b733e4
Проверьте знания по математике бесплатно
Узнать бесплатно

Расстояние от точки до прямой

Расстояние от точки до прямой
59.8K

Если вам понадобится узнать расстояние от дома до пиццерии, то вы без труда справитесь с задачей, ведь расстояние между точками — это длина отрезка, который соединяет эти точки. А что если нужно вычислить расстояние от дома до проспекта или улицы? В такой ситуации поможет знание темы «Расстояние от точки до прямой на плоскости».

Что называется расстоянием от точки до прямой?

Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на прямую. Перпендикуляр — это кратчайшее расстояние от точки до прямой.

Доказать это очень просто. Из точки M на прямую f мы опустим перпендикуляр MN и произвольную прямую MP, которая также называется наклонной. А по свойству мы помним, что наклонная всегда больше перпендикуляра, что и требовалось доказать.

Расстояние от точки до прямой — доказательство

Расстояние между точкой M и прямой f на плоскости обозначают так:

Расстояние между параллельными прямыми

А если нужно вычислить расстояние между двумя параллельными улицами — какое математическое понятие поможет в этом случае? Конечно, вы уже догадались, что это расстояние между параллельными прямыми.

Расстоянием между параллельными прямыми называется расстояние от какой-либо прямой до другой прямой на плоскости.

Расстояние между параллельными прямыми — доказательство

Убедимся в верности этого утверждения — рассмотрим параллельные прямые m и n. На прямой m выберем две точки E и F, опустим из них перпендикуляры на прямую n, точки пересечения перпендикуляров с прямой n обозначим буквами G и H, а также соединим E и H отрезком.

Рассмотрим треугольники GEH и EFH: сторона EH — общая, (как накрест лежащие углы). Следовательно, по гипотенузе и острому углу. А из свойства равных треугольников мы знаем, что будут равны и соответствующие элементы, например, EG = FH.

Делаем вывод, что расстоянием между параллельными прямыми на плоскости является длина их общего перпендикуляра, причем выбор перпендикуляра может быть произвольным.

Расстояние между двумя прямыми m и n обозначается так: .

Получи больше пользы от Skysmart:

Решение задач

Применим полученные знания, решив несколько задач.

Задача 1

На клетчатой бумаге с размером клетки отмечены точки K, M и N. Чему равно расстояние от точки K до прямой MN?

Задачи на нахождение расстояния от точки до прямой, рисунок 1

Как вы помните, чтобы найти расстояние от точки до прямой, нужно из точки на прямую опустить перпендикуляр и вычислить его длину.

Задачи на нахождение расстояния от точки до прямой, рисунок 2

Ответ: 4 см.

Задача 2

Найдите расстояние от точки Q до прямой PR, пользуясь данными с чертежа.

Задачи на нахождение расстояния от точки до прямой, рисунок 3

Из чертежа видно, что отрезок QR перпендикулярен прямой PR, а значит QR — расстояние от точки Q до прямой PR. В прямоугольном треугольнике PQR отрезок QR лежит против угла в , а значит, равен половине гипотенузы, то есть 14 см.

Ответ: 14 см.

Задача 3

В равностороннем треугольнике PQR проведена биссектриса QS, а ST — расстояние от точки S до прямой QR, равное 12 см. Чему равно расстояние от точки Q до прямой PR?

Задачи на нахождение расстояния от точки до прямой, рисунок 4

  1. Поскольку — равносторонний, то , а так как по условию QS — биссектриса, то .

  2. Рассмотрим , так как ST — расстояние от точки S до прямой QR, значит, — прямоугольный. А ST — катет, лежащий против угла в , следовательно, QS = 2ST = 24 см.

  3. Так как — равносторонний, то QS не только биссектриса, но и высота , значит, .

Ответ: 24 см.

А если прямая на плоскости находится так далеко, что провести до нее перпендикуляр физически не получается — что делать в этом случае? Поможет формула расстояния от точки до прямой в координатах.

Пусть формула задана прямой f: ax + by + c = 0 и есть точка M с координатами , тогда формула расстояния от точки до прямой на плоскости выглядит следующим образом:

.

Задача 4

Найдите расстояние от точки M (36; 6) до прямой f: 6x + 2y − 12 = 0.

Нам не придется даже изображать прямую и точку, а тем более подбирать масштаб, чтобы поместился перпендикуляр, — достаточно воспользоваться формулой:

Конечно, без координат тоже можно вычислить, но вариант выше — самый рациональный и удобный.

На курсах по математике в онлайн-школе Skysmart мы всегда показываем разные способы решений, которые сохранят вам время на контрольной или экзамене. Выберите подходящий по уровню и цели обучения курс и начните заниматься в удовольствие!

Бесплатный вебинар
Бесплатный вебинар
Бесплатный вебинар
Проверьте знания по математике бесплатно
  • Оставьте заявку на бесплатное тестирование
  • Приходите на тестирование вместе с ребёнком
  • Получите оценку знаний и конкретные шаги, чтобы прокачать их
Шаг 1 из 2
Шаг 1 из 2
Шаг 2 из 2