равны.
   


5. Два треугольника равны, если сторона, медиана и высота, проведенные к другой стороне, одного треугольника соответственно равны стороне, медиане и высоте другого треугольника.
   

Как видите, доказать равенство треугольников можно по множеству признаков и десятком способов. Три признака равенства треугольников — основные. Все остальные способы также стоит запомнить, ведь треугольник — только с виду простая фигура.