Целые числа (множество Z) — это все натуральные числа (1, 2, 3, ...), им противоположные отрицательные числа (−1, −2, −3, ...) и число ноль (0): Z = {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...}. Никакие дробные числа (с ненулевой дробной частью, такие как 2,5 или −3/4) в множество целых чисел НЕ входят!
- Структура множества целых чисел Z (три части):
Z = Z₋ (целые отрицательные) ∪ { 0 } ∪ N (натуральные = целые положительные). - Важная терминология на ЕГЭ (неотрицательные vs положительные): целые положительные:
1, 2, 3...(без нуля!); целые НЕотрицательные:0, 1, 2, 3...(включая ноль 0!); целые НЕположительные:0, −1, −2, −3... - Подсчёт количества всех целых чисел на отрезке [a; b] (при целых a и b): если оба конца включены:
N = b − a + 1; если оба конца выколоты(a; b):N = b − a − 1!
Правило для бланка ОГЭ и ЕГЭ: при подсчёте целых чисел между отрицательным и положительным числом (например, от −4 до 5 включительно) НЕ ЗАБЫВАЙТЕ считать число НОЛЬ (0) посередине: 5 − (−4) + 1 = 10 целых чисел!
2. Подстановка в формулу (Z = { ..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ... }): Выписываем крайние целые внутри: слева −3, справа 4
3. Итоговый ответ: От −3 до −1 (3 шт.) + число 0 (1 шт.) + от 1 до 4 (4 шт.) = 8 чисел!
1. Главные формулы и правила темы «Какие числа называются целыми»
2. Подробный теоретический разбор, свойства и наглядные схемы
Практикуйся по этой теме! Пройди задание №19 ЕГЭ по профильной математике |
Ноль - это целое число, которое на числовой прямой разделяет положительные и отрицательные числа.
Пример: 0 находится между -1 и 1.
Для кого эта статья:
- учащиеся старших классов, готовящиеся к ЕГЭ по математике
- студенты, изучающие основы высшей математики
- родители, стремящиеся помочь своим детям в обучении математике
Получи больше пользы от Skysmart:
-
Прокачивай знания на курсах математики
-
Выбирай из 1200+ репетиторов по математике
Записывайся на бесплатные курсы для детей
Определение целых чисел
Что такое целое число — это натуральное число, а также противоположное ему число и нуль. Примеры целых чисел: -7, 222, 0, 569321, -12345 и др.
Что важно знать о целых числах:
- Сумма, разность и произведение целых чисел в результате дают целые числа.
- Не существует самого большого и самого маленького целого числа. Этот ряд бесконечен. Наибольшего и наименьшего целых чисел — не бывает.
- Обыкновенные и десятичные дроби нельзя назвать целыми числами. Но иногда в задачах можно встретить целые числа, у которых дробная часть равна нулю и при этом нет долей.
Целые числа на числовой оси выглядят так:
На координатной прямой начало отсчета всегда начинается с точки 0. Слева находятся все отрицательные целые числа, справа — положительные. Каждой точке соответствует единственное целое число.
В любую точку прямой, координатой которой является целое число, можно попасть, если отложить от начала координат данное количество единичных отрезков.
Натуральные числа — это целые, положительные числа, которые мы используем для подсчета. Вот они: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 + ∞.
Целые числа — это расширенное множество натуральных чисел, которое можно получить, если добавить к ним нуль и противоположные натуральным отрицательные числа. Множество целых чисел обозначают Z.
Выглядит эти ребята вот так:
Последовательность целых чисел можно записать так:
∞ + ... -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 … + ∞
Курсы обучения математике помогут подтянуть оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам.
Свойства целых чисел
Таблица содержит основные свойства сложения и умножения для любых целых a, b и c:
|
Свойство |
Сложение |
Умножение |
|
Замкнутость |
a + b — целое |
a × b — целое |
|
Ассоциативность |
a + (b + c) = (a + b) + c |
a * (b * c) = (a * b) * c |
|
Коммутативность |
a + b = b + a |
a * b = b * a |
|
Существование нейтрального элемента |
a + 0 = a |
a * 1 = a |
|
Существование противоположного элемента |
a + (−a) = 0 |
a ≠ ±1 ⇒ 1/a не является целым |
|
Дистрибутивность умножения относительно сложения |
a * (b + c) = (a * b) + (a * c) |
|
Пару слов о делении. В стандартном виде невозможно разделить число на множестве целых чисел, но можно делить с остатком. Это правило можно сформулировать так:
- Для всяких целых a и b (b ≠ 0), есть один набор целых чисел q и r. При этом:
a = bq + r, где a — делимое, b — делитель, q — частное, r — остаток,
0 ≤ r < |b|, где |b| — абсолютная величина (модуль) числа b.
Положительные и отрицательные целые числа
Ряд целых чисел состоит из положительных и отрицательных чисел. Справа от нуля живут натуральные числа — их еще называют целыми положительными числами. А слева от нуля — целые отрицательные числа.
Отрицательные целые числа — это целые числа со знаком «минус». Они всегда меньше нуля. Примеры целых отрицательных чисел: -944, -1287, -1, -19.
Положительные целые числа — это целые числа со знаком «плюс». Они всегда больше нуля. Примеры положительных целых чисел: 13, 401, 55, 29, 12345.
Бесконечное множество — это ряд целых чисел в положительную и в отрицательную сторону.
Если выбрать два любых целых числа, то те числа, которые находятся между заданными, можно называть конечным множеством.
Например, напишем целые числа от -4 до 3. Все числа, стоящие между этими числами, входят в конечное множество. Данное конечное множество чисел выглядит так:
- -3, -2, -1, 0, 1, 2
Пример 1. Сколько целых чисел расположено между числами -30 и 100?
Как рассуждаем:
- Можно построить прямую и посчитать сколько отрезков находится между заданными числам.
- Или можно посчитать в уме: у нас есть 29 отрицательных числа, нуль и 99 положительных чисел.
29 + 1 + 99 = 129
Ответ: 129.
Пример 2. Сколько нечетных целых чисел расположено между числами -4 и 5?
Как рассуждаем:
- Выпишем все целые числа, которые находятся между -4 и 5:
-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 - Подчеркнем нечетные числа в данному ряду.
Ответ: -3, -1, 1, 3.
Неположительные и неотрицательные целые числа
Неотрицательные целые числа — это положительные целые числа и число нуль. Примеры неотрицательных целых чисел: 43, 878, 0.
Неположительные целые числа — это отрицательные целые числа и число нуль. Примеры неположительных целых чисел: -43, -878, 0.
Нуль — это граница между положительными и отрицательными числами. То есть нуль это ни положительное и ни отрицательное число.
Эти два термина помогают формулировать мысли кратко. Например, вместо того, чтобы говорить, что число a — целое число, которое меньше или равно нулю, можно сказать: a — целое неположительное число.
Целые числа в описании изменения величины
Какие числа называют целыми мы уже знаем. Их удобно использовать, чтобы считать предметы или чтобы сказать, что чего-то стало больше или меньше. А теперь примерчик!
Вы участвуете в конкурсе в инстаграм: нужно написать 5 постов про свои самые заветные мечты. А пока вы это не сделали, можно сказать, что сейчас у вас -5 постов. То есть число 5 описывает сколько вы должны сделать постов, а знак «минус» говорит о том, что вы все еще не выполнили условия конкурса. Постов то нет🙄
А если помимо 5 постов, нужно опубликовать еще 5 сторис — общий долг можно вычислить по правилу сложения отрицательных чисел:
- -5 (постов, которых еще нет) + (-5 сториз, которых тоже еще нет) = -10 публикаций
Итого: чтобы участвовать в конкурсе, нужно сделать 10 публикаций в инстаграм.
3. Сводная таблица всех формул и свойств для контрольной, ОГЭ и ЕГЭ
| Условие / Правило | Рабочая формула и пример применения |
|---|---|
| Структура множества целых чисел Z (три части) | Z = Z₋ (целые отрицательные) ∪ { 0 } ∪ N (натуральные = целые положительные). |
| Важная терминология на ЕГЭ (неотрицательные vs положительные) | целые положительные: 1, 2, 3... (без нуля!); целые НЕотрицательные: 0, 1, 2, 3... (включая ноль 0!); целые НЕположительные: 0, −1, −2, −3... |
| Подсчёт количества всех целых чисел на отрезке [a; b] (при целых a и b) | если оба конца включены: N = b − a + 1; если оба конца выколоты (a; b): N = b − a − 1! |
4. Практикум: разбор реальных задач с пошаговым решением
1. Количество целых чисел на отрезке [−5; 7]: 7 − (−5) + 1 = 13 целых чисел.
2. При сложении все пары противоположных чисел от −5 до +5 взаимно уничтожаются (дают 0!). Остаётся только сумма: 6 + 7 = 13.
1. Концы интервала −6 и 5 выколоты (круглые скобки!), значит крайние целые числа внутри — это −5 и 4.
2. Считаем количество от −5 до 4 включительно: 4 − (−5) + 1 = 10 целых точек.
1. Делим обе части на 3: x < −10 / 3 ⇔ x < −3 ⅓.
2. На числовой прямой левее точки −3 ⅓ ближайшим целым числом является −4 (а число −3 лежит правее и не подходит!).
5. Контрольный чек-лист: частые ошибки и ловушки на экзамене
- Главное правило проверки ответа: при подсчёте целых чисел между отрицательным и положительным числом (например, от −4 до 5 включительно) НЕ ЗАБЫВАЙТЕ считать число НОЛЬ (0) посередине: 5 − (−4) + 1 = 10 целых чисел!
- Контроль первой формулы (СОСТАВ МНОЖЕСТВА Z (БЕЗ ДРОБЕЙ!)): Натуральные (1, 2, 3...) + Противоположные (−1, −2...) + Ноль (0)! (Z = { ..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ... }).
- Контроль второй формулы (ФОРМУЛА ЧИСЛА ЦЕЛЫХ ТОЧЕК НА ОТРЕЗКЕ [A; B]): Неотрицательные целые: 0, 1, 2, 3... (ноль входит!) (На отрезке [a; b]: N = b − a + 1 (не забудь число 0!)).
Потренироваться самостоятельно с автопроверкой ответов можно в бесплатном тренажёре ЕГЭ от Skysmart: доступны разделы по базовой математике и профильной математике.
На онлайн-курсах по математике в Skysmart преподаватели разбирают каждый прототип ФИПИ на интерактивной доске и помогают довести решение задач первой и второй части до полного автоматизма.
6. Часто задаваемые вопросы (FAQ)
Какая главная формула в теме «Какие числа называются целыми»?
Базовое соотношение темы: Z = { ..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ... }, а также вторая ключевая формула: На отрезке [a; b]: N = b − a + 1 (не забудь число 0!). Подробный пример расчёта: Сколько целых чисел лежит на интервале (−3,4; 4,8)? ➔ Выписываем крайние целые внутри: слева −3, справа 4 ➔ От −3 до −1 (3 шт.) + число 0 (1 шт.) + от 1 до 4 (4 шт.) = 8 чисел!.
На какой ловушке чаще всего теряют баллы на контрольной, ОГЭ и ЕГЭ?
Главное правило для бланка ответов: при подсчёте целых чисел между отрицательным и положительным числом (например, от −4 до 5 включительно) НЕ ЗАБЫВАЙТЕ считать число НОЛЬ (0) посередине: 5 − (−4) + 1 = 10 целых чисел!
Где скачать шпаргалку со всеми формулами для печати?
В первом экране статьи доступна бесплатная PDF-шпаргалка формата А4 со всеми формулами и алгоритмами темы «Какие числа называются целыми».
