Неполное квадратное уравнение — это квадратное уравнение ax² + bx + c = 0 (при a ≠ 0), в котором хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю. Такие уравнения НЕ НУЖНО решать через дискриминант — они решаются в 2 строки за 5 секунд по одному из трёх шаблонов!
- Тип 1 — Отсутствует свободный член (c = 0): ax² + bx = 0 (ОГЭ №9!): выносим общий множитель x за скобки:
x · (ax + b) = 0⇒ всегда два корня: x₁ = 0 и x₂ = −b / a! - Тип 2 — Отсутствует средний член с иксом (b = 0): ax² + c = 0: переносим c вправо:
x² = −c / a. Если правая часть положительна (−c / a > 0) — два противоположных корня: x₁,₂ = ±√(−c / a); если отрицательна — корней нет (∅)! - Тип 3 — Равны нулю оба коэффициента (b = 0 и c = 0): ax² = 0: всегда имеет единственный корень: x = 0.
Правило для бланка ОГЭ и ЕГЭ: смертельная ошибка в Задании №9 ОГЭ при решении уравнения вида 5x² = 20x: НИКОГДА не делите обе части уравнения на переменную x (так вы потеряете корень x = 0)! Перенесите всё влево 5x² − 20x = 0 и вынесите x за скобку: 5x(x − 4) = 0 ⇒ корни 0 и 4!
2. Подстановка в формулу (ax² + bx = 0 ⇔ x(ax + b) = 0 ⇒ x₁ = 0, x₂ = −b/a): Выносим 4x за скобки: 4x · (x − 7) = 0
3. Итоговый ответ: Два корня: x₁ = 0 и x₂ = 7
1. Главные формулы и правила темы «Неполные квадратные уравнения»
2. Подробный теоретический разбор, свойства и наглядные схемы
Для кого эта статья:
- студенты и ученики старших классов, изучающие математику
- абитуриенты, готовящиеся к экзаменам по математике
- родители, активно вовлеченные в обучение своих детей
Получи больше пользы от Skysmart:
-
Прокачивай знания на курсах математики
-
Выбирай из 1200+ репетиторов по математике
Записывайся на бесплатные курсы для детей
Калькулятор неполных квадратных уравнений
Введите коэффициенты для уравнения вида: ax² + bx + c = 0
Основные понятия
Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.
Степень уравнения можно определить по наибольшей степени, в которой стоит неизвестное. Если неизвестное стоит во второй степени — это квадратное уравнение.
Квадратное уравнение — это уравнение вида ax² + bx + c = 0, где a — первый или старший коэффициент, не равный нулю, b — второй коэффициент, c — свободный член.
Чтобы определить, сколько корней имеет уравнение, нужно обратить внимание на дискриминант. Чтобы его найти, берем формулу: D = b² − 4ac. А вот свойства дискриминанта:
- если D < 0, корней нет;
- если D = 0, есть один корень;
- если D > 0, есть два различных корня.
Неполное квадратное уравнение — это уравнение вида ax² + bx + c = 0, где хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю.
Неполные квадратные уравнения бывают трех видов:
- Если b = 0, то квадратное уравнение принимает вид ax² + 0x+c=0 и оно равносильно ax² + c = 0.
- Если c = 0, то квадратное уравнение выглядит так ax² + bx + 0 = 0, иначе его можно написать как ax² + bx = 0.
- Если b = 0 и c = 0, то квадратное уравнение выглядит так ax² = 0.
Такие уравнения отличаются от полного квадратного тем, что их левые части не содержат слагаемого с неизвестной переменной, либо свободного члена, либо и того и другого. Отсюда и их название — неполные квадратные уравнения.
Решение неполных квадратных уравнений
Как мы уже знаем, есть три вида неполных квадратных уравнений:
- ax² = 0, ему отвечают коэффициенты b = 0 и c = 0;
- ax² + c = 0, при b = 0;
- ax² + bx = 0, при c = 0.
Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курс подготовки к ЕГЭ по профильной математике.
Как решить уравнение ax² = 0
Начнем с решения неполных квадратных уравнений, в которых b и c равны нулю, то есть, с уравнений вида ax² = 0.
Уравнение ax² = 0 равносильно x² = 0. Такое преобразование возможно, когда мы разделили обе части на некое число a, которое не равно нулю. Корнем уравнения x² = 0 является нуль, так как 0² = 0. Других корней у этого уравнения нет, что подтверждают свойства степеней.
Таким образом, неполное квадратное уравнение ax² = 0 имеет единственный корень x = 0.
Пример 1. Решить −5x² = 0.
Как решаем:
- Замечаем, что данному уравнению равносильно x2 = 0, значит исходное уравнение имеет единственный корень — нуль.
- По шагам решение выглядит так:
−5x² = 0
x² = 0
x = √0
x = 0
Ответ: 0.
Как решить уравнение ax² + с = 0
Обратим внимание на неполные квадратные уравнения вида ax² + c = 0, в которых b = 0, c ≠ 0. Мы знаем, что слагаемые в уравнениях носят двусторонние куртки: когда мы переносим их из одной части уравнения в другую, они надевает куртку на другую сторону — меняют знак на противоположный.
Еще мы знаем, что если обе части уравнения поделить на одно и то же число (кроме нуля) — у нас получится равносильное уравнение. То есть одно и то же, только с другими цифрами.
Держим все это в голове и колдуем над неполным квадратным уравнением (производим «равносильные преобразования»): ax² + c = 0:
- перенесем c в правую часть: ax² = - c,
- разделим обе части на a: x² = - c/а.
Ну все, теперь мы готовы к выводам о корнях неполного квадратного уравнения. В зависимости от значений a и c, выражение - c/а может быть отрицательным или положительным. Разберем конкретные случаи.
Если - c/а < 0, то уравнение x² = - c/а не имеет корней. Все потому, что квадрат любого числа всегда равен неотрицательному числу. Из этого следует, что при - c/а < 0 ни для какого числа p равенство р² = - c/а не является верным.
Если - c/а > 0, то корни уравнения x² = - c/а будут другими. Например, можно использовать правило квадратного корня и тогда корень уравнения равен числу √- c/а, так как (√- c/а)² = - c/а. Кроме того, корнем уравнения может стать -√- c/а, так как (-√- c/а)² = - c/а. Ура, больше у этого уравнения нет корней.
В двух словах квадратное уравнение ax² + c = 0 равносильно уравнению ax² + c = 0, которое:
- не имеет корней при - c/а < 0;
- имеет два корня х = √- c/а и х = -√- c/а при - c/а > 0.
Пример 1. Найти решение уравнения 9x² + 4 = 0.
Как решать:
- Перенесем свободный член в правую часть:
9x² = - 4
- Разделим обе части на 9:
x² = - 4/9
- В правой части осталось число со знаком минус, значит у данного уравнения нет корней.
Ответ: уравнение 9x² + 4 = 0 не имеет корней.
Пример 2. Решить -x² + 9 = 0.
Как решаем:
- Перенесем свободный член в правую часть:
-x² = -9
- Разделим обе части на -1:
x² = 9
- Найти корни:
x = √9
x = -3, 3
Ответ: уравнение -x² + 9 = 0 имеет два корня -3; 3.
Как решить уравнение ax² + bx = 0
Осталось разобрать третий вид неполных квадратных уравнений, когда c = 0.
Квадратное уравнение без с непривычно решать только первые несколько примеров. Запомнив алгоритм, будет значительно проще щелкать задачки из учебника.
Неполное квадратное уравнение ax² + bx = 0 можно решить методом разложения на множители. Разложим на множители многочлен, который расположен в левой части уравнения — вынесем за скобки общий множитель x.
Теперь можем перейти от исходного уравнения к равносильному x * (ax + b) = 0. А это уравнение равносильно совокупности двух уравнений x = 0 и ax + b = 0, последнее — линейное, его корень x = −b/a.
Таким образом, неполное квадратное уравнение ax² + bx = 0 имеет два корня:
- x = 0;
- x = −b/a.
Пример 1. Решить уравнение 2x² - 32x = 0
Как решать:
- Вынести х за скобки
х(2x - 32) = 0
- Это уравнение равносильно х = 0 и 2x - 32 = 0.
- Решить линейное уравнение:
2x = 32,
х = 32/2
- Разделить:
х = 16
- Значит корни исходного уравнения — 0 и 16.
Ответ: х = 0 и х = 16.
Пример 2. Решить уравнение 3x² - 12x = 0
Как решать:
Разложить левую часть уравнения на множители и найти корни:
Ответ: х = 0 и х = 4.
Для удобства мы собрали все виды неполных квадратных уравнений и способы их решения на одной картинке-шпаргалке.
Тест по теме «Неполные квадратные уравнения»
3. Сводная таблица всех формул и свойств для контрольной, ОГЭ и ЕГЭ
| Условие / Правило | Рабочая формула и пример применения |
|---|---|
| Тип 1 — Отсутствует свободный член (c = 0): ax² + bx = 0 (ОГЭ №9!) | выносим общий множитель x за скобки: x · (ax + b) = 0 ⇒ всегда два корня: x₁ = 0 и x₂ = −b / a! |
| Тип 2 — Отсутствует средний член с иксом (b = 0): ax² + c = 0 | переносим c вправо: x² = −c / a. Если правая часть положительна (−c / a > 0) — два противоположных корня: x₁,₂ = ±√(−c / a); если отрицательна — корней нет (∅)! |
| Тип 3 — Равны нулю оба коэффициента (b = 0 и c = 0): ax² = 0 | всегда имеет единственный корень: x = 0. |
4. Практикум: разбор реальных задач с пошаговым решением
1. Выносим общий множитель 2x за скобки: 2x · (x + 7) = 0.
2. Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю: x₁ = 0 или x₂ = −7.
3. Из двух корней (0 и −7) меньшим является отрицательное число −7.
1. Выражаем квадрат переменной: 4x² = 100 ⇒ x² = 25.
2. Извлекаем корень с двумя знаками ±: x₁ = −5; x₂ = 5 (или по разности квадратов: (2x − 10)(2x + 10) = 0). Больший корень: 5.
1. Переносим 12 вправо и делим на 3: x² = −4.
2. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен (x² ≥ 0), он не может равняться отрицательному числу −4 ⇒ действительных корней нет (0 корней).
5. Контрольный чек-лист: частые ошибки и ловушки на экзамене
- Главное правило проверки ответа: смертельная ошибка в Задании №9 ОГЭ при решении уравнения вида 5x² = 20x: НИКОГДА не делите обе части уравнения на переменную x (так вы потеряете корень x = 0)! Перенесите всё влево 5x² − 20x = 0 и вынесите x за скобку: 5x(x − 4) = 0 ⇒ корни 0 и 4!
- Контроль первой формулы (ТИП 1 (БЕЗ C): ВЫНЕСИ X ЗА СКОБКИ!): Никогда не дели уравнение на x — потеряешь корень x = 0! (ax² + bx = 0 ⇔ x(ax + b) = 0 ⇒ x₁ = 0, x₂ = −b/a).
- Контроль второй формулы (ТИП 2 (БЕЗ B): ДВА КОРНЯ СО ЗНАКОМ ±): Если справа получилось отрицательное число (x² = −4) ⇒ корней нет! (ax² + c = 0 ⇔ x² = −c / a ⇒ x₁,₂ = ±√(−c / a)).
Потренироваться самостоятельно с автопроверкой ответов можно в бесплатном тренажёре ЕГЭ от Skysmart: доступны разделы по базовой математике и профильной математике.
На онлайн-курсах по математике в Skysmart преподаватели разбирают каждый прототип ФИПИ на интерактивной доске и помогают довести решение задач первой и второй части до полного автоматизма.
6. Часто задаваемые вопросы (FAQ)
Какая главная формула в теме «Неполные квадратные уравнения»?
Базовое соотношение темы: ax² + bx = 0 ⇔ x(ax + b) = 0 ⇒ x₁ = 0, x₂ = −b/a, а также вторая ключевая формула: ax² + c = 0 ⇔ x² = −c / a ⇒ x₁,₂ = ±√(−c / a). Подробный пример расчёта: Решить неполное уравнение (ОГЭ №9): 4x² − 28x = 0 ➔ Выносим 4x за скобки: 4x · (x − 7) = 0 ➔ Два корня: x₁ = 0 и x₂ = 7.
На какой ловушке чаще всего теряют баллы на контрольной, ОГЭ и ЕГЭ?
Главное правило для бланка ответов: смертельная ошибка в Задании №9 ОГЭ при решении уравнения вида 5x² = 20x: НИКОГДА не делите обе части уравнения на переменную x (так вы потеряете корень x = 0)! Перенесите всё влево 5x² − 20x = 0 и вынесите x за скобку: 5x(x − 4) = 0 ⇒ корни 0 и 4!
Где скачать шпаргалку со всеми формулами для печати?
В первом экране статьи доступна бесплатная PDF-шпаргалка формата А4 со всеми формулами и алгоритмами темы «Неполные квадратные уравнения».
