Что такое квадратный корень

  • Автор

    Анастасия Белова

  • Дата публикации

    17.12.2020

  • Просмотры

    17568

Что такое квадратный корень

Определение арифметического квадратного корня ясности не добавляет, но заучить его стоит:

Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа a называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен a.

Определение квадратного корня также можно представить в виде формул:
√a = x
x2 = a
x ≥ 0
a ≥ 0

Из определения следует, что a не может быть отрицательным числом. То есть то, что стоит под корнем — обязательно положительное число.

Чтобы разобраться, почему именно так и никак иначе, давайте рассмотрим пример.

Попробуем найти корень из √-16

Здесь логично предположить, что 4, но давайте проверим: 4*4 = 16 — не сходится.

Если - 4, то -4 * -4 = 16, (минус на минус всегда дает плюс).

Получается, что ни одно число не может дать отрицательный результат при возведении его в квадрат.

Числа, стоящие под знаком корня, должны быть положительными.

Исходя из определения, значение корня также не должно быть отрицательным

Здесь могут возникнуть резонные вопросы, почему, например, в примере x2 = 16, x = 4 и x = -4.

Чтобы вопросы отпали, и все встало на свои места, нужно разобраться, в чем разница между квадратным уравнением и арифметическим квадратным корнем. В детской школе Skysmart ученики вникают в тонкости математической вселенной вместе с красочными героями комиксов и в интерактивном формате.

Приходите вместе с ребенком на бесплатный вводный урок: познакомимся и покажем, как решать задачки весело и эффективно.

Разница между квадратным корнем и арифметическим квадратным уравнением

Прежде всего, чтобы разграничить эти два понятия, запомните:

  • x2 = 16 не равно  x = √16.

Это два нетождественных друг другу выражения.

  • x2 = 16 — это квадратное уравнение.
  • x = √ 16 — арифметический квадратный корень.

Из выражения x2 = 16 следует, что:

  • |x| = √16, это значит, что x = ±√16 = ±4, x1 = 4, x2 = -4.

Если две вертикальные палочки возле x вводят вас в замешательство, почитайте нашу статью о модуле числа.

В то же самое время, из выражения x = √16 следует, что x = 4.

Если ситуация все еще кажется запутанной и нелогичной, просто запомните, что отрицательное число может быть решением только в квадратном уравнении. Если в решении «минус» — есть два варианта:

 
  1. Пример решен неверно

  2. Это квадратное уравнение.

Если вы извлекаете квадратный корень из числа, то можете быть уверены, вас ждет «положительный» результат.

Давайте рассмотрим пример, чтобы окончательно выяснить разницу между квадратным корнем и квадратным уравнением.

Даны два выражения: 

 
  1. x2 = 36

  2. x = √36

Первое выражение — квадратное уравнение. 

|x| = √36
x1 = +6
x2 = -6.

Второе выражение — арифметический квадратный корень. 

√36 = 6
x = 6.

Мы видим, что результатом решения первого выражения стали два числа — отрицательное и положительное. А во втором случае — только положительное.

Запись иррациональных чисел с помощью квадратного корня

Иррациональное число — это число, которое нельзя представить в виде обыкновенной дроби.

Чаще всего, иррациональные числа можно встретить в виде корней, логарифмов, степеней и т.д.

Примеры иррациональных чисел:

√2 = 1,414213…;

π = 3,141592…;

e = 2,718281.... .

Чтобы упростить запись иррациональных чисел, математики ввели понятие квадратного корня. Давайте разберем пару примеров, чтобы увидеть квадратный корень в деле.

Дано уравнение: x2 = 2.

Сразу сталкиваемся с проблемой, поскольку очевидно, что ни одно целое число не подходит. 

Переберем числа, чтобы удостовериться в этом:

1 * 1 = 1,
2 * 2 = 4,
3 * 3 = 9.

Отрицательные числа дают такой же результат. Значит результатом решения не могут быть целые числа.

Решение следующее:
Строим график функции y = x2.
Отмечаем решения на графике: -√2; √2.


 график функции y = x2

Если попробовать извлечь квадратный корень из 2 с помощью калькулятора, то результат будет следующий: √2 = 1,414213… .

В таком виде ответ не записывают — нужно оставить квадратный корень.
x2 = 2.
x = √2
x = -√2. 

Извлечение корней

Решать примеры с квадратными корнями намного легче, если запомнить как можно больше квадратов чисел. Для этого воспользуйтесь таблицей — сохраните ее себе и используйте для решения задачек.

Таблица квадратов


Таблица квадратов

Вот несколько примеров извлечения корней, чтобы научиться пользоваться таблицей:

  • 1. Извлеките квадратный корень: √289

Ищем в таблице число 289, двигаемся от него влево и вверх, чтобы определить цифры, образующие нужное нам число.

Влево — 1, вверх — 7.

Ответ: √289 = 17.

  • 2. Извлеките квадратный корень: √3025

Ищем в таблице число 3025.
Влево — 5, вверх —  5.

Ответ: √3025 = 55.

  • 3. Извлеките квадратный корень: √7396

Ищем в таблице число 7396.

Влево — 8, вверх — 6.

Ответ: √7396 = 86.

  • 4. Извлеките корень: √9025

Ищем в таблице число 9025.

Влево — 9, вверх — 5.

Ответ: √9025 = 95.

  • 5. Извлеките корень √1600

Ищем в таблице число 1600.

Влево — 4, вверх — 0.

Ответ: √1600 = 40.

Извлечением корня называется нахождение его значение.

Свойства арифметического квадратного корня

У арифметического квадратного корня есть 3 свойства — их нужно запомнить, чтобы проще решать примеры.

  • Корень произведения равен произведению корней
    Корень произведения равен произведению корней
  • Извлечь корень из дроби — это извлечь корень из числителя и из знаменателя
    извлечь корень из числителя и из знаменателя
  • Чтобы возвести корень в степень, нужно возвести в степень значение под корнем
    возвести корень в степень

Давайте потренируемся и порешаем примеры на все три свойства. Не забывайте обращаться к таблице квадратов. Попробуйте решить примеры самостоятельно, а для проверки обращайтесь к ответам.

Умножение арифметических корней

Для умножения арифметических корней используйте формулу:

формула Умножения арифметических корней

Примеры:

 
  1. Пример Умножения арифметических корней

  2. Пример Умножения арифметических корней 2

Внимательно посмотрите на второе выражение и запомните, как записываются такие примеры.

Если нет возможности извлечь корни из чисел, то поступаем так:

 
  1. Если нет возможности извлечь корни из чисел, то поступаем так

  2. нет возможности извлечь корни из чисел, то поступаем так
  3. Если множителей больше двух, то решается примерно точно так, как и с двумя множителями:
    Если множителей больше двух
Добрая напоминалочка
Чтобы решать примеры быстрее, не забывайте пользоваться таблицей квадратов.

 

  1. Пример ращения рис 1

  2. Пример ращения рис 2

Деление арифметических корней

Для деления арифметических корней используйте формулу:

Деление арифметических корней

Примеры:

 
  1. Задача

    Ответ: смешанную дробь превращаем в неправильную (16 * 3) + 1 = 49
    превращаем смешанную дробь в неправильную

  2. Пример ращения рис 2

  3. Пример ращения рис 3

  4. Пример ращения рис 4

  5. Пример ращения рис 5

Выполняя деление, не забывайте сокращать множители. При делении арифметических корней, используйте правила преобразования обыкновенных дробей.

Возведение арифметических корней в степень

Для возведения арифметического корня в степень используйте формулу:

Возведение арифметических корней в степень

Примеры:

  1. Примеры возведение арифметических корней в степень

  2. Примеры возведение арифметических корней в степень рис. 2

  3. Примеры возведение арифметических корней в степень рис. 3

Эти две формулы нужно запомнить:

  • (√a)2 = a
  • √a2 = |a|
  1. Примеры возведение арифметических корней в степень рис. 4

  2. Примеры возведение арифметических корней в степень рис. 5

Повторите свойства степеней, чтобы без труда решать такие примеры.

Внесение множителя под знак корня

Вы уже умеете по-всякому крутить и вертеть квадратными корнями: умножать, делить, возводить в степень. Богатый арсенал, не правда ли? Осталось овладеть еще парой приемов и можно без страха браться за любую задачку.

А теперь давайте разберемся, как вносить множитель под знак корня.

Дано выражение: 7√9

Число семь умножено на квадратный корень из числа девять. 

Извлечем квадратный корень и умножим его на 7.

√9= 3.

7√9 = 7*3 = 21

В данном выражение число 7 — множитель. Давайте внесем его под знак корня. 

Запомните, что вносить множитель под знак корня обязательно нужно так, чтобы значение исходного выражения осталось неизменным. Иными словами, после наших манипуляций с корнем, значение выражения должно по-прежнему оставаться 21.

Вы помните, что (√a)2 = a

Тогда число 7 должно быть возведено во вторую степень. В этом случае значение выражения останется тем же. 

7√9 = √72* 9 = √49 * 9 = √49 * √9 = 7 * 3 = 21.

Формула внесения множителя под знак корня:

  • a√b = √a2 * b
Запоминаем:
Нельзя вносить отрицательные числа под знак корня.

Потренируемся вносить множители. Попробуйте решить примеры самостоятельно, сверяясь с ответами.

 
  1. Внесение множителя под знак корня

  2. Внесение множителя под знак корня рис.2

  3. Внесение множителя под знак корня рис.3

Вынесение множителя из-под знака корня 

С тем, как вносить множитель под корень мы, кажется, разобрались. Но алгебра — такая алгебра, поэтому теперь неплохо бы и вынести множитель из-под знака корня.

Дано выражение в виде квадратного корня из произведения.

Вы уже наверняка без труда извлекаете квадратный корень из чего угодно, поэтому знаете, что делать.

Извлекаем корень из всех имеющихся множителей. 


Извлекаем корень из всех имеющихся множителей

В данном выражении квадратный корень мы можем извлечь только из 4, поэтому:


Извлекаем корень из 4

Таким образом множитель выносится из-под знака корня.

Давайте разберем примеры. Попробуйте вынести множители из-под знака корня самостоятельно, сверяясь с ответами.

 
  1. √28

    Раскладываем подкоренное выражение на множители 28 = 7*4.

    Извлекаем корень из 4. Множитель 7 оставляем под знаком корня.
    Извлекаем корень из 4. Множитель 7 оставляем под знаком корня

  2. Пример ращения рис 8
    Ответ: по правилу извлечения квадратного корня из произведения,
    Ответ по правилу извлечения квадратного корня из произведения
    Так как вынесенный множитель должен стоять перед подкоренным знаком, то меняем их местами.
    Меняем множители местами

  3. Вынесите множитель из-под знака корня в выражении: √24

    Ответ: Раскладываем выражение под корнем на множители 24 = 6 * 4.
    Раскладываем выражение под корнем на множители 24 = 6 * 4

  4. Упростите выражение: упростите выражение
    Пример упрощения выражения
    Вынесем в двух последних выражения множитель из-под знака корня.
    вынесем множитель из под корня
    Умножаем (-4 * 4) = -16. Все остальное выражение записываем в неизменном виде.
    записываем выражение
    Мы видим, что во всем выражении есть один общий множитель — √5.
    Выносим общий множитель за скобки:
    Выносим общий множитель за скобки
    Далее вычисляем все, что в скобках:
    вычисляем все, что в скобках

 

Давайте тренироваться вместе: в современном формате и под присмотром внимательных учителей. Учиться в удовольствие — это реально.

Запишите ребенка на бесплатный урок математики в Skysmart: покажем, как все устроено на платформе и поможем ребенку поверить в себя.

Сравнение квадратных корней

Мы почти досконально разобрали арифметический квадратный корень, научились умножать, делить и возводить его в степень. Теперь вы без труда можете вносить множители под знак корня и выносить их оттуда. Осталось научиться сравнивать корни и стать непобедимым теоретиком.

Итак, чтобы понять, как сравнить два квадратных корня, нужно запомнить пару правил.

Если:

  • √a < √b, то a < b
  • √a = √b, то a = b

Давайте разберем на примере.

Сравните два выражения: √70 и 8√2

Первым делом преобразуем второе выражение: 8√2 = √64 * √2 = √64*2 = √128.

70 < 128.

Это значит, что √70  <  8√2.

Запоминаем
Чем больше число под знаком корня, тем больше сам корень.

Потренируйтесь в сравнении корней. Сверяете свои результаты с ответами.

 
  1. Сравните два выражения: √50 и 9√5

    Ответ: преобразовываем выражение 9√5.

    9√5 = √81 * √5 = √81*5 = √405

    50 < 405

    Это значит, что √50 < 9√5.

  2. Сравните два выражения: 6√5 и √18

    Ответ: преобразовываем выражение 6√5.

    6√5 = √36 * √5 = √36*5= √180

    180 > 18

    Это значит, что 6√5 > √18.

  3. Сравните два выражения: 7√12 и √20

    Ответ: преобразовываем выражение 7√12.

    7√12 = √49 * √12 = √49*12 = √588

    588 >20

    Это значит, что 7√12 > √20.

Как видите, ничего сложного в сравнении арифметических квадратных корней нет. 

Самое главное — выучить формулы и сверяться с таблицей квадратов, если значения корня слишком большие для легкого вычисления в уме.

Не бойтесь пользоваться вспомогательными материалами. Математика просто создана для того, чтобы окружить себя подсказками и намеками.

Когда вы почувствуете, что уже достаточно натренировались в решении примеров с квадратными корнями, можете позволить себе время от времени прибегать к помощи онлайн-калькуляторов. Они помогут решать примеры быстрее и быть эффективнее. 

Таких калькуляторов в интернете много, вот один из них.

Извлечение квадратного корня из большого числа

Вы уже наверняка познакомились и подружились с таблицей квадратов. Она — ваша правая рука. С ее помощью вы реактивно решаете примеры и, возможно, даже подумываете запомнить ее наизусть.

Но, как вы можете заметить, таблица заканчивается на числе 9801. А это, согласитесь, не самое крупное число из тех, что могут вам попасться в примере.


Еще одна таблица квадратов

Чтобы извлечь корень из большого числа, которое отсутствует в таблице квадратов, нужно:

 
  1. Определить «сотни», между которыми оно стоит.

  2. Определить «десятки», между которыми оно стоит.

  3. Определить последнюю цифру в этом числе.

Извлечь корень из большого числа можно разными способами — вот один из них.

Извлечем корень из √2116.

Наша задача в том, чтобы определить между какими десятками стоит число 2116.

102 = 100

202 = 400

302 = 900

402 = 1600

502 = 2500 

Мы видим что, 2116 больше 1600, но меньше 2500.

Это значит, что число 2116 находится между 402и 502.

41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49.

Запомните лайфхак по вычислению всего на свете, что нужно возвести в квадрат.

Не секрет, что на последнем месте в любом числе может стоять только одна цифра от 1 до 0.


лайфхак по вычислению всего на свете, что нужно возвести в квадрат

Как пользоваться таблицей

12 = 1

22 = 4

32 = 9

42 = 16 ⇒ 6

52 = 25 ⇒ 5

62 = 36 ⇒ 6

72 = 49 ⇒ 9

82 = 64 ⇒ 4

92 = 81 ⇒ 1

Мы знаем, что число 41, возведенное в квадрат, даст число, на конце которого — цифра 1.

Число, 42, возведенное в квадрат, даст число, на конце которого — цифра 4.

Число 43, возведенное в квадрат, даст число, на конце которого — 9.

Такая закономерность позволяет нам без записи «перебрать» все возможные варианты, исключая те, которые не дают нужную нам цифру 6 на конце.

Таким образом, у нас остаются два варианта: 442 и 462.

Далее вычисляем: 44 * 44 = 1936.

46 * 46 = 2116.

Ответ: √2116 = 46

Если такой способ показался не до конца понятным — можно потратить чуть больше времени и разложить число на множители. Если решить все правильно, получим такой же результат. 

Еще пример. Извлечем корень из числа √11664

Разложим число 11664 на множители: 

11666 : 4 = 2916

2916 : 4 = 729

729 : 3 = 243

243 : 3 = 81

11664

4

2916

4

729

3

243

3

81

81

Запишем выражение в следующем виде:


Пример решения выражения

Извлечь квадратный корень из большого числа гораздо проще с помощью калькулятора. Но знать парочку таких способов «на экстренный случай» точно не повредит. Например, для контрольной или ЕГЭ.

Чтобы закрепить все теоретические знания, давайте ещё немного поупражняемся в решении примеров на арифметические квадратные корни.
 

  • 1. Вычислите значение квадратного корня: √36
    вычислите значение квадратного корня из 36
  • 2. Вычислите значение квадратного корня: √64*36
    Вычислите значение квадратного корня: √64*36
  • 3. Вычислите значение квадратного корня: квадратный корень
     Вычислите значение квадратного корня
  • 4. Вычислите значение квадратного корня: квадратный корень 2
     Вычислите значение квадратного корня 2
  • 5. Вычислите значение квадратного корня: квадратный корень 3
     Вычислите значение квадратного корня 3
  • 6. Вычислите значение выражения: 4√16 - 12
    Вычислите значение выражения: 4√16 - 12
  • 7. Вычислите значение выражения: 5√9 - 8
    Вычислите значение выражения: 5√9 - 8
  • 8. Вычислите значение выражения: 7√25 - 10
    Вычислите значение выражения: 7√25 - 10
  • 9. Вычислите значение квадратного корня: корень 2
    Вычислите значение квадратного корня 5
  • 10. Вычислите значение квадратного уравнения: корень
    Вычислите значение квадратного уравнения 6
  • 11. Вычислите значение квадратного уравнения: корень
    Вычислите значение квадратного уравнения 7
  • 12. Извлеките квадратный корень из числа √7056 удобным вам способом
    Как решаем:

    7056

    4

    1764

    4

      441

    3

      147

    3

        49

    7

          7

    7

          1


    Вычислите значение квадратного уравнения 8
  • 13. Вычислите значение квадратного корня √0,81
    Ответ: √0,81 = 0,9
  • 14. Вычислите значение квадратного корня: корень
    Как решаем: корень = 0,09
  • 15. Вычислите значение выражения: 8√81 - 20
    Как решаем: 8√81 - 20 = 8 * 9 - 20 = 72 - 20 = 52
    Ответ: 8√81 - 20 = 52.
  • 16. Вычислите значение выражения: 13√100 - 15
    Как решаем: 13√100 - 15 = 13 * 10 - 15 = 130 - 15 = 115
    Ответ: 13√100 - 15 = 115.
  • 17. Вычислите значение выражения: √16 + 5√4
    Как решаем: √16 + 5√4 = 4 + 5 * 4 = 4 + 20 = 24 Ответ: √16 + 5√4 = 24.
  • 18. Вычислите значение выражения: √36 + 2√9
    Как решаем: √36 + 2√9 = 6 + 2 * 3 = 6 + 6 = 12
    Ответ: √36 + 2√9 = 12.
  • 19. Вычислите значение выражения: 2√16 - 3√25
    Как решаем: 2√16 - 3√25 = 2 * 4 - 3 * 5 = 8 - 15 = -7
    Ответ: 2√16 - 3√25 = -7.
  • 20. Вычислите значение выражения: 3√81 - 5√9
    Как решаем: 3√81 - 5√9 = 3*9 - 5 * 3 = 27 - 15 = 12
    Ответ: 3√81 - 5√9 = 12.
  • 21. Вынесите множитель из-под знака корень: √60
    Как решаем: √60 = √15 * √4 = 2√15
    Ответ: √60 = 2√15.
  • 22. Вынесите множитель из-под знака корень: √160
    Как решаем: √160 = √16 * √10 = 4√10
    Ответ: √160 = 4√10.
  • 23. Внесите множитель под знак корня: 6√7
    Как решаем: √62 * 7 = √36 * √7 = √252
    Ответ: 6√7 = √252.
  • 24. Внесите множитель под знак корня: 8√2
    Как решаем: 8√2 = √82 * 2 = √64 * √2 = √128 Ответ: 8√2 = √128.
  • 25. Внесите множитель под знак корня: 9√5

    Как решаем: 9√5 = √92 * 5 = √81 * √5 = √405
    Ответ: 9√5 = √405.
  • 26. Упростите выражение: (5 - √2)2
    Как решаем: (5 - √2)2 = 52 - 2 * 5 * √2 + (√2)2 = 25 - 10√2 + 2 = 27 - 10√2.
    Ответ: (5 - √2)2 = 27 - 10√2.
  • 27. Вычислите значение выражения: 3√49 - 3√25
    Как решаем: 3√49 - 3√25 = 3 * 7 - 3 * 5 = 21 - 15 = 6
    Ответ: 3√49 - 3√25 = 6.
  • 28. Вычислите значение квадратного корня: √484 * √576
    Как решаем: √484 * √576 = 22 * 24 = 528
    Ответ: √484 * √576 = 528.
  • 29. Вычислите значение квадратного корня: √625 * √81
    Как решаем: √625 * √81 = 25 * 9 = 225
    Ответ: √625 * √81 = 225.
  • 30. Найдите значение выражения: 3√100 - √144
    Как решаем: 3100 - 144 = 3 * 10 - 12 = 18
    Ответ: 3√100 - √144 = 18.

В 8 классе примеров с корнями очень много. Это значит, что ничего не остается, как выучить все формулы и натренироваться так, чтобы самый оголтелый квадратный корень выпустил белый флаг и запросил пощады.

На уроках математики в онлайн-школе Skysmart ваш ребенок научится извлекать самые неподатливые и громоздкие корни. Записывайтесь на бесплатный вводный урок и учите алгебру с удовольствием.

 
Бесплатный вводный урок
Шаг 1 из 2. Данные ученика
Класс
Цель обучения
  • 0
  • 0
  • 0
  • 0
  • 0
  • 0