Обыкновенная дробь (a / b) — это запись рационального числа в виде отношения двух натуральных (или целых) чисел через дробную черту, где знаменатель b (внизу под чертой) показывает, на сколько равных долей разделили единицу, а числитель a (вверху над чертой) — сколько таких долей взяли. Сама дробная черта означает действие деления: a / b = a : b!
- Правильные, неправильные дроби и смешанные числа: правильная дробь (
a < b, меньше 1:3/5); неправильная дробь (a ≥ b, больше или равна 1:7/5 = 1 ⅖); перевод смешанного числа в неправильную дробь:C a/b = (C · b + a) / b. - Основное свойство дроби (для сокращения и общего знаменателя): если числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же число
k ≠ 0, величина дроби не изменится:a / b = (a · k) / (b · k). - Все 4 действия с обыкновенными дробями (Задание №6 ОГЭ): 1) + и −: приводим к общему знаменателю
a/b ± c/d = (ad ± bc) / (bd); 2) умножение: числитель на числитель, знаменатель на знаменатель(a·c) / (b·d); 3) деление: умножаем на перевёрнутую вторую дробь(a·d) / (b·c).
Правило для бланка ОГЭ и ЕГЭ: категорически запрещено складывать числитель с числителем, а знаменатель со знаменателем (a/b + c/d ≠ (a+c)/(b+d))! При сложении и вычитании дроби ОБЯЗАТЕЛЬНО приводятся к общему знаменателю НОК(b; d)!
2. Подстановка в формулу (a / b ± c / d = (a · d ± b · c) / (b · d)): 1) В скобках общий знаменатель 12: (8 + 3) / 12 = 11 / 12
3. Итоговый ответ: 2) Умножаем на 12: (11 / 12) · 12 = 11
1. Главные формулы и правила темы «Обыкновенные дроби и калькулятор дробей»
2. Подробный теоретический разбор, свойства и наглядные схемы
Практикуйся по этой теме! Пройди задание №14 ЕГЭ по базовой математике |
Дробь 1/2 - это половина целого числа, что в десятичной форме равно 0,5.
Пример: если разделить яблоко на две равные части, каждая часть будет составлять 1/2 или 0,5.
Для кого эта статья:
- Читатели, интересующиеся темой статьи
- Специалисты в данной области знаний
- Студенты или школьники, стремящиеся углубить свои знания
Получи больше пользы от Skysmart:
-
Прокачивай знания на курсах математики
-
Выбирай из 1200+ репетиторов по математике
Записывайся на бесплатные курсы для детей
Онлайн-калькулятор дробей
Результат: ...
Доля целого
Доля это каждая из равных частей, на которые поделено целое.
Для примера возьмем два мандарина. Когда мы их почистим, то получим в каждом мандарине разное количество долек или долей. В одном может быть 6, а в другом — целых 9. Размеры долей у каждого мандарина тоже разные.
У каждой доли есть свое название: оно зависит от количества долей в конкретном предмете. Если в мандарине шесть долей — каждая из них будет определяться, как одна шестая от целого.
- Половина — одна вторая доля предмета или 1/2.
- Треть — одна третья доля предмета или 1/3.
- Четверть — одна четвертая доля предмета или 1/4.
Понятие доли можно применить не только к предметам, но и величинам. Так, например, картина занимает четверть стены — при этом ее ширина треть метра.
Как устроена обыкновенная дробь
В дроби число над чертой называется числителем и является делимым, а число под чертой называется знаменателем и является делителем.
Пример: в дроби 3/4, 3 — числитель, 4 — знаменатель.
Обыкновенная дробь — это запись вида m/n, где m и n любые натуральные числа.
Такие дроби записываются с помощью двух натуральных чисел и горизонтальной черты, которая называется чертой дроби. Иногда ставится не горизонтальная черта, а косая.
Числитель обыкновенной дроби m/n — это натуральное число m, которое стоит над чертой. Числитель это делимое — то, что мы делим.
Знаменатель обыкновенной дроби m/n — натуральное число n, которое стоит под чертой. Знаменатель это делитель — то, на сколько делим.
Черта между числителем и знаменателем — символ деления.
Равные обыкновенные дроби — обыкновенные дроби a/b и c/d, для которых справедливо равенство: a * d = b * c. Пример равных дробей: 1/2 и 2/4, так как 1 * 4 = 2 * 2.
Неравные обыкновенные дроби — обыкновенные дроби a/b и c/d, для которых равенство: a * d = b * c не является верным.
Как устроена десятичная дробь
1/4 это 0,25.
Чтобы перевести дробь 1/4 в десятичную форму, нужно разделить числитель (1) на знаменатель (4), то есть 1 : 4 = 0,25.
Пример: 1/4 килограмма равна 0,25 килограмма.
В десятичной дроби знаменатель всегда равен 10, 100, 1000, 10000 и т.д. Выходит, что десятичная дробь — это то, что получается, если разделить числитель на знаменатель. Десятичную дробь записывают в строчку через запятую, чтобы отделить целую часть от дробной. Вот так:
- 0,3
- 4,23
- 9,939
Конечная десятичная дробь — это дробь, в которой количество цифр после запятой точно определено.
Бесконечная десятичная дробь — это когда после запятой количество цифр бесконечно. Для удобства математики договорились округлять эти цифры до 1-3 после запятой.
Свойства дробей
Основное свойство дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится дробь, равная данной. Формула выглядит так:
где a, b, k — натуральные числа.
Основные свойства
|
Обыкновенная и десятичная дробь — давние друзья. Вот, как они связаны:
- Целая часть десятичной дроби равна целой части смешанной дроби. Если числитель меньше знаменателя, то целая часть равна нулю.
- Дробная часть десятичной дроби содержит те же цифры, что и числитель этой же дроби в обыкновенном виде, если в знаменателе обыкновенной дроби числа 10, 100, 1000 и т. д.
- Количество цифр после запятой зависит от количества нулей в знаменателе обыкновенной дроби, если в знаменателе обыкновенной дроби числа 10, 100, 1000 и т. д. То есть 1 цифра — делитель 10, 4 цифры — делитель 10000.
Запомнить свойства дробей и научиться их применять, чтобы получать пятёрки на контрольных и экзаменах, легче всего на уроках с репетитором. Например, в онлайн-курсах Skysmart. Здесь классные учителя, нескучные интерактивные задания, а за ошибки никто не ругает.
Действия с дробями
С дробями можно выполнять те же действия, что и с обычными числами: складывать, вычитать, умножать и делить. А еще дроби можно сокращать и сравнивать между собой. Давайте попробуем.
Сравнение дробей
Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше.
Сравним 1/5 и 4/5. Как рассуждаем:
- В обеих дробях знаменатель равен 5.
- В первой дроби числитель равен 1, во второй дроби равен 4.
1 < 4
- Поэтому первая дробь 1/5 меньше второй 4/5.
Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше.
Сравним 1/2 и 1/8. Как рассуждаем:
Представим, что у нас есть торт. Так как знаменатель первой дроби равен 2, то делим торт на две части и забираем себе одну, то есть половину торта.
Знаменатель второй дроби равен 8, делим торт на восемь частей и забираем крохотный кусочек. Половина торта больше больше маленького кусочка.
Таким образом 1/2 > 1/8.
Чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, нужно привести дроби к общему знаменателю. А после приведения дробей к общему знаменателю, можно применить правило сравнения дробей с одинаковыми знаменателями.
Пример. Сравнить 2/7 и 1/14.
Как рассуждаем:
- Приведем дроби к общему знаменателю:
- Сравним дроби с одинаковыми знаменателями:
Ответ: 2/7 > 1/14.
Важно запомнить: любая неправильная дробь больше любой правильной. Потому что неправильная дробь всегда больше или равна 1, а правильная дробь всегда меньше 1.
Чтобы сравнить дроби с разными числителями и знаменателями, нужно:
- привести дроби к общему знаменателю;
- сравнить полученные дроби.
Чтобы привести дроби к общему знаменателю, нужно:
- Найти общее кратное знаменателей дробей, которое станет их общим знаменателем.
- Разделить общий знаменатель на знаменатель данных дробей, то есть найти для каждой дроби дополнительный множитель.
- Умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель.
Сокращение дробей
Сокращение дроби — это деление числителя и знаменателя дроби на одно и то же натуральное число. Сократить дробь значит сделать ее короче и проще для восприятия. Например, дробь 1/3 выглядит намного проще и красивее, чем 27/81.
Сокращение дроби выглядит так: зачеркивают числитель и знаменатель, а рядом записывают результаты деления числителя и знаменателя на одно и то же число.
В этом примере делим обе части дроби на двойку.
Можно никуда не спешить и сокращать дроби последовательно, в несколько действий.
Сложение и вычитание дробей
При сложении и вычитании дробей с одинаковыми знаменателями к числителю первой дроби прибавляют числитель второй дроби (из числителя первой вычитают числитель второй) и оставляют тот же знаменатель.
Не забудьте проверить, можно ли сократить дробь и выделить целую часть.
При сложении и вычитании дробей с разными знаменателями нужно найти наименьший общий знаменатель, сложить или вычесть полученные дроби (используем предыдущее правило).
Вот, что делать:
- Найдем наименьшее общее кратное для определения единого делителя.
Для этого запишем в столбик числа, которые в сумме дают значения делителей. Далее перемножаем полученное и получаем НОК.
НОК (15, 18) = 3 * 2 * 3 * 5 = 90
- Найдем дополнительные множители для каждой дроби. Для этого НОК делим на каждый знаменатель:
90 : 15 = 6,
90 : 18 = 5.
Полученные числа запишем справа сверху над числителем.
- Воспользуемся одним из основных свойств дробей: перемножим числитель и знаменатель на дополнительный множитель. После умножения знаменатель должен быть равен наименьшему общему кратному, которое мы ранее высчитывали. Затем можно перейти к сложению.
- Проверим полученный результат:
- если числитель больше знаменателя, нужно преобразовать дробь в смешанное число;
- если есть что сократить, нужно выполнить сокращение.
Ход решения одной строкой:
Сложение или вычитание смешанных чисел можно привести к отдельному сложению их целых частей и дробных частей. Для этого нужно действовать поэтапно:
- Сложить целые части.
- Сложить дробные части.
Необходимо приводить к общему, если знаменатели разные. Для этого воспользуемся знаниями из предыдущего примера.
- Суммировать полученные результаты.
Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, нужно выделить ее целую часть и прибавить к полученной ранее целой части.
Умножение и деление дробей
Произведение двух дробей равно дроби, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей:
Не забываем про сокращение. Это может облегчить вычисления.
Чтобы умножить два смешанных числа, надо:
- преобразовать смешанные дроби в неправильные;
- перемножить числители и знаменатели дробей;
- сократить полученную дробь;
- если получилась неправильная дробь, преобразовать в смешанную.
Чтобы разделить дробь на дробь нужно выполнить следующую последовательность действий:
- числитель первой умножить на знаменатель второй, результат произведения записать в числитель новой дроби;
- знаменатель первой умножить на числитель второй, результат произведения записать в знаменатель новой дроби.
Другими словами это правило звучит так: чтобы разделить одну дробь на другую, надо первую умножить на обратную от второй.
Числа, произведение которых равно 1, называют взаимно обратными.
Как делить дроби с разными знаменателями? На самом деле одинаковые или разные знаменатели у дробей — неважно, потому что все дроби делятся по правилу, описанному выше.
Для деления смешанных чисел необходимо:
- представить числа в виде неправильных дробей;
- разделить то, что получилось друг на друга.
Чтобы закрепить новые знания о дробях, можно посмотреть наше видео. А ещё лучше — отработать навыки на практике на уроках математики в онлайн-курсах Skysmart. Кстати, пройти вводный урок можно совершенно бесплатно. На нём методист проверит текущий уровень знаний и посоветует, как его прокачать.
3. Сводная таблица всех формул и свойств для контрольной, ОГЭ и ЕГЭ
| Условие / Правило | Рабочая формула и пример применения |
|---|---|
| Правильные, неправильные дроби и смешанные числа | правильная дробь (a < b, меньше 1: 3/5); неправильная дробь (a ≥ b, больше или равна 1: 7/5 = 1 ⅖); перевод смешанного числа в неправильную дробь: C a/b = (C · b + a) / b. |
| Основное свойство дроби (для сокращения и общего знаменателя) | если числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же число k ≠ 0, величина дроби не изменится: a / b = (a · k) / (b · k). |
| Все 4 действия с обыкновенными дробями (Задание №6 ОГЭ) | 1) + и −: приводим к общему знаменателю a/b ± c/d = (ad ± bc) / (bd); 2) умножение: числитель на числитель, знаменатель на знаменатель (a·c) / (b·d); 3) деление: умножаем на перевёрнутую вторую дробь (a·d) / (b·c). |
4. Практикум: разбор реальных задач с пошаговым решением
1. Приводим дроби в скобках к наименьшему общему знаменателю НОК(6; 8) = 24: (5·4 − 3·3) / 24 = (20 − 9) / 24 = 11/24.
2. Делим на 11/12 (умножаем на перевёрнутую 12/11): (11/24) · (12/11) = 12 / 24 = 1/2 = 0,5.
1. Переводим смешанные числа для умножения в неправильные дроби: 1 ⅗ = 8/5; 2 ½ = 5/2.
2. Умножаем: (8/5) · (5/2) = 8 / 2 = 4.
3. Вычитаем: 4 − 1 ¾ = 3 ⁴/₄ − 1 ¾ = 2 ¼ = 2,25.
1. Находим долю маршрута за первые два дня: 2/5 + 1/3 = (6 + 5) / 15 = 11/15.
2. На третий день осталась доля: 1 − 11/15 = 4/15 маршрута, что равно 8 км.
3. Находим весь маршрут по его доле: (8 : 4) · 15 = 30 км.
5. Контрольный чек-лист: частые ошибки и ловушки на экзамене
- Главное правило проверки ответа: категорически запрещено складывать числитель с числителем, а знаменатель со знаменателем (a/b + c/d ≠ (a+c)/(b+d))! При сложении и вычитании дроби ОБЯЗАТЕЛЬНО приводятся к общему знаменателю НОК(b; d)!
- Контроль первой формулы (СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ (ОБЩИЙ ЗНАМЕНАТЕЛЬ!)): Основное свойство дроби: a / b = (a · k) / (b · k) (a / b ± c / d = (a · d ± b · c) / (b · d)).
- Контроль второй формулы (УМНОЖЕНИЕ, ДЕЛЕНИЕ И СМЕШАННЫЕ ЧИСЛА): Смешанное в неправильную дробь: C a/b = (C · b + a) / b ((a/b) · (c/d) = (ac)/(bd) | (a/b) : (c/d) = (ad)/(bc)).
Потренироваться самостоятельно с автопроверкой ответов можно в бесплатном тренажёре ЕГЭ от Skysmart: доступны разделы по базовой математике и профильной математике.
На онлайн-курсах по математике в Skysmart преподаватели разбирают каждый прототип ФИПИ на интерактивной доске и помогают довести решение задач первой и второй части до полного автоматизма.
6. Часто задаваемые вопросы (FAQ)
Какая главная формула в теме «Обыкновенные дроби и калькулятор дробей»?
Базовое соотношение темы: a / b ± c / d = (a · d ± b · c) / (b · d), а также вторая ключевая формула: (a/b) · (c/d) = (ac)/(bd) | (a/b) : (c/d) = (ad)/(bc). Подробный пример расчёта: Вычислить (Задание №6 ОГЭ): (2/3 + 1/4) · 12 ➔ 1) В скобках общий знаменатель 12: (8 + 3) / 12 = 11 / 12 ➔ 2) Умножаем на 12: (11 / 12) · 12 = 11.
На какой ловушке чаще всего теряют баллы на контрольной, ОГЭ и ЕГЭ?
Главное правило для бланка ответов: категорически запрещено складывать числитель с числителем, а знаменатель со знаменателем (a/b + c/d ≠ (a+c)/(b+d))! При сложении и вычитании дроби ОБЯЗАТЕЛЬНО приводятся к общему знаменателю НОК(b; d)!
Где скачать шпаргалку со всеми формулами для печати?
В первом экране статьи доступна бесплатная PDF-шпаргалка формата А4 со всеми формулами и алгоритмами темы «Обыкновенные дроби и калькулятор дробей».
