Сокращение алгебраической дроби P(x) / Q(x) — это деление её числителя и знаменателя на один и тот же ненулевой общий множитель: (A · C) / (B · C) = A / B (при C ≠ 0). Главное золотое правило алгебры: сокращать можно ТОЛЬКО МНОЖИТЕЛИ (скобки целиком), а сокращать отдельные слагаемые в сумме или разности КАТЕГОРИЧЕСКИ ЗАПРЕЩЕНО!
- Пошаговый алгоритм сокращения любой алгебраической дроби (ОГЭ №8 и №20): 1) разложить числитель и знаменатель на множители (вынесением за скобки, по ФСУ или через корни
a(x−x₁)(x−x₂)); 2) зачеркнуть одинаковые множители-скобки. - Приём смены знака при вычитании («разворот скобки» b − a = −(a − b)): разность с обратным порядком отличается только знаком минус:
(b − a) / (a − b) = −(a − b) / (a − b) = −1; а в квадрате знаки вообще равны: (b − a)² = (a − b)²! - Сокращение одночленов со степенями: коэффициенты делим на НОД, а показатели одинаковых букв вычитаем:
aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ.
Правило для бланка ОГЭ и ЕГЭ: запомните на всю жизнь: в дроби (x + 5) / x зачёркивать букву x НЕЛЬЗЯ, так как в числителе стоит знак ПЛЮС! Сначала превратите сумму в произведение скобок, и только потом сокращайте!
2. Подстановка в формулу ((A · C) / (B · C) = A / B | (a + b) / a — НЕ сокращается!): 1) Числитель по ФСУ: (x − 3)(x + 3) | Знаменатель: 3(x − 3)
3. Итоговый ответ: 2) Сокращаем общую скобку (x − 3): ответ (x + 3) / 3
1. Главные формулы и правила темы «Как сокращать алгебраические дроби?»
2. Подробный теоретический разбор, свойства и наглядные схемы
Для кого эта статья:
- Читатели, интересующиеся темой статьи
- Специалисты в данной области знаний
- Студенты или школьники, стремящиеся углубить свои знания
Получи больше пользы от Skysmart:
-
Прокачивай знания на курсах математики
-
Выбирай из 1200+ репетиторов по математике
Записывайся на бесплатные курсы для детей
Определение
Алгебраическая дробь — это дробь, в числителе и/или знаменателе которой стоят алгебраические выражения (буквенные множители). Вот так:
Алгебраическая дробь содержит буквенные множители и степени.
Необыкновенной алгебраическую дробь делают буквы. Если заменить их на цифры, то карета превратится в тыкву — алгебраическая дробь тут же станет обыкновенной.
Если вы засомневались, что должно быть сверху — числитель или знаменатель — переходите по ссылке и освежите знания по теме обыкновенных дробей.
Сокращение алгебраических дробей
Сократить алгебраическую дробь — значит разделить ее числитель и знаменатель на общий множитель. Общий множитель числителя и знаменателя в алгебраической дроби — многочлен и одночлен.
Сокращение дробей с буквами и степенями проходит в три этапа:
Определите общий множитель.
Сократите коэффициенты.
Поделите все числители и все знаменатели на общий множитель.
Для сокращения степеней в дробях применяем правило деления степеней с одинаковыми основаниями:
Пример сокращения дроби со степенями и буквами:
Следуя формуле сокращения степеней в дробях, сокращаем x3 и x2
Всегда делим на наименьшее значение в степени
Вычитаем: 3 - 1
Получаем сокращенную дробь.
Запоминаем: сокращать можно только одинаковые буквенные множители. Иными словами, сокращать можно только дроби с одинаковыми буквами.
| ❌ Так нельзя | ✅ Так можно |
|
 |
Примеры сокращения алгебраических дробей с одночленами:
Пример сокращения №1.
Как решаем:
Общий множитель для числителя и знаменателя — 8.
Х и x2 делим на x и получаем ответ.
Получаем сокращенную алгебраическую дробь.
Пример сокращения №2.
Как решаем:
Общий множитель для числителя и знаменателя — 7.
b3 и b делим на b.
Вычитаем: 3 - 1 и получаем ответ.
Получаем сокращенную дробь.
Курсы по математике в онлайн-курсах Skysmart помогут подтянуть оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам.
Сокращение алгебраических дробей с многочленами
Чтобы верно сократить алгебраическую дробь с многочленами, придерживайтесь двух главных правил:
сокращайте многочлен в скобках только с таким же многочленом в скобках;
сокращайте многочлен в скобках целиком — нельзя сократить одну его часть, а другую оставить. Не делайте из многочленов одночлены.
| ❌ Так нельзя | ✅ Так можно |
 |
 |
Запомните: многочлены в алгебраической дроби находятся в скобках. Между этими скобками вклиниться может только знак умножения. Всем остальным знакам там делать нечего.
Примеры сокращения алгебраических дробей с многочленами:
Последовательно сокращаем: сначала x, затем (x+c), далее сокращаем дробь на 6 (общий множитель).
Сокращаем многочлены a+b (в дроби их 3).
Вынесение общего множителя при сокращении дробей
При сокращении алгебраических дробей иногда не хватает одинаковых многочленов. Для того, чтобы они появились, вынесите общий множитель за скобки.
Чтобы легко и непринужденно выносить множитель за скобки, пошагово выполняйте 4 правила:
Найдите число, на которое делятся числа каждого одночлена.
Найдите повторяющиеся буквенные множители в каждом одночлене.
Вынесите найденные буквенные множители за скобку.
Далее работаем с многочленом, оставшимся в скобках.
Алгебра не терпит неточность. Всегда проверяйте, верно ли вынесен множитель за скобки — сделать это можно по правилу умножения многочлена на одночлен.
| Для умножения одночлена на многочлен нужно умножить поочередно все члены многочлена на этот одночлен. |
Пример 1.
Как решаем:
Выносим общий множитель 6
Делим 42/6
Сокращаем получившиеся одинаковые многочлены.
Пример 2.
Как решаем: в числителе выносим общий множитель a за скобки, в знаменателе выносим общий множитель c за скобки и сокращаем оставшиеся в скобках многочлены.
Сокращение дробей. Формулы сокращенного умножения
Перед формулами сокращенного умножения не устоит ни одна дробь — даже алгебраическая.
Чтобы легко ориентироваться в формулах сокращенного умножения, сохраняйте и заучивайте таблицу. Формулы подскажут вам, как решать алгебраические дроби.
| Квадрат суммы | (a+b)2 = a2 + 2ab + b2 |
| Квадрат разности | (a-b)2 = a2 - 2ab - b2 |
| Разность квадратов | a2 – b2 = (a – b)(a+b) |
| Куб суммы | (a+b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 |
| Куб разности | (a-b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 |
| Сумма кубов | a3 + b3 = (a + b)(a2- ab+b2) |
| Разность кубов | a3 - b3 = (a - b)(a2+ ab+b2) |
Примеры сокращения дробей с помощью формул сокращенного умножения:
Применяем формулу разности квадратов a2 − b2 = (a − b) (a + b) и сокращаем одинаковые многочлены.
Чтобы раскрыть тему сокращения алгебраических дробей и полностью погрузиться в мир числителей и знаменателей, решите следующие примеры для самопроверки.
Примеры сокращения дробей за 7 и 8 классы
Сократите дроби:
Тема сокращения алгебраических дробей достаточно обширна, и требует к себе особого внимания. Чтобы знания задержалась в голове хотя бы до ЕГЭ, сохраните себе памятку по сокращению дробей. Этот алгоритм поможет не растеряться при встрече с алгебраическими дробями лицом к лицу.
Чтобы сократить дробь, найдите общий множитель числителя и знаменателя.
Поделите числитель и знаменатель на общий множитель.
Чтобы разделить многочлен на множители, вынесите общий множитель за скобку.
Второй способ разделить многочлен на множители — применить формулы сокращенного умножения.
Выучите все формулы сокращенного умножения — они помогут легко преобразовывать выражения и экономить время при решении задач.
Можно забыть свое имя, но формулу разности квадратов помнить обязательно — она будет встречаться чаще других.
Всегда проверяйте результат сокращения: алгебра — точна, коварна и не любит давать вторые шансы.
3. Сводная таблица всех формул и свойств для контрольной, ОГЭ и ЕГЭ
| Условие / Правило | Рабочая формула и пример применения |
|---|---|
| Пошаговый алгоритм сокращения любой алгебраической дроби (ОГЭ №8 и №20) | 1) разложить числитель и знаменатель на множители (вынесением за скобки, по ФСУ или через корни a(x−x₁)(x−x₂)); 2) зачеркнуть одинаковые множители-скобки. |
| Приём смены знака при вычитании («разворот скобки» b − a = −(a − b)) | разность с обратным порядком отличается только знаком минус: (b − a) / (a − b) = −(a − b) / (a − b) = −1; а в квадрате знаки вообще равны: (b − a)² = (a − b)²! |
| Сокращение одночленов со степенями | коэффициенты делим на НОД, а показатели одинаковых букв вычитаем: aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ. |
4. Практикум: разбор реальных задач с пошаговым решением
1. Раскладываем числитель по разности квадратов: (a − 4)(a + 4).
2. В знаменателе выносим общий множитель 2a за скобки: 2a · (a + 4).
3. Сокращаем на скобку (a + 4): (a − 4) / (2a). При a = 2: (2 − 4) / 4 = −2 / 4 = −0,5.
1. По свойству чётной степени (y − 7)² = (7 − y)².
2. Знаменатель раскладываем как (7 − y)(7 + y).
3. Сокращаем на (7 − y): остаётся (7 − y) / (7 + y).
1. Находим корни числителя 2x² − 5x + 2 = 0 (D = 25 − 16 = 9): x₁ = 2, x₂ = 0,5 ⇒ числитель равен 2(x − 2)(x − 0,5) = (x − 2)(2x − 1).
2. Знаменатель равен (x − 2)(x + 2).
3. Сокращаем на (x − 2) (при x ≠ 2): (2x − 1) / (x + 2).
5. Контрольный чек-лист: частые ошибки и ловушки на экзамене
- Главное правило проверки ответа: запомните на всю жизнь: в дроби (x + 5) / x зачёркивать букву x НЕЛЬЗЯ, так как в числителе стоит знак ПЛЮС! Сначала превратите сумму в произведение скобок, и только потом сокращайте!
- Контроль первой формулы (СОКРАЩАЙ ТОЛЬКО МНОЖИТЕЛИ (СКОБКИ)!): 1) Вынеси общий множитель 2) Примени ФСУ 3) Сократи скобку ((A · C) / (B · C) = A / B | (a + b) / a — НЕ сокращается!).
- Контроль второй формулы (ПРАВИЛО ПРОТИВОПОЛОЖНЫХ СКОБОК (B − A)): В квадрате разности слагаемые можно менять местами без минуса! ((b − a) / (a − b) = −1 | (b − a)² = (a − b)²).
Потренироваться самостоятельно с автопроверкой ответов можно в бесплатном тренажёре ЕГЭ от Skysmart: доступны разделы по базовой математике и профильной математике.
На онлайн-курсах по математике в Skysmart преподаватели разбирают каждый прототип ФИПИ на интерактивной доске и помогают довести решение задач первой и второй части до полного автоматизма.
6. Часто задаваемые вопросы (FAQ)
Какая главная формула в теме «Как сокращать алгебраические дроби?»?
Базовое соотношение темы: (A · C) / (B · C) = A / B | (a + b) / a — НЕ сокращается!, а также вторая ключевая формула: (b − a) / (a − b) = −1 | (b − a)² = (a − b)². Подробный пример расчёта: Сократить алгебраическую дробь: (x² − 9) / (3x − 9) ➔ 1) Числитель по ФСУ: (x − 3)(x + 3) | Знаменатель: 3(x − 3) ➔ 2) Сокращаем общую скобку (x − 3): ответ (x + 3) / 3.
На какой ловушке чаще всего теряют баллы на контрольной, ОГЭ и ЕГЭ?
Главное правило для бланка ответов: запомните на всю жизнь: в дроби (x + 5) / x зачёркивать букву x НЕЛЬЗЯ, так как в числителе стоит знак ПЛЮС! Сначала превратите сумму в произведение скобок, и только потом сокращайте!
Где скачать шпаргалку со всеми формулами для печати?
В первом экране статьи доступна бесплатная PDF-шпаргалка формата А4 со всеми формулами и алгоритмами темы «Как сокращать алгебраические дроби?».
