Модуль числа

Автор
Юлия Герасимова
Дата публикации
03.08.2020
Просмотры
77293
Определение модуля числа
Алгебра дает четкое определения модуля числа. Модуль в математике — это расстояние от начала отсчёта до точки координатной прямой, соответствующей этому числу.
Если мы возьмем некоторое число «a» и изобразим его на координатной прямой точкой «A» — расстояние от точки «A» до начала отсчёта (то есть до нуля, длина отрезка «OA») будет называться модулем числа «a».
Знак модуля: |a| = OA
Разберем на примере:
Точка «В», которая соответствует числу «−3», находится на расстоянии 3 единичных отрезков от точки 0 (то есть от начала отсчёта). То есть длина отрезка «OB» равна 3 единицам.
Число 3 (длина отрезка «OB») называют модулем числа «−3».
Обозначение модуля: |−3| = 3
Читают символы выше следующим образом: «модуль числа минус три равен трем».
Точка «С», которая соответствует числу «+4», находится на расстоянии четырех единичных отрезков от начала отсчёта, то есть длина отрезка «OС» равна четырем единицам.
Число 4 называют модулем числа «+4» и обозначают так: |+4| = 4.
Также можно опустить плюс и записать значение, как |4| = 4.
Записывайся на занятия по математике для учеников с 1 по 11 классы. |
Свойства модуля числа
Давайте рассмотрим семь основных свойств модуля. Независимо от того, в какой класс перешел ребенок — эти правила пригодятся всегда.
1. Модуль числа — это расстояние, а расстояние не может быть отрицательным. Поэтому и модуль числа не бывает отрицательным:
- |a|0
2. Модуль положительного числа равен самому числу.
- |a| = a, если a > 0
3. Модуль отрицательного числа равен противоположному числу.
- |−a| = a, если a < 0
4. Модуль нуля равен нулю.
- |0| = 0, если a = 0
5. Противоположные числа имеют равные модули.
- |−a| = |a| = a
6. Модуль произведения равен произведению модулей этих чисел.
- |a b| = |a| |b|, когда
a·b 0
или
−(a·b), когда a·b<0
7. Модуль частного равен частному от деления модуля числа числителя на модуль числа знаменателя:
Геометрическая интерпретация модуля
Как мы уже знаем, модуль числа — это расстояние от нуля до данного числа. То есть расстояние от точки −5 до нуля равно 5.
Нарисуем числовую прямую и отобразим это на ней.
Эта геометрическая интерпретация используется для решения уравнений и неравенств с модулем. Давайте рассмотрим на примерах.
Решим уравнение: |х| = 5
Мы видим, что на числовой прямой есть две точки, расстояние от которых до нуля равно 5. Это точки 5 и −5. Значит, уравнение имеет два решения: x = 5 и x = −5.
Когда у нас есть два числа a и b, то их разность |a - b| равна расстоянию между ними на числовой прямой. Или длине отрезка АВ
Расстояние от точки a до точки b равно расстоянию от точки b до точки a, тогда |a - b| = |b - a|.
Решим уравнение: |a - 3| = 4 . Запись читаем так: расстояние от точки а до точки 3 равно 4. Отметим на числовой прямой точки, удовлетворяющие этому условию.
Уравнение имеет два решения: −1 и 7. Мы из 3 вычли 4 - и это один ответ, а также к 3 мы прибавили 4 - и это второй ответ.
Решим неравенство: |a + 7| < 4 .
Эту запись читаем так: расстояние от точки a до точки −7 меньше четырёх. Отмечаем на числовой прямой точки, удовлетворяющие этому условию:
Ответ в данном случае будет таким: (-11; -3).
Решим неравенство: |10 − x| ≥ 7.
Расстояние от точки 10 до точки x больше или равно семи. Отметим эти точки на числовой прямой.
Ответ: ( -; 3] [17, +)
График функции
График функции равен y = |х|.
Для x 0 имеем y = x.
Для x < 0 имеем y = −x. В результате получаем:
Этот график можно использовать при решении уравнений и неравенств.
Корень из квадрата
В контрольной или задаче ЕГЭ может встретиться задачка, в которой просят вычислить √a2 , где a – некоторое число или выражение.
При этом, √a2= |a|.
По определению арифметического квадратного корня √a2 — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен a2 .
Оно равно a, при а 0 и -а, при а < 0 , т. е. как раз |a|.
Модуль комплексного числа
У нас есть комплексное число, которое выглядит следующим образом: z=x+i·y, где x и y представляют собой действительную и мнимую части комплексного числа z (и являются действительными), а i — мнимая единица и равна √-1
Чему равен модуль числа в данном случае? Это арифметический квадратный корень из суммы квадратов действительной и мнимой части комплексного числа:
Модуль рационального числа
Как найти модуль рационального числа — это расстояние от начала отсчёта до точки координатной прямой, которая соответствует этому числу.
Модуль рационального числа, примеры:
|-3,5| = 3,5
|0| = 0
Модуль вещественных чисел
- Область определения: (−∞;+∞).
- Область значений: [0;+∞).
- Функция чётная.
- Функция дифференцируется везде, кроме нуля. В точке x=0 функция претерпевает излом.
Модуль противоположного числа, нуля, отрицательного и положительного чисел
Исходя из свойств модуля, которые мы рассмотрели выше, получаем:
- Противоположные числа имеют равные модули, то есть |- а| = |а| = a.
Если посмотреть это относительно координатной прямой, то две точки, у которых координаты - это противоположные числа, располагаются на одном расстоянии от начала отсчета. То есть модули противоположных чисел одинаковы. - Модуль нуля равен нулю.
|0| = 0, если a = 0 - Для положительного числа модуль равен самомý числу, а для отрицательного – противоположному числу.
|а| = - а
|−a| = a
Приходите заниматься нескучной математикой в детскую онлайн-школу Skysmart. Поможем ребенку разобраться в сложной теме, подготовиться к контрольной, подтянуть оценки и чувствовать себя увереннее на математике в школе.
Запишите вашего ребенка на бесплатный пробный урок и начните заниматься уже завтра.


- 0
- 0
- 0
- 0
- 0
- 0