Пропорция — это истинное равенство двух отношений (дробей) вида a : b = c : d или a / b = c / d, где числа a и d называются крайними членами, а числа b и c — средними членами пропорции. По основному свойству пропорции (правилу креста) произведение крайних членов всегда равно произведению средних членов: a · d = b · c.
- Основное свойство пропорции (правило креста):
a / b = c / d ⇔ a · d = b · c. - Поиск неизвестного крайнего или среднего члена x: перемножаем два известных числа по диагонали крест-накрест и делим на оставшееся третье число:
x = (b · c) / a. - Прямая vs Обратная пропорциональность: при прямой обе величины растут или уменьшаются вместе (стрелки в одну сторону
↑↑); при обратной — с ростом одной вторая во столько же раз уменьшается (стрелки в разные стороны↑↓, вторую дробь переворачиваем!).
Правило для бланка ОГЭ и ЕГЭ: перед составлением пропорции убедитесь, что однородные величины записаны строго друг под другом в одинаковых единицах измерения (рубли под рублями, часы под часами).
2. По правилу креста: 4 · x = 12 · 7
3. x = 84 / 4 = 21
1. Теоретический базис темы «Задачи на пропорции»
Понятие пропорции
Чтобы решать задачи на тему пропорции, вспомним главное определение.
Пропорция в математике — это равенство между отношениями двух или нескольких пар чисел или величин.
|
Главное свойство пропорции: Произведение крайних членов равно произведению средних. a : b = c : d, 
где a, b, c, d — члены пропорции, a, d — крайние члены, b, c — средние члены. |
Вывод из главного свойства пропорции:
- Крайний член равен произведению средних, которые разделены на другой крайний. То есть для пропорции a/b = c/d:
- Средний член равен произведению крайних, которые разделены на другой средний. То есть для пропорции a/b = c/d:
Решить пропорцию — значит найти неизвестный член. Свойство пропорции — главный помощник в решении.
Рассмотрим легкие и сложные задачи, которые можно решить с помощью пропорции. 5, 6, 7, 8 класс — неважно, всем школьникам полезно проанализировать занимательные задачки.
Задачи на пропорции с решением и ответами
Свойства пропорции придумали не просто так! С их помощью можно найти любой из членов пропорции, если он неизвестен. Решим 10 задач на пропорцию.
Задание 1. Найти неизвестный член пропорции: x/2 = 3/1
Как решаем:
В этом примере неизвестен крайний член, поэтому умножим средние члены и разделим полученный результат на известный крайний член:
x = (2 * 3)/1 = 6
Ответ: x = 6.
Задание 2. Найти неизвестный член: 1/3 = 5/y
Как решаем:
y = (3 * 5)/1 = 15
Ответ: y = 15.
Задача 3. Решить пропорцию: 30/x = 5/8
Как решаем:
x = (30 * 8)/5 = 48
Ответ: x = 48.
Задание 4. Решить: 7/5 = y/10
Как решаем:
y = (7 * 10)/5 = 14
Ответ: y = 14.
Задание 5. Известно, что 21x = 14y. Найти отношение x — к y
Как решаем:
- Сначала сократим обе части равенства на общий множитель 7: 21x/7 = 14y/7.
Получим: 3x = 2y.
- Теперь разделим обе части на 3y, чтобы в левой части убрать множитель 3, а в правой части избавиться от y: 3x/3y = 2y/3y.
- После сокращения отношений получилось: x/y = 2/3.
Ответ: 2 к 3.
На следующем примере мы узнаем как составить пропорцию по задаче💡
Задание 6. Из 300 подписчиков в инстаграм 108 человек — поставили лайк под постом. Какой процент всех подписчиков составляют те, кому понравился пост и они поставили лайк?
Как решаем:
- Примем всех подписчиков за 100% и запишем условие задачи кратко:
300 — 100%
108 — ?%
- Составим пропорцию: 300/108 = 100/x.
- Найдем х: (108 * 100) : 300 = 36.
Ответ: 36% всех подписчиков поставили лайк под постом.
Задание 7. Подруга Гарри Поттера при варке оборотного зелья использовала водоросли и пиявки в отношении 5 к 2. Сколько нужно водорослей, если есть только 450 грамм пиявок?
Как решаем:
- Составим пропорцию: 5/2 = x/450.
- Найдем х: (5 * 450) : 2 = 1125.
Ответ: на 450 грамм пиявок нужно взять 1125 гр водорослей.
Задание 8. Известно, что арбуз состоит на 98% из воды. Сколько воды в 5 кг арбуза?
Как решаем:
Вес арбуза (5 кг) составляет 100%. Вода — 98% или х кг.
Составим пропорцию:
5 : 100 = х : 98
х = (5 * 98) : 100
х = 4,9
Ответ: в 5 кг арбуза содержится 4,9 кг воды.
Перейдем к примерам посложнее. Рассмотрим задачу на пропорции из учебника по алгебре за 8 класс.
Задание 9. Папин автомобиль проезжает от одного города до другого за 13 часов со скоростью 75 км/ч. Сколько времени ему понадобится, если он будет ехать со скоростью 52 км/ч?
Как рассуждаем:
Скорость и время связаны обратно пропорциональной зависимостью: чем больше скорость, тем меньше времени понадобится.
Обозначим:
- v1 = 75 км/ч
- v2 = 52 км/ч
- t1 = 13 ч
- t2 = х
Как решаем:
- Составим пропорцию: v1/v2 = t2/t1.
Соотношения равны, но перевернуты относительно друг друга.
- Подставим известные значения: 75/52 = t2/13
t2 = (75 * 13)/52 = 75/4 = 18 3/4 = 18 ч 45 мин
Ответ: 18 часов 45 минут.
Задание 10. 24 человека за 5 дней раскрутили канал в телеграм. За сколько дней выполнят ту же работу 30 человек, если будут работать с той же эффективностью?
Как рассуждаем:
1. В заполненном столбце стрелку ставим в направлении от большего числа к меньшему.
2. Чем больше людей, тем меньше времени нужно для выполнения определенной работы (раскрутки канала). Значит, это обратно пропорциональная зависимость.
3. Поэтому направим вторую стрелку в противоположную сторону. Обратная пропорция выглядит так:
Как решаем:
- Пусть за х дней могут раскрутить канал 30 человек. Составляем пропорцию:
30 : 24 = 5 : х
- Чтобы найти неизвестный член пропорции, нужно произведение средних членов разделить на известный крайний член:
х = 24 * 5 : 30
х = 4
- Значит, 30 человек раскрутят канал за 4 дня.
Ответ: за 4 дня.
Получи больше пользы от Skysmart:
-
Прокачивай знания на курсах математики
-
Выбирай из 1200+ репетиторов по математике
Записывайся на бесплатные курсы для детей
2. Практикум: разбор реальных задач ОГЭ и ЕГЭ
1. Зависимость прямая (больше масса ↑ — больше стоимость ↑): 3,5 / 6 = 420 / x.
2. По правилу креста: x = (6 · 420) / 3,5 = 2520 / 3,5 = 720 рублей.
1. При постоянном расстоянии скорость и время обратно пропорциональны (↑ скорость — ↓ время).
2. Переворачиваем отношение времени: 60 / 80 = x / 4 ⇒ x = (60 · 4) / 80 = 240 / 80 = 3 часа.
1. Перемножаем крест-накрест по основному свойству пропорции: 8 · (x − 2) = 5 · (x + 4).
2. Раскрываем скобки: 8x − 16 = 5x + 20 ⇒ 3x = 36 ⇒ x = 12.
3. Контрольный чек-лист: на чём срезаются школьники
- Ловушка экзамена: Невнимательность при вычислениях по формуле темы «Задачи на пропорции» приводит к потере первичных баллов в первой части.
- Ловушка экзамена: Обязательно проверяйте допустимые значения переменных (ОДЗ) и размерность единиц измерения перед записью ответа в бланк.
- Ловушка экзамена: Во второй части ОГЭ/ЕГЭ решение без пояснения применённого правила оценивается в 0 баллов даже при верном числовом ответе.
На экзаменах ОГЭ и Профильного ЕГЭ эксперты ФИПИ строго оценивают логику каждого шага и обоснование формул.
На индивидуальных уроках на онлайн-курсах по математике в Skysmart методисты и действующие эксперты экзаменационной комиссии разбирают все подводные камни темы и доводят решение до автоматизма.
4. Ответы на частые вопросы (FAQ)
Как быстро отличить прямую пропорцию от обратной?
Задайте себе вопрос: «Если первая величина вырастет в 2 раза, вторая вырастет или уменьшится?». Если тоже вырастет (покупка товара и стоимость) — прямая. Если уменьшится (скорость и время в пути; число рабочих и срок ремонта) — обратная.
Можно ли менять местами средние члены пропорции?
Да! В любой верной пропорции a : b = c : d можно менять местами средние члены (a : c = b : d) или крайние члены (d : b = c : a) — равенство произведений a · d = b · c при этом не нарушается.
