Как сокращать алгебраические дроби?

Алгебраическая дробь только с виду страшна и зубаста. На деле — это коллаборация старых-добрых обыкновенных дробей и буквенных множителей. Давайте познакомимся с ними поближе и узнаем, что такое сокращение алгебраических дробей.
  • Автор

    Анастасия Белова

  • Дата публикации

    09.12.2020

  • Просмотры

    825

Определение

Алгебраическая дробь — это дробь, в числителе и/или знаменателе которой стоят алгебраические выражения (буквенные множители). Вот так:


Алгебраическая дробь

Алгебраическая дробь содержит буквенные множители и степени.

Необыкновенной алгебраическую дробь делают буквы. Если заменить их на цифры, то карета превратится в тыкву — алгебраическая дробь тут же станет обыкновенной.

Если вы засомневались, что должно быть сверху — числитель или знаменатель — переходите по ссылке и освежите знания по теме обыкновенных дробей.


как определить числитель и знаменатель

Сокращение алгебраических дробей

Сократить алгебраическую дробь — значит разделить ее числитель и знаменатель на общий множитель. Общий множитель числителя и знаменателя в алгебраической дроби — многочлен и одночлен.

Если в 7 классе только и разговоров, что об обыкновенных дробях, то 8 класс сокращает исключительно алгебраические дроби.

Сокращение дробей с буквами и степенями проходит в три этапа:

 
  1. Определите общий множитель.

  2. Сократите коэффициенты.

  3. Поделите все числители и все знаменатели на общий множитель.

Для сокращения степеней в дробях применяем правило деления степеней с одинаковыми основаниями:


сокращения степеней

Пример сокращения дроби со степенями и буквами:


Сокращаем дробь со степенями
  1. Следуя формуле сокращения степеней в дробях, сокращаем x3 и x2

  2. Всегда делим на наименьшее значение в степени

  3. Вычитаем: 3 - 1
 

Получаем сокращенную дробь.

Запоминаем: сокращать можно только одинаковые буквенные множители. Иными словами, сокращать можно только дроби с одинаковыми буквами.

❌ Так нельзя ✅ Так можно
Ошибка в сокращении дробей Пример правильного сокращения дроби

Примеры сокращения алгебраических дробей с одночленами:

Пример 1.


Пример сокращения дроби с одночленами

Как решаем:

 
  1. Общий множитель для числителя и знаменателя — 8.

  2. Х и x2 делим на x и получаем ответ.

Получаем сокращенную алгебраическую дробь.

Пример 2.


Пример сокращения алгебраической дроби

Как решаем:

 
  1. Общий множитель для числителя и знаменателя — 7.

  2. b3 и b делим на b.

  3. Вычитаем: 3 - 1 и получаем ответ.

Получаем сокращенную дробь.

 

Сокращением дробей придется заниматься весь 8 класс. Чтобы дроби поддались и сами прыгали под сокращение, запишите вашего ребенка на уроки математики в онлайн-школу Skysmart.

Наши преподаватели — настоящие самураи-укротители любых дробей с буквами и степенями, и научат этим фокусам и вас.

Сокращение алгебраических дробей с многочленами

Чтобы верно сократить алгебраическую дробь с многочленами, придерживайтесь двух главных правил:

  • сокращайте многочлен в скобках только с таким же многочленом в скобках;
  • сокращайте многочлен в скобках целиком — нельзя сократить одну его часть, а другую оставить. Не делайте из многочленов одночлены.
❌ Так нельзя ✅ Так можно
Неправильное сокращение дроби с многочленами Пример правильного сокращения дроби с многочленами

Запомните: многочлены в алгебраической дроби находятся в скобках. Между этими скобками вклиниться может только знак умножения. Всем остальным знакам там делать нечего.


Элементы алгебраической дроби

Примеры сокращения алгебраических дробей с многочленами:


Примеры сокращения алгебраических дробей с многочленами

Последовательно сокращаем: сначала x, затем (x+c), далее сокращаем дробь на 6 (общий множитель).


Последовательность сокращения алгебраических дробей с многочленами

Сокращаем многочлены a+b (в дроби их 3). Многочлен в числителе стоит в квадрате, поэтому мысленно оставляем его при сокращении.

Вынесение общего множителя при сокращении дробей

При сокращении алгебраических дробей иногда не хватает одинаковых многочленов. Для того, чтобы они появились, вынесите общий множитель за скобки.

Чтобы легко и непринужденно выносить множитель за скобки, пошагово выполняйте 4 правила:

 
  1. Найдите число, на которое делятся числа каждого одночлена.

  2. Найдите повторяющиеся буквенные множители в каждом одночлене.

  3. Вынесите найденные буквенные множители за скобку.

  4. Далее работаем с многочленом, оставшимся в скобках.

Алгебра не терпит неточность. Всегда проверяйте, верно ли вынесен множитель за скобки — сделать это можно по правилу умножения многочлена на одночлен.


Для умножения одночлена на многочлен нужно умножить поочередно все члены многочлена на этот одночлен.

Пример 1.


Пример сокращения алгебраической дроби

Как решаем:

 
  1. Выносим общий множитель 6

  2. Делим 42/6

  3. Сокращаем получившиеся одинаковые многочлены.
 

Пример 2.


Пример №2 сокращение алгебраической дроби

Как решаем: выносим общий множитель a за скобки и сокращаем оставшиеся в скобках многочлены.

Сокращение дробей. Формулы сокращенного умножения

Перед формулами сокращенного умножения не устоит ни одна дробь — даже алгебраическая.

Чтобы легко ориентироваться в формулах сокращенного умножения, сохраняйте и заучивайте таблицу. Формулы подскажут вам, как решать алгебраические дроби.

Квадрат суммы (a+b)2 = a2 + 2ab + b2
Квадрат разности (a-b)2 = a2 - 2ab - b2
Разность квадратов a2 – b2 = (a – b)(a+b)
Куб суммы (a+b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Куб разности (a-b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
Сумма кубов a3 + b3 = (a + b)(a2- ab+b2)
Разность кубов a3 - b3 = (a - b)(a2+ ab+b2)

Примеры сокращения дробей с помощью формул сокращенного умножения:


Примеры сокращения дробей по формуле сокращенного умножения

Применяем формулу квадрата разности (a-b)2 = a2 - 2ab - b2 и сокращаем одинаковые многочлены.


Применение формулы квадрата разности

Чтобы раскрыть тему сокращения алгебраических дробей и полностью погрузиться в мир числителей и знаменателей, решите следующие примеры для самопроверки.

Примеры сокращения дробей за 7 и 8 классы

Сократите дроби:


Примеры сокращения дробей за 7 и 8 класс

Тема сокращения алгебраических дробей достаточно обширна, и требует к себе особого внимания. Чтобы знания задержалась в голове хотя бы до ЕГЭ, сохраните себе памятку по сокращению дробей. Этот алгоритм поможет не растеряться при встрече с алгебраическими дробями лицом к лицу.

  • Чтобы сократить дробь, найдите общий множитель числителя и знаменателя.
  • Поделите числитель и знаменатель на общий множитель.
  • Чтобы разделить многочлен на множители, вынесите общий множитель за скобку.
  • Второй способ разделить многочлен на множители — применить формулы сокращенного умножения.
  • Выучите все формулы сокращенного умножения — они помогут легко преобразовывать выражения и экономить время при решении задач.
  • Можно забыть свое имя, но формулу разности квадратов помнить обязательно — она будет встречаться чаще других.
  • Всегда проверяйте результат сокращения: алгебра — точна, коварна и не любит давать вторые шансы.

Если ваш ребенок все еще не знает, как решать алгебраические дроби, запишите его на бесплатный пробный урок по математике в онлайн-школу Skysmart. Там его ждут опытные преподаватели, победившие не одну сотню дробей, и увлекательные уроки, на которых нет скучных учебников, но есть интерактивная доска и по-настоящему интересные задания.

Бесплатный вводный урок
Шаг 1 из 2. Данные ученика
Класс
Цель обучения
Поделиться: