Задачи на совместную работу

Алгоритм решения задач

Один из способов решения задач на совместную работу — заполнение таблицы и составления уравнения.

Табличный метод позволяет хорошо проанализировать информацию, определить, какие данные известны, а какие нет, заметить взаимосвязь между величинами.

Пример таблицы для заполнения:

	P	t	А
I
II
Вместе

В задачах на совместную работу чаще всего идет речь о трёх величинах:

1. Работа (обозначается буквой А) — непосредственное действие персонажей в задаче, которое может быть описано количественно (изготовил 100 деталей, обработал 4 поля и т. д.) или просто упомянуто (выполнил задание, работу, заполнил бассейн и т. д.).

   Если в задаче нет упоминания, какую конкретно работу выполнил персонаж, мы можем обозначить работу за единицу А = 1, в ином случае — запишем количество деталей, полей и т. п.

2. Производительность или скорость выполнения работы (обозначается буквой P, иногда буквой V) — часть работы, выполненная в единицу времени. Например: повар изготавливает 20 булочек в час, трактор обрабатывает половину поля за день и т. д.

3. Время (обозначается буквой t) — промежуток времени, затраченный на выполнения работы.

Эти величины взаимосвязаны формулой: , откуда ; .

Помимо этого, важно понимать: при совместной работе мы можем складывать производительности персонажей и выполненную ими работу, но не время!

Рассмотрим примеры.

Задача 1

Вероника решает 15 уравнений за час, а Лена — 20 уравнений за час. За сколько времени девочки совместно решат контрольную работу, состоящую из 40 уравнений?

Заполним таблицу по данным задачи.

	P, шт/ч	t, ч	А, шт
Вероника	15	1	15
Лена	20	1	20
Вместе		?	40

Предположим, что девочки будут решать задания отдельно друг от друга. Тогда, с учётом их скоростей выполнения работы, за 1 час они вместе выполнят 35 уравнений — это их совместная производительность.

	P, шт/ч	t, ч	А, шт
Вероника	15	1	15
Лена	20	1	20
Вместе	35	?	40

Следующее действие — найти время по формуле часа.

Если бы мы просто сложили их время 1 + 1 = 2 часа, не используя вышеприведённую логику, то получилось бы, что девочки совместно работают хуже, чем по отдельности. Конечно, в реальной жизни такое возможно, но в математических задачах говорит о том, что была допущена ошибка.

Запомните:

рассчитываем по формуле

135.1K

Какая профессия тебе подходит? Узнай за 10 минут!

Получи больше пользы от Skysmart:

• Подготовься к ОГЭ на пятёрку.

• Подготовься к ЕГЭ на высокие баллы.

• Записывайся на бесплатные курсы для детей.

Задача 2

В селе Лютики два поля: пшеничное площадью 770 м² и кукурузное площадью 830 м². Пшеничное поле обрабатывает тракторист Павел: его трактор вспахивает на 6 м² в минуту земли меньше, чем трактор Тимофея, обрабатывающий второе поле. Сколько квадратных метров в минуту вспахивает трактор Павла, если поля были обработаны одновременно?

Начнём решение задачи с заполнения таблицы. Работа трактористов в задаче однозначно определена: Павлу нужно обработать 770 м², а Тимофею — 830 м². В задаче не сказано, что мужчины будут работать совместно (обрабатывать вместе одно поле, затем другое), поэтому в таблице будет две рабочих строки.

	P, м2/мин	t, мин	А, м2
Павел			770
Тимофей			830

Производительность обоих трактористов неизвестна, в задаче описывается только разница между ними. На этом этапе можно вводить переменную.

Пусть x — производительность тракториста Павла, тогда (х + 6) — производительность Тимофея, так как он вспахивает на 6 м² в минуту больше.

Выразим время выполнения работы через формулу .

	P, м2/мин	t, мин	А, м2
Павел	х		770
Тимофей	х + 6		830

Какую информацию мы ещё не использовали? Работа над обработкой полей была закончена одновременно, а это значит, что время работы Тимофея и Павла равно.

Составим уравнение:

Это дробно-рациональное уравнение. Для его решения учтём ОДЗ (область допустимых значений), а далее воспользуемся свойством пропорции, перемножим накрест и решим получившееся уравнение:

ОДЗ:

x = 77 (м²/мин) — производительность Павла

Ответ: 77 м²/мин.

Задача 3

Алина собирает клубнику на своей даче. Количество, необходимое для приготовления 2 литров варенья, она собирает за 30 минут. Вместе со своей подругой Галей они соберут такое же количество клубники за 10 минут. За сколько минут собирает это же количество клубники одна Галя?

В этой задаче также сделаем анализ информации и заполним таблицу.

В тексте есть указание, сколько литров варенья планирует приготовить Алина, но далее эти данные никак не используются. Важно, что и Алина, и Галя будут собирать клубнику для одинакового количества варенья, поэтому работу мы можем взять за единицу.

	P, раб/мин	t, мин	А
Алина		30	1
Галя		?	1
Вместе		10	1

Выразим производительность Алины и совместную Алины и Гали с помощью формулы .

Производительность Галины можно рассчитать с помощью разности производительности совместной и Алины:

	P, раб/мин	t, мин	А
Алина	130	30	1
Галя	230	?	1
Вместе	110	10	1

Тогда время работы Гали вычислим по формуле мин.

Как вы уже заметили, в этой задаче нельзя просто вычесть из совместного времени время Алины. Такой ответ, хоть и даётся проще, не является верным.

Ответ: 15 минут.

Ещё больше классных задач на совместную работу есть в нашем бесплатном тренажёре ЕГЭ. Переходите по ссылке, закрепляйте пройденный материал и делитесь инструментом с друзьями!