Вынесение общего множителя за скобки

Понятие вынесения множителя за скобки

Разложение многочлена на множители — это преобразование многочлена в произведение, которое равно данному многочлену.

Есть несколько способов разложения многочлена на множители. Один из них — вынесение общего множителя за скобки.

Вынести общий множитель за скобки можно в выражениях, которые представляют из себя суммы, в которых каждое слагаемое является произведением, причем в каждом произведении есть один одинаковый для всех множитель. Он так и называется — общий множитель.

Вынесение общего множителя за скобки — это преобразование многочлена в произведение с помощью распределительного свойства умножения. Только в случае вынесения множителя за скобки это свойство применяется справа налево.

Формула вынесения общего множителя за скобки:

Покажем метод вынесения общего множителя за скобки на примере с цифрами:

Определение общего множителя для всех членов многочлена производится пошагово:

1. Если у каждого члена есть коэффициент — находим число, на которое делится коэффициент каждого члена, и выносим его за скобки.


2. Находим переменные, которые встречаются в каждом члене. Переменные выносятся за скобки в наименьшей встречающейся степени.


3. Определяем многочлен, который должен остаться в скобках. При этом многочлен должен иметь столько же членов, сколько было в исходном многочлене.

Рассмотрим пример.

Если нам дано произведение 6 * 2 и 6 * 5, то мы можем вынести за скобки общий множитель 5. В чем состоит данное преобразование? Мы представляем исходное выражение как произведение общего множителя и выражения в скобках, которое содержит сумму всех исходных слагаемых, кроме общего множителя.

Итак, вынесем общий множитель 5 в 6 * 2 и 6 * 5 и получим 6 * (2 + 5).

Итоговое выражение — это произведение общего множителя 6 на выражение в скобках, которое является суммой исходных слагаемых без 6.

Так и получается: 6 * 2 + 6 * 5 = 6 * (2 + 5).

Правило вынесения общего множителя за скобки

Алгоритм вынесения общего множителя за скобки:

1. Найти наибольший общий делитель коэффициентов всех одночленов, которые входят в многочлен. Он и будет общим числовым множителем.


2. Найти общую буквенную часть для всех членов многочлена. При этом выбрать наименьший показатель степени.


3. Произведение коэффициента и общей буквенной части, которые мы нашли на первом и втором шагах, является общим множителем, который выносим за скобки.


4. Делим каждый член многочлена на вынесенный множитель и полученный результат записываем в скобках.

Важно! В скобках должно быть столько одночленов, сколько их было в многочлене.

Рассмотрим простой пример вынесения. Дано числовое выражение 4 * 7 + 4 * 3 - 4 * 5, которое является суммой трех слагаемых и общего множителя 4. Возьмем за основу выведенное правило и запишем произведение иначе: 4 * (7 + 3 - 5).

Это и есть итог нашего преобразования. Запись всего решения выглядит так:

4 * 7 + 4 * 3 - 4 * 5 = 4 * (7 + 3 - 5).

Определить сразу, какой множитель является общим, получается не всегда. Иногда выражение нужно предварительно преобразовать, заменив числа и выражения тождественно равными им произведениями.

Рассмотрим разложение многочлена на множители методом вынесения за скобки общего множителя на примере многочлена: 12m - 6m - 3m. Ход решения:

Вынесение минуса за скобки

Еще один случай, на котором следует обратить внимание — это вынесение за скобки минуса. Только мы выносим не сам знак, а минус единицу. Часто это помогает упростить выражение и сделать его проще.

Пример 1. Вынести минус за скобки в выражении: -10 + (-1) + (-3)

Как рассуждаем:

Чтобы вынести минус за скобки, нужно записать перед скобками минус и в скобках записать все слагаемые с противоположными знаками:

-(10 + 1 + 3).

Найдем решение для каждого выражения:

-10 + (-1) + (-3) = -14

-(10 + 1 + 3) = -(14) = -14

Поэтому между выражениями можно поставить знак равенства, потому что они равны одному и тому же значению:

-10 + (-1) + (-3) = -(10 + 1 + 3)

-14 = -14

Пример 2. Вынести минус за скобки в выражении: -3 + 5 + 11

Как рассуждаем:

Ставим минус и рядом в скобках записываем выражение с противоположным знаком у каждого слагаемого:

-3 + 5 + 11 = -(3 - 5 - 11)

Как и в прошлом примере, здесь за скобки вынесен не минус, а минус единица.

Подробное решение выглядит так: