Как найти среднюю линию треугольника?

Не каждая геометрическая фигура может похвастаться таким количеством линий, как треугольник: медиана, средняя линия, биссектриса, высота, серединный перпендикуляр. В этот раз поговорим про среднюю линию и узнаем, зачем она нужна.
  • Автор

    Лидия Казанцева

  • Рубрика

    8 класс

  • Дата публикации

    09.12.2020

  • Просмотры

    32052

Понятие треугольника

Треугольник — это геометрическая фигура, которая получилась из трех отрезков. Их соединили тремя точками, которые не лежат на одной прямой. Отрезки принято называть сторонами, а точки — вершинами.

Виды треугольника:

  • Прямой. Один угол прямой, два других меньше 90 градусов.
  • Острый. Градус угла больше 0, но меньше 90 градусов.
  • Тупой. Один угол тупой, два других — острые.

Виды треугольника

Треугольник считают равнобедренным, если две его стороны равны. Эти стороны называют боковыми сторонами, а третью — основанием.

Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним или правильным.

Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол, то есть угол в 90°. Сторона прямоугольного треугольника, которая лежит напротив прямого угла — гипотенуза, а две другие стороны — катеты.

Правильный (равносторонний или равноугольный) треугольник — это правильный многоугольник, в котором все стороны равны между собой, все углы также равны и составляют 60°. В равностороннем треугольнике высота является и биссектрисой, и медианой.

Свойства треугольников:

  • В треугольнике против большего угла лежит большая сторона — и наоборот.
  • Сумма углов треугольника равна 180 градусов.
  • Все углы равностороннего треугольника равны 60 градусам.
  • В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Понятие средней линии треугольника

Определение средней линии треугольника подходит для любого вида этой фигуры.

​Средняя линия треугольника — отрезок, который соединяет середины двух сторон. В любом треугольнике можно провести три средних линии.

​Основанием считается сторона, с которой средняя линия не пересекается.

Как найти среднюю линию треугольника расскажем дальше, а для начала еще немного разберемся со всеми определениями.

Запоминаем
Средняя линия параллельна третьей стороне, а ее длина равна половине длины этой стороны.

Понятие средней линии прямоугольного треугольника

Математики говорят: в любом треугольнике можно провести три средних линии. В прямоугольном треугольнике этот отрезок будет равен половине основания — это и есть формула средней линии прямоугольного треугольника. Основанием считается сторона, с которой средняя линия не пересекается.


Средняя линия прямоугольного треугольника

Прямой угол помогает нам применить другие признаки равенства и подобия. Для углов в прямоугольном треугольнике можно использовать геометрические тождества без дополнительных построений, а любую из сторон можно найти по теореме Пифагора.

 

В прямоугольном треугольнике две средние линии перпендикулярны катетам, а третья равна медиане, проведённой к гипотенузе. Средние линии острого и разностороннего треугольника не обладают подобными свойствами.

Важное свойство
Средняя линия прямоугольного треугольника делит его на четыре прямоугольные фигуры.

Свойства средней линии треугольника

Признак средней линии треугольника: если отрезок в треугольнике проходит через середину одной из его сторон, пересекает вторую и параллелен третьей — этот отрезок можно назвать средней линией этого треугольника.

Свойства:

 
  1. Средняя линия равна половине длины основания и параллельна ему.

  2. Средняя линия отсекает треугольник, подобный данному с коэффициентом 1/2; его площадь равна четверти площади данного.

  3. Три средние линии разделяют исходную фигуру на четыре равных треугольника. Центральный из них называют дополнительным.

  4. Три средние линии разделяют исходный прямоугольный треугольник на четыре равных прямоугольных треугольника.

Свойства средней линии треугольника

Теорема о средней линии треугольника

Теорема о средней линии треугольника звучит так:

Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине. А так выглядит формула нахождения средней линии треугольника:


Теорема о средней линии треугольника

Докажем теорему:

 
  1. По условию нам дано, что MA = MB, NA = NC

    Теорема о средней линии треугольника

  2. Рассмотрим два образовавшихся треугольника ΔAMN и ΔABC.

    По второму признаку подобия треугольников:

    второй признак подобия треугольника

  3. Поэтому ∠1 = ∠2 , как соответственные, а по признаку параллельности прямых: MN || BC.

    Параллельность средней линии и соответствующего ей основания доказана.

  4. Еще из подобия треугольников △AMN~△ABC можно выписать и отношение их третьих сторон отношение третьей стороны

    То, что средняя линия равна половине соответствующего основания, доказано.
 

Теорема доказана.

Пример 1. В треугольнике ΔABC AB = 8, BC = 7, CA = 5, точки M, N, K — середины сторон AB, BC, CA. Найти периметр ΔMNK.


Задание найти середины сторон треугольника

Как найти периметр треугольника:

 
  1. Сначала проверим существует ли указанный в условии треугольник ΔABC. Проверим это при помощи неравенства для его наибольшей стороны:

    7 + 5 > 8.

    Неравенство выполнено, значит, такой треугольник действительно есть.

  2. Соединим середины сторон треугольника ΔABC и получим его средние линии. Найдем их длины по теореме о средней линии:

    Нахождение длинны средней линии
 

Ответ: периметр треугольника равен 10.

Пример 2. В прямоугольном треугольнике АВС есть три средние линии: MN, NP, MP. В получившемся прямоугольнике MNPA известно, что синус угла между диагоналями равен 0,5. А средние линии MN и NP равны 3 и 4 соответственно. Найти площадь большого прямоугольного треугольника.


Задание найти площадь большого прямоугольного треугольника.

Как решаем:

 
  1. В прямоугольнике две диагонали между собой равны. Одна из диагоналей MP — это гипотенуза прямоугольного треугольника MNP. Катеты треугольника известны, значит можно найти гипотенузу через теорему Пифагора:

    Нахождение гипотенузы по теореме Пифагора

  2. Найдем площадь прямоугольника, как произведение диагоналей на синус угла между ними:

    S = 5 * 5 * 0,5 = 12,5

  3. В большом треугольнике четыре малых, а в прямоугольнике два малых треугольника. Все малые треугольники между собой равны, значит, чтобы найти площадь прямоугольного треугольнику, нужно умножить площадь прямоугольника на 2.

    S = 12,5 * 2 = 25
 

Ответ: площадь большого прямоугольного треугольника равна 25.

 
 
  • 0
  • 0
  • 0
  • 0
  • 0
  • 0