Призма — это многогранник, две грани которого являются равными многоугольниками в параллельных плоскостях (основаниями), а все остальные грани (боковые грани) — параллелограммами (у прямой призмы — прямоугольниками). Объём любой призмы равен произведению площади основания на высоту: V = S_осн · h.
- Объём любой призмы (прямой и наклонной):
V = S_осн · h. - Площадь боковой и полной поверхности прямой призмы:
S_бок = P_осн · h(периметр основания на высоту) иS_полн = S_бок + 2 · S_осн. - Площадь правильного треугольника и шестиугольника в основании (ЕГЭ №3): треугольник:
S_3 = (a²√3) / 4; шестиугольник:S_6 = 6 · (a²√3) / 4 = (3√3 · a²) / 2.
Правило для бланка ОГЭ и ЕГЭ: в Задании №3 ЕГЭ при отсечении от призмы треугольной призмы плоскостью через среднюю линию основания площадь основания уменьшается в 4 раза (k² = 4), поэтому объём отсечённой призмы равен V / 4!
2. Формула вычисления темы применена.
3. Итоговый результат: 10.
1. Теоретический базис темы «Призма»
Что такое призма
Призма — это выпуклый многогранник, две грани которого представляют собой равные многоугольники, расположенные в параллельных плоскостях. Все рёбра, не лежащие в этих плоскостях, параллельны между собой.
Эти два одинаковых многоугольника называют основаниями призмы. Остальные её стороны, которые представляют собой параллелограммы, — боковые грани. Грани этих сторон — это рёбра призмы, они бывают боковыми и рёбрами основания. Места их пересечения друг с другом называются вершинами.
Виды призм и их свойства
В основаниях призмы могут лежать разные многоугольники: треугольники, четырёхугольники, пятиугольники, шестиугольники и т. д.. В зависимости от этого меняется и вид призмы — она может быть треугольной, четырёхугольной и т. д.
Запомните:
Прямые и наклонные призмы
Если боковые рёбра призмы перпендикулярны плоскости её основания, такую фигуру называют прямой призмой.
У такой призмы боковые грани — это прямые четырёхугольники, т. е. прямоугольники и квадраты. Их грани перпендикулярны основаниям призмы, соответственно, угол между её рёбрами и плоскостью основания равен 90°.
Перпендикулярная прямая, проведённая из любой точки одного основания призмы к плоскости другого, называется её высотой.
Правильные и неправильные призмы
Если основания призмы — это правильные многоугольники, её тоже называют правильной.
Получи больше пользы от Skysmart:
-
Подготовься к ОГЭ на пятёрку
-
Подготовься к ЕГЭ на высокие баллы
Записывайся на бесплатные курсы для детей
Решай задания в бесплатном тренажёре ЕГЭ
Призма: основные формулы
В таблице ниже оставляем все формулы, которые помогут вам решать задачи с разными видами призм.
|
Призма: все формулы |
|
|---|---|
|
Объём призмы через площадь основания и высоту |
|
|
Объём наклонной призмы через площадь перпендикулярного сечения и длину бокового ребра |
|
|
Объём правильной прямой призмы через высоту ( |
|
|
Площадь боковой поверхности призмы через периметр основания и высоту |
|
|
Площадь поверхности призмы через площадь основания, периметр основания и высоту |
|
|
Площадь поверхности правильной призмы через высоту ( |
|
Также советуем не заучивать формулы и определения, а разобраться, как они работают. И самое главное — после этого закрепить знания на практике. Подготовиться к заданиям с призмами, которые ждут вас на экзамене, можно в бесплатном Тренажёре ЕГЭ. Там найдутся тренировочные материалы по этой и другим темам в стереометрии.
2. Практикум: разбор реальных задач ОГЭ и ЕГЭ
1. По теореме Пифагора гипотенуза основания равна: c = √(6² + 8²) = 10; периметр P_осн = 6 + 8 + 10 = 24.
2. Площадь одного основания: S_осн = (6 · 8) / 2 = 24; площадь боковой поверхности: S_бок = 24 · 5 = 120.
3. Полная поверхность: S_полн = 120 + 2 · 24 = 168.
1. Площадь правильного шестиугольника со стороной a = 2 равна: S_осн = (3√3 · 2²) / 2 = 6√3.
2. Умножаем на высоту h = √3: V = 6√3 · √3 = 6 · 3 = 18.
1. При увеличении стороны основания в 2 раза площадь основания увеличивается в 2² = 4 раза.
2. Так как объём воды V = S · h неизменен, высота столба воды уменьшится в 4 раза: h₂ = 16 / 4 = 4 см.
3. Контрольный чек-лист: на чём срезаются школьники
- Ловушка экзамена: Невнимательность при вычислениях по формуле темы «Призма» приводит к потере первичных баллов в первой части.
- Ловушка экзамена: Обязательно проверяйте допустимые значения переменных (ОДЗ) и размерность величин перед записью в бланк.
- Ловушка экзамена: Во второй части ОГЭ/ЕГЭ решение без пояснения применённого правила оценивается в 0 баллов даже при верном ответе.
В заданиях ОГЭ и Профильного ЕГЭ эксперты ФИПИ строго оценивают логику каждого шага и обоснование формул.
На индивидуальных уроках на онлайн-курсах по математике в Skysmart методисты и действующие эксперты экзаменационной комиссии разбирают все подводные камни темы и доводят решение до автоматизма.
4. Ответы на частые вопросы (FAQ)
В каком классе изучают тему «Призма»?
Тема подробно изучается в школьном курсе математики и входит в обязательный кодификатор ОГЭ и ЕГЭ.
Как быстро проверить ответ в задачах на «Призма»?
Подставьте полученный результат обратно в исходное соотношение и проверьте соответствие условию задачи.
