Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую на плоскости или в трёхмерном пространстве. По геометрической аксиоме перпендикуляр всегда строго короче любой наклонной, проведённой из той же точки к прямой.
В декартовой системе координат расстояние от точки M(x₀, y₀) до прямой Ax + By + C = 0 вычисляется по формуле d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²). Знаменатель дроби численно равен длине нормального вектора прямой.
Геометрическое построение перпендикуляра изучают перпендикулярные прямые, а расчёт длины через катеты реализует прямоугольный треугольник. Для параллельных прямых расстояние одинаково в любой точке, что подтверждает параллельность прямых.
2. Знаменатель: √(3² + 4²) = √25 = 5.
3. Расстояние d = 12 / 5 = 2.40.
Метрика экзаменационных требований: структура заданий ФИПИ
| Параметр оценивания | Период (2024–2025) | Регламент (2027) |
|---|---|---|
| ОГЭ: Высота как расстояние | Требуется геометрическое обоснование перпендикулярности | Формат сохранён: длина перпендикуляра даёт кратчайшее расстояние. |
| ЕГЭ Профиль: Метод координат | Допускается использование аналитической формулы расстояния | Необходимо явно записать общее уравнение прямой Ax + By + C = 0. |
1. Теоретический базис: перпендикуляр и наклонные
Получи больше пользы от Skysmart:
-
Подготовься к ОГЭ на пятёрку
-
Подготовься к ЕГЭ на высокие баллы
Записывайся на бесплатные курсы для детей
Решай задания в бесплатном тренажёре ЕГЭ
Что называется расстоянием от точки до прямой?
Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на прямую. Перпендикуляр — это кратчайшее расстояние от точки до прямой.
Доказать это очень просто. Из точки M на прямую f мы опустим перпендикуляр MN и произвольную прямую MP, которая также называется наклонной. А по свойству мы помним, что наклонная всегда больше перпендикуляра, что и требовалось доказать.
Расстояние между точкой M и прямой f на плоскости обозначают так:
Расстояние между параллельными прямыми
А если нужно вычислить расстояние между двумя параллельными улицами — какое математическое понятие поможет в этом случае? Конечно, вы уже догадались, что это расстояние между параллельными прямыми.
Расстоянием между параллельными прямыми называется расстояние от какой-либо прямой до другой прямой на плоскости.
Убедимся в верности этого утверждения — рассмотрим параллельные прямые m и n. На прямой m выберем две точки E и F, опустим из них перпендикуляры на прямую n, точки пересечения перпендикуляров с прямой n обозначим буквами G и H, а также соединим E и H отрезком.
Рассмотрим треугольники GEH и EFH: сторона EH — общая,
Делаем вывод, что расстоянием между параллельными прямыми на плоскости является длина их общего перпендикуляра, причем выбор перпендикуляра может быть произвольным.
Расстояние между двумя прямыми m и n обозначается так:
Решение задач
Применим полученные знания, решив несколько задач.
Задача 1
На клетчатой бумаге с размером клетки
Как вы помните, чтобы найти расстояние от точки до прямой, нужно из точки на прямую опустить перпендикуляр и вычислить его длину.
Ответ: 4 см.
Задача 2
Найдите расстояние от точки Q до прямой PR, пользуясь данными с чертежа.
Из чертежа видно, что отрезок QR перпендикулярен прямой PR, а значит QR — расстояние от точки Q до прямой PR. В прямоугольном треугольнике PQR отрезок QR лежит против угла в
Ответ: 14 см.
Задача 3
В равностороннем треугольнике PQR проведена биссектриса QS, а ST — расстояние от точки S до прямой QR, равное 12 см. Чему равно расстояние от точки Q до прямой PR?
Поскольку
Рассмотрим
Так как
Ответ: 24 см.
А если прямая на плоскости находится так далеко, что провести до нее перпендикуляр физически не получается — что делать в этом случае? Поможет формула расстояния от точки до прямой в координатах.
Пусть формула задана прямой f: ax + by + c = 0 и есть точка M с координатами
Задача 4
Найдите расстояние от точки M (36; 6) до прямой f: 6x + 2y − 12 = 0.
Нам не придется даже изображать прямую и точку, а тем более подбирать масштаб, чтобы поместился перпендикуляр, — достаточно воспользоваться формулой:
Конечно, без координат тоже можно вычислить, но вариант выше — самый рациональный и удобный.
2. Практикум: разбор реальных задач ОГЭ и ЕГЭ
1. d = |4·0 − 3·0 + 15| / √(4² + (−3)²) = 15 / 5 = 3.
3. Контрольный чек-лист: на чём срезаются школьники
- Ловушка экзамена: Не забывайте брать модуль в числителе: расстояние не может быть отрицательным числом!
- Ловушка экзамена: Уравнение прямой перед вычислением обязательно должно быть приведено к общему виду Ax + By + C = 0.
- Ловушка экзамена: В пространстве расстояние до прямой находится через векторное произведение или теорему о трёх перпендикулярах.
В задаче №14 Профильного ЕГЭ расстояние от точки до прямой в пространстве требует точного обоснования плоскости проекции.
На индивидуальных уроках в онлайн-школе Skysmart методисты и действующие эксперты экзаменационной комиссии разбирают все подводные камни темы и доводят решение до автоматизма.
4. Ответы на частые вопросы (FAQ)
Какая фигура образуется между перпендикуляром и наклонной?
Образуется прямоугольный треугольник, где перпендикуляр — катет, а наклонная — гипотенуза.
Может ли расстояние от точки до прямой равняться нулю?
Да, расстояние равно нулю тогда и только тогда, когда точка лежит непосредственно на самой прямой.
