Определение модуля числа
Алгебра дает четкое определение модуля числа. Модуль числа в математике — это расстояние от начала отсчёта до точки координатной прямой, соответствующей этому числу.
Если мы возьмем некоторое число «a» и изобразим его на координатной прямой точкой A — расстояние от точки A до начала отсчёта (то есть до нуля) длина отрезка OA будет называться модулем числа «a».
Знак модуля: |a| = OA.
Разберем на примере:
Точка В, которая соответствует числу −3, находится на расстоянии 3 единичных отрезков от точки O (то есть от начала отсчёта). Значит, длина отрезка OB равна 3 единицам.
Число 3 (длину отрезка OB) называют модулем числа −3.
Обозначение модуля: |−3| = 3 (читают: «модуль числа минус три равен трём»).
Точка С, которая соответствует числу +4, находится на расстоянии четырех единичных отрезков от начала отсчёта, то есть длина отрезка OС равна четырем единицам.
Число 4 называют модулем числа +4 и обозначают так: |+4| = 4.
Также можно опустить плюс и записать значение, как |4| = 4.
Онлайн-курсы математики для детей помогут подтянуть оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам.
Получи больше пользы от Skysmart:
-
Прокачивай знания на курсах математики.
-
Выбирай из 1200+ репетиторов по математике.
Свойства модуля числа
Давайте рассмотрим семь основных свойств модуля. Независимо от того, в какой класс перешел ребенок — эти правила пригодятся всегда.
1. Модуль числа — это расстояние, а расстояние не может быть отрицательным. Поэтому и модуль числа не бывает отрицательным:
- |a| > 0
2. Модуль положительного числа равен самому числу.
- |a| = a, если a > 0
3. Модуль отрицательного числа равен противоположному числу.
- |−a| = a
4. Модуль нуля равен нулю.
- |0| = 0, если a = 0
5. Противоположные числа имеют равные модули.
- |−a| = |a| = a
6. Модуль произведения равен произведению модулей этих чисел.
- |a b| = |a| |b|, когда
a · b = 0
или
−(a · b), когда a · b < 0
7. Модуль частного равен частному от деления модуля числа числителя на модуль числа знаменателя:
Геометрическая интерпретация модуля
Как мы уже знаем, модуль числа — это расстояние от нуля до данного числа. То есть расстояние от точки −5 до нуля равно 5.
Нарисуем числовую прямую и отобразим это на ней.
Эта геометрическая интерпретация используется для решения уравнений и неравенств с модулем. Давайте рассмотрим на примерах.
Решим уравнение: |х| = 5.
Мы видим, что на числовой прямой есть две точки, расстояние от которых до нуля равно 5. Это точки 5 и −5. Значит, уравнение имеет два решения: x = 5 и x = −5.
Когда у нас есть два числа a и b, то их разность |a - b| равна расстоянию между ними на числовой прямой или длине отрезка АВ.
Расстояние от точки a до точки b равно расстоянию от точки b до точки a, тогда |a - b| = |b - a|.
Решим уравнение: |a - 3| = 4 . Запись читаем так: расстояние от точки а до точки 3 равно 4. Отметим на числовой прямой точки, удовлетворяющие этому условию.
Уравнение имеет два решения: −1 и 7. Мы из 3 вычли 4 - и это один ответ, а также к 3 мы прибавили 4 - и это второй ответ.
Решим неравенство: |a + 7| < 4.
Эту запись читаем так: расстояние от точки a до точки −7 меньше четырех. Отмечаем на числовой прямой точки, удовлетворяющие этому условию:
Ответ в данном случае будет таким: (−11; −3).
Решим неравенство: |10 − x| ≥ 7.
Расстояние от точки 10 до точки x больше или равно семи. Отметим эти точки на числовой прямой.
Ответ: (−∞; 3] [17, +∞).
График функции
График функции равен y = |х|.
Для x > 0 имеем y = x.
Для x < 0 имеем y = −x. В результате получаем:
Этот график можно использовать при решении уравнений и неравенств.
Корень из квадрата
В контрольной работе или на ЕГЭ может встретиться задачка, в которой нужно вычислить √a2 , где a – некоторое число или выражение.
При этом, √a2= |a|.
По определению арифметического квадратного корня √a2 — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен a2 .
Оно равно a при а > 0 и −а, при а < 0 , т. е. как раз |a|.
Модуль рационального числа
Как найти модуль рационального числа — это расстояние от начала отсчёта до точки координатной прямой, которая соответствует этому числу.
Модуль рационального числа, примеры:
|-3,5| = 3,5
|2,27| = 2,27
