Область определения функции y = f(x) (обозначается D(f) или D(y)) — это множество всех допустимых значений независимой переменной (аргумента x), при которых функция задана и имеет смысл. Геометрически D(f) — это проекция («тень») всего графика функции на горизонтальную ось абсцисс Ox (от самой левой точки графика до самой правой)!
- Область определения основных элементарных функций: многочлены
y = kx + b,y = ax² + bx + c, а такжеy = sin x, cos x, aˣ: D(y) = (−∞; +∞) = R (любое число!). - Функции с ограничениями по формуле: гипербола и дробь
y = P(x) / Q(x)➔ Q(x) ≠ 0; кореньy = √f(x)➔ f(x) ≥ 0; логарифмy = logₐ f(x)➔ f(x) > 0. - Отличие области определения D(y) от области значений E(y): D(y) читается по горизонтальной оси Ox (по иксу), а область значений E(y) — по вертикальной оси Oy (по игреку)!
Правило для бланка ОГЭ и ЕГЭ: при поиске области определения функции по готовому графику всегда смотрите ТОЛЬКО на горизонтальную ось Ox (от какого x слева начинается график и каким x справа заканчивается), не путая её с высотой графика по оси Oy!
2. Подстановка в формулу (D(y) — все допустимые значения аргумента X (по оси Ox!)): Подкоренное выражение обязано быть неотрицательным: 2x − 8 ≥ 0
3. Итоговый ответ: Решаем неравенство: 2x ≥ 8 ⇒ x ≥ 4 ⇒ D(y) = [4; +∞)
1. Главные формулы и правила темы «Область определения функции»
2. Подробный теоретический разбор, свойства и наглядные схемы
Для кого эта статья:
- Школьники, изучающие математику в 7 классе
- Студенты старших классов, углубляющиеся в тему функций
- Преподаватели и репетиторы математики
Получи больше пользы от Skysmart:
-
Прокачивай знания на курсах математики
-
Выбирай из 1200+ репетиторов по математике
Записывайся на бесплатные курсы для детей
Понятие области определения функции
Впервые школьники знакомятся с термином «функция» на алгебре в 7 классе, и с каждой четвертью, с каждой новой темой это понятие раскрывается с новых сторон. И, конечно же, усложняются задачки. Сейчас дадим определения ключевым словам и будем находить область определения функции заданной формулой и по графику.
Если каждому значению x из некоторого множества соответствует число y, значит, на этом множестве задана функция. При этом х называют независимой переменной или аргументом, а у — зависимой переменной или функцией.
Зависимость переменной у от переменной х называют функциональной зависимостью. Записывают так: y = f(x).
Функция — это соответствие между двумя множествами, причем каждому элементу первого множества соответствует один элемент второго множества.
Из понятия функции сформулируем определение области определения функции.
Область определения функции — это множество всех значений аргумента (переменной x). Геометрически — это проекция графика функции на ось Ох. Чтобы обозначить область определения некоторой функции y, используют запись D(y).
Множество значений функции — множество всех значений, которые функция принимает на области определения. Геометрически — это проекция графика функции на ось Оy.
- Например, область значений функции y = x2 — это все числа больше либо равные нулю. Это можно записать так: Е (у): у ≥ 0.
Область определения можно описывать словами, но часто ответ получается громоздким. Поэтому используют специальные обозначения.
|
Если мы хотим указать на множество чисел, которые лежат в некотором промежутке, то делаем так:
|
Например, все действительные числа от 2 до 5 включительно можно записать так:
- [2; 5].
Все положительные числа можно описать так:
- (0; +∞).
Ноль не положительное число, поэтому скобка возле него круглая.
Области определения основных элементарных функций
Область определения функции — неотъемлемая часть самой функции. Когда мы вводим какую-либо функцию, то сразу указываем ее область определения.
На уроках алгебры мы последовательно знакомимся с каждой функцией: прямая пропорциональность, линейная функция, функция y = x2 и другие. А области их определения изучаем, как свойства.
Рассмотрим области определения основных элементарных функций.
Область определения постоянной функции
Постоянная функция задается формулой y = C, то есть f(x) = C, где C — некоторое действительное число. Ее еще называют константа.
Смысл функции — в том, что каждому значению аргумента соответствует значение функции, которое равно C. Поэтому, область определения этой функции — множество всех действительных чисел R.
Например:
- Область определения постоянной функции y = -3 — это множество всех действительных чисел: D(y) = (−∞, +∞) или D(y) = R.
- Областью определения функции y = 3√9 является множество R.
Для тех, кто учится в 7 классе, материала выше достаточно, чтобы подготовиться к контрольной работе. А вот старшеклассникам нужно разбираться в теме несколько глубже — поэтому продолжаем.
Еще больше наглядных примеров и практики — на курсах по математике в онлайн-курсах Skysmart!
Область определения функции с корнем
Функцию с корнем можно определить так: y = n√x, где n — натуральное число больше единицы.
Рассмотрим две вариации такой функции.
Область определения корня зависит от четности или нечетности показателя:
- Если n — четное число, то есть, n = 2m, где m ∈ N, то ее область определения есть множество всех неотрицательных действительных чисел:
- Если показатель корня нечетное число больше единицы, то есть n = 2m+1, при этом m принадлежит к N, то область определения корня — множество всех действительных чисел:
Значит, область определения каждой из функций y = √x, y = 4√x, y = 6√x,… есть числовое множество [0, +∞). А область определения функций y = 3√x, y = 5√x, y = 7√x,… — множество (−∞, +∞).
Пример
Найти область определения функции: 
Как решаем:
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, но поскольку оно стоит в знаменателе, то равняться нулю не может. Следовательно, для нахождения области определения необходимо решить неравенство x2 + 4x + 3 > 0.
Для этого решим квадратное уравнение x2 + 4x + 3 = 0. Находим дискриминант:
D = 16 - 12 = 4 > 0
Дискриминант положительный. Ищем корни:
Значит парабола f(x) = x2 + 4x + 3 пересекает ось абсцисс в двух точках. Часть параболы расположена ниже оси (неравенство x2 + 4x + 3 < 0), а другая часть — выше оси (неравенство x2 + 4x + 3 > 0).
Поскольку коэффициент a = 1 > 0, то ветви параболы смотрят вверх. Можно сделать вывод, что на интервалах (−∞, -3) ∪ (−1, +∞) выполнено неравенство x2 + 4x + 3 > 0 (ветви параболы уходят вверх на бесконечность), а вершина параболы расположена на промежутке (-3; -1) ниже оси абсцисс, что соответствует неравенству x2 + 4x + 3 < 0.
Ответ: область определения: D(f) = (−∞, -3) ∪ (−1, +∞).
Если в знаменателе функции стоит выражение, зависящее от х, то для того, чтобы найти область определения данной функции, нам нужно исключить точки, которые обращают знаменатель в ноль.
Область определения степенной функции
Степенная функция выглядит так: y = xa, то есть, f(x) = xa, где x — переменная в основании степени, a — некоторое число в показателе степени.
Область определения степенной функции зависит от значения показателя степени.
Перечислим возможные случаи:
- Если a — положительное целое число, то область определения функции есть множество действительных чисел: (−∞, +∞).
- Для нецелых действительных положительных показателей степени: D(f) = [0, +∞).
- Если a — отрицательное целое число, то область определения функции представляет собой множество (−∞, 0) ∪ (0, +∞).
- Для остальных действительных отрицательных a область определения степенной функции — числовой промежуток (0, +∞).
При a = 0 степенная функция y = xa определена для всех действительных значений x, кроме x = 0. Это связано с тем, что мы не определяли 00. А любое отличное от нуля число в нулевой степени равно единице. То есть, при a = 0 функция приобретает вид y = x0 = 1 на области определения (−∞, 0) ∪ (0, +∞).
Рассмотрим несколько примеров.
- Область определения функций y = x5, y = x12 — множество R, так как показатели степени целые положительные.
- Степенные функции
определены на интервале [0, +∞), так как их показатели положительные, но не целые. - Область определения функции y = x−2, как и функции y = x−5 — это множество (−∞, 0) ∪ (0, +∞), так как показатели степени целые отрицательные.
- Область определения степенных функций y = x-√19, y = x-3e,
— открытый числовой луч (0, +∞), так как их показатели не целые и отрицательные.
Область определения показательной функции
Показательную функцию можно задать формулой y = ax, где переменная x — показатель степени, а — больше нуля и не равно единице.
Область определения показательной функции — это множество R.
Примеры показательных функций:
- y = ex
- y = (√15)x
- y = 13x.
Область определения каждой из них (−∞, +∞).
Область определения логарифмической функции
Логарифмическая функция выглядит так: y = logax, где где число a > 0 и a ≠ 1. Она определена на множестве всех положительных действительных чисел.
Область определения логарифмической функции или область определения логарифма — это множество всех положительных действительных чисел. То есть, D (loga) = (0, +∞).
Например:
- D (ln) = (0, +∞) и D (lg) = (0, +∞).
Рассмотрим примеры логарифмических функций:
- y = log7x
- y = lnx
Область определения этих функций есть множество (0, +∞).
Пример
Укажите, какова область определения функции: 
Как решаем:
Составим и решим систему:
Графическое решение:
Ответ: область определения: D(f) = (−3, -2) ∪ (−2, +∞).
Область определения тригонометрических функций
Сначала вспомним, как задавать тригонометрические функции и как увидеть их области определения.
- Функция, которая задается формулой y = sinx, называется синусом, обозначается sin и определяется на множестве всех действительных чисел. Область определения синуса — это множество всех действительных чисел, то есть, D(sin) = R.
- Функция, которая задана формулой y = cosx, называется косинусом, обозначается cos и определяется на множестве R. Область определения функции косинус — множество всех действительных чисел: D(cos) = R.
- Функции, которые заданы формулами y = tgx и y = ctgx, называются тангенсом и котангенсом и обозначаются tg и ctg. Область определения тангенса — это множество всех действительных чисел, кроме чисел
. Область определения котангенса — это множество всех действительных чисел, кроме чисел πk, k ∈ Z.
Поэтому, если x — аргумент функций тангенс и котангенс, то области определения тангенса и котангенса состоят из всех таких чисел x, что 
и x ∈ r, x ≠ πk, k ∈ Z соответственно.
Пример
Найдите область определения функции f(x) = tg2x.
Как решаем:
Так как a(x) = 2x, то в область определения не войдут следующие точки:
Перенесем 2 из левой части в знаменатель правой части:
В результате 
. Отразим графически:
Ответ: область определения: 
.
Область определения обратных тригонометрических функций
Вспомним обратные тригонометрические функции: арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс.
- Функция, которая задается формулой y = arcsinx и рассматривается на отрезке [−1, 1], называется арксинусом и обозначается arcsin.
Область определения арксинуса — это множество [−1, 1], то есть, D(arcsin) = [−1, 1]. - Функция, которая задается формулой y = arccosx и рассматривается на отрезке [−1, 1], называется арккосинусом и обозначается arccos.
Область определения функции арккосинус — отрезок [−1, 1], то есть, D(arccos) = [−1, 1]. - Функции, которые задаются формулами вида y = arctgx и y = arcctgx и рассматриваются на множестве всех действительных чисел, называются арктангенсом и арккотангенсом и обозначаются arctg и arcctg.
Область определения арктангенса и арккотангенса — все множество действительных чисел R. То есть, D(arctg) = R и D(arcctg) = R.
Таблица областей определения функций
Области определения основных функций в табличном виде можно распечатать и использовать на уроках, чтобы быстрее решать задачки.
И, помните: чем чаще вы практикуетесь в решении задач — тем быстрее все запомните.
|
Функция |
Область определения функции |
|
Постоянная y = C |
R |
|
Корень y = n√x |
[0 ; +∞) , если n — четное; (-∞; +∞) , если n — нечетное. |
|
Степенная y = xa |
(-∞; +∞) , если a > 0, a ∈ Z; [0 ; +∞), если a > 0, a ∈ R, a ∉ Z; (-∞; 0) ∪ (0; +∞) , если a < 0, a ∈ Z; (0; +∞), если a ∈ R, a ≠ Z; (-∞; 0) ∪ (0, +∞), если a = 0. |
|
Показательная y = ax |
R |
|
Логарифмическая y = lognx |
(0; +∞) |
|
Тригонометрические y = sin(x) y = cos(x) y = tg(x) y = ctg(x) |
R R x ∈ R, x ≠ π/2 + πk, k ∈ Z x ∈ R, x ≠ πk, k ∈ Z |
|
Обратные тригонометрические y = arcsin(x) y = arccos(x) y = arctg(x) y = arcctg(x) |
[-1; 1] [-1; 1] R R |
3. Сводная таблица всех формул и свойств для контрольной, ОГЭ и ЕГЭ
| Условие / Правило | Рабочая формула и пример применения |
|---|---|
| Область определения основных элементарных функций | многочлены y = kx + b, y = ax² + bx + c, а также y = sin x, cos x, aˣ: D(y) = (−∞; +∞) = R (любое число!). |
| Функции с ограничениями по формуле | гипербола и дробь y = P(x) / Q(x) ➔ Q(x) ≠ 0; корень y = √f(x) ➔ f(x) ≥ 0; логарифм y = logₐ f(x) ➔ f(x) > 0. |
| Отличие области определения D(y) от области значений E(y) | D(y) читается по горизонтальной оси Ox (по иксу), а область значений E(y) — по вертикальной оси Oy (по игреку)! |
4. Практикум: разбор реальных задач с пошаговым решением
1. Составляем систему двух условий: { x + 2 ≥ 0; 5 − x ≥ 0 }.
2. Решаем каждое неравенство: x ≥ −2 и x ≤ 5.
3. Пересечение даёт отрезок: D(y) = [−2; 5].
1. Решаем квадратное неравенство: x² − 5x + 6 ≥ 0.
2. Корни трёхчлена по Виета: x₁ = 2, x₂ = 3 ⇒ (x − 2)(x − 3) ≥ 0.
3. По методу интервалов (+ , − , +): D(y) = (−∞; 2] ∪ [3; +∞).
1. Аргумент десятичного логарифма строго положителен: (x − 1) / (x + 4) > 0.
2. Отмечаем выколотые точки −4 и 1 на числовой оси: D(y) = (−∞; −4) ∪ (1; +∞).
5. Контрольный чек-лист: частые ошибки и ловушки на экзамене
- Главное правило проверки ответа: при поиске области определения функции по готовому графику всегда смотрите ТОЛЬКО на горизонтальную ось Ox (от какого x слева начинается график и каким x справа заканчивается), не путая её с высотой графика по оси Oy!
- Контроль первой формулы (ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПО ФОРМУЛЕ И ГРАФИКУ): Не путай с областью значений E(y) по вертикальной оси Oy! (D(y) — все допустимые значения аргумента X (по оси Ox!)).
- Контроль второй формулы (ПРАВИЛА НАХОЖДЕНИЯ D(Y) ДЛЯ ФУНКЦИЙ): Находи D(y) по ИСХОДНОЙ формуле ДО сокращения дробей! (Дробь P/Q ⇒ Q ≠ 0 | Корень √f ⇒ f ≥ 0 | Логарифм logₐ f ⇒ f > 0).
Потренироваться самостоятельно с автопроверкой ответов можно в бесплатном тренажёре ЕГЭ от Skysmart: доступны разделы по базовой математике и профильной математике.
На онлайн-курсах по математике в Skysmart преподаватели разбирают каждый прототип ФИПИ на интерактивной доске и помогают довести решение задач первой и второй части до полного автоматизма.
6. Часто задаваемые вопросы (FAQ)
Какая главная формула в теме «Область определения функции»?
Базовое соотношение темы: D(y) — все допустимые значения аргумента X (по оси Ox!), а также вторая ключевая формула: Дробь P/Q ⇒ Q ≠ 0 | Корень √f ⇒ f ≥ 0 | Логарифм logₐ f ⇒ f > 0. Подробный пример расчёта: Найти область определения D(y) функции y = √(2x − 8) ➔ Подкоренное выражение обязано быть неотрицательным: 2x − 8 ≥ 0 ➔ Решаем неравенство: 2x ≥ 8 ⇒ x ≥ 4 ⇒ D(y) = [4; +∞).
На какой ловушке чаще всего теряют баллы на контрольной, ОГЭ и ЕГЭ?
Главное правило для бланка ответов: при поиске области определения функции по готовому графику всегда смотрите ТОЛЬКО на горизонтальную ось Ox (от какого x слева начинается график и каким x справа заканчивается), не путая её с высотой графика по оси Oy!
Где скачать шпаргалку со всеми формулами для печати?
В первом экране статьи доступна бесплатная PDF-шпаргалка формата А4 со всеми формулами и алгоритмами темы «Область определения функции».
