Свойства сложения и вычитания — это фундаментальные математические законы, позволяющие переставлять и группировать числа так, чтобы считать в уме быстро и без ошибок.
Простыми словами: от перестановки мест слагаемых сумма не меняется (a + b = b + a), а соседние слагаемые можно объединять в круглые десятки и сотни: (a + b) + c = a + (b + c). Логическим продолжением этой темы выступают свойства умножения и деления.
Для многозначных чисел эти законы обосновывают поразрядное вычитание столбиком, а в курсе алгебры 7–9 классов на них строится приведение подобных слагаемых.
2. Группируем: (37 + 63) + 89.
3. 100 + 89 = 189.
Метрика экзаменационных требований: структура заданий ФИПИ
| Параметр оценивания | Период (2024–2025) | Регламент (2027) |
|---|---|---|
| Раскрытие скобок со знаком минус | Типичная ошибка в заданиях ОГЭ №8 и №20 | Контроль знаков при вычитании суммы a − (b + c) = a − b − c проверяется во всех алгебраических линиях КИМ 2027. |
| Свойства нуля при сложении и вычитании | a + 0 = a, a − 0 = a, a − a = 0 | Базовый стандарт начальной и основной школы ФГОС. |
1. Теоретический базис темы «Свойства сложения и вычитания»
Свойства сложения
Сложение — это арифметическое действие, в котором единицы двух чисел объединяются в одно новое число
Для записи сложения используют знак «+» (плюс), который ставят между слагаемыми.
Слагаемые — это числа, единицы которых складываются.
Сумма — это число, которое получается в результате сложения.
Рассмотрим пример 2 + 5 = 7, в котором:
- 2 — это первое слагаемое,
- 5 — второе слагаемое,
- 7 — это сумма.
При этом саму запись (2 + 5) можно тоже назвать суммой.
Сложение двух чисел можно проверить вычитанием. Для этого вычитаем из суммы одно из слагаемых. Если разность окажется равной другому слагаемому — сложение выполнено верно.
Впервые мы сталкиваемся со свойствами сложения в 1 классе. С каждым годом задания усложняются, и появляются новые правила и законы. Рассмотрим свойства сложения для 4 класса.
|
Свойства сложения
|
Получи больше пользы от Skysmart:
-
Прокачивай знания на курсах математики
-
Выбирай из 1200+ репетиторов по математике
Записывайся на бесплатные курсы для детей
Свойства вычитания
Вычитание— это арифметическое действие, в котором отнимают меньшее число от большего.
Для записи вычитания используется знак «-» (минус), который ставится между уменьшаемым и вычитаемым.
Уменьшаемое — это число, из которого вычитают.
Вычитаемое — это число, которое вычитают.
Разность — это число, которое получается в результате вычитания.
Рассмотрим пример 9 - 4 = 5, в котором:
9 — это уменьшаемое,
4 — вычитаемое,
5 — разность.
При этом саму запись (9 - 4) тоже можно назвать разностью.
|
Свойства вычитания
|
Примеры использования свойств сложения и вычитания
Мы узнали основные свойства сложения и вычитания — осталось попрактиковаться. Чтобы ничего не забыть, используйте эту шпаргалку:
Скачать
Пример 1
Вычислить сумму слагаемых с использованием разных свойств:
а) 4 + 6 + 5
б) 9 + 11 + 2
в) 30 + 0 + 13
Как решаем:
а) 4 + 6 + 5 = (4 + 6) + 5 = 10 + 5 = 15
б) 9 + 11 + 2 = (9 + 11) + 2 = 20 + 2 = 22
в) 30 + 0 + 13 = 30 + 13 = 43
Пример 2
Применить разные свойства при вычислении разности:
а) 25 - 0 - 2
б) 22 - 7 - 5
в) 55 - 55
Как решаем:
а) 25 - 0 - 2 = 25 - 2 = 23
б) 22 - 7 -5 = 22 - (7 + 5) = 22 - 12 = 10
в) 55 - 55 = 0
Пример 3
Найти значение выражения удобным способом:
а) 11 + 10 + 3 + 9
б) 16 - (6 + 5) + 7
в) 0 + 2 + 4 - 0
Как решаем:
а) 11 + 10 + 3 + 9 = (11 + 9) + (10 + 3) = 20 + 13 = 33
б) 16 - (6 + 5) + 7 = (16 - 6) - 5 + 7 = 10 - 5 + 7 = 5 + 7 = 12
в) 0 + 2 + 4 - 0 = 2 + 4 = 6
2. Практикум: разбор реальных задач ОГЭ и ЕГЭ
1. Применяем правило вычитания числа из суммы: (a + b) − c = (a − c) + b.
2. Вычитаем 256 из 456: (456 − 256) + 189 = 200 + 189 = 389.
3. Контрольный чек-лист: на чём срезаются школьники
- Ловушка экзамена: Невнимательность при вычислениях по формуле темы «Свойства сложения и вычитания» приводит к потере первичных баллов в первой части.
- Ловушка экзамена: Обязательно проверяйте допустимые значения переменных (ОДЗ) и размерность единиц измерения перед записью ответа в бланк.
- Ловушка экзамена: Во второй части ОГЭ/ЕГЭ решение без пояснения применённого правила оценивается в 0 баллов даже при верном числовом ответе.
На экзаменах ОГЭ и Профильного ЕГЭ эксперты ФИПИ строго оценивают логику каждого шага и обоснование формул.
На индивидуальных уроках в онлайн-школе Skysmart методисты и действующие эксперты экзаменационной комиссии разбирают все подводные камни темы и доводят решение до автоматизма.
4. Ответы на частые вопросы (FAQ)
Работает ли переместительный закон для вычитания?
Нет! Для обычного вычитания менять числа местами нельзя: 10 − 3 = 7, но 3 − 10 = −7. Однако в старших классах вычитание можно записать как сложение с отрицательным числом: 10 + (−3) = (−3) + 10 = 7.
Что изменится, если к числу прибавить или вычесть ноль?
Число не изменится: a + 0 = a и a − 0 = a. А если из числа вычесть само это число, получится ноль: a − a = 0.
