Вычисление значений тригонометрических выражений

Тригонометрические выражения: формулы и свойства

Для преобразования тригонометрических выражений необходимо знать базу: основные формулы, периодичность и чётность функций, а также уметь приводить аргументы к стандартным. Давайте освежим свои знания по этим темам.

Основные формулы

Формулы двойного угла

Периодичность

Периодичность — значение интервала, через который значения функции повторяются. Вспомните графики синуса и косинуса: они представляют собой симметричную волну (колебания), где значения максимума и минимума по оси ординат (ось OY) всегда одинаково и повторяются они через равные промежутки по оси абсцисс (ось OX). Это же правило справедливо и для функции тангенса и котангенса.

Чётность

Чётность функции определяется по симметричности относительно нуля, а также по результату после подстановки аргумента с противоположным знаком:

• если f(−x) = f(x), то функция чётная;

• если f(−x) = −f(x), то функция нечётная.

Из всех перечисленных тригонометрических функций только косинус является чётной функцией, все остальные — нечётные.

Знаки по четвертям

Не все значения тригонометрических функций положительны. Знак зависит от того, в какой координатной четверти находится искомый угол. Координатные четверти нумеруются против часовой стрелки начиная с верхнего правого угла.

Формулы приведения

Формулы приведения — формулы, которые позволяют привести аргумент тригонометрической функции к основным значениям.

329.4K

Все формулы приведенияЧитать →

Например, вам нужно найти , но такого угла нет в таблице функций основных аргументов. Что мы можем сделать?

1. Определим знак функции с помощью тригонометрической окружности.

2. Распишем или .

3. Воспользуемся формулами приведения:
   или

4. или

Общее правило использования формул приведения:

1. Если мы расписываем аргумент через и , сама функция остаётся прежней:
   
   

2. Если мы расписываем аргумент через и , функция меняется на противоположную:
   
   и т. д.

Как уже говорилось выше, знак мы определяем по тригонометрической окружности у изначальной функции: в примере угол находится во второй четверти (от до ), и синус в этой четверти положительный.

А теперь предлагаем посмотреть типовые задания на преобразования тригонометрических выражений. Вот увидите — всё не так страшно, как кажется.

Примеры заданий

Задача 1

Найдите , если .

Решение:

1. Так как — это угол четвёртой четверти (что подтверждается тем, что значение синуса отрицательное).

2. Чтобы найти косинус, воспользуемся формулой тригонометрической единицы:
   
   

   Важно: косинус в четвёртой четверти положителен, учитываем знак плюс.

3. Если , то .

Ответ: 1.

Задача 2

Найдите , если .

Решение:

Воспользуемся основным свойством пропорции:

Задача 3

Найдите значение выражения , если .

Решение:

Воспользуемся формулами приведения:

Тогда

Ответ: −3.

Задача 4

Найдите значение выражения .

Решение:

В этом задании также необходимо воспользоваться формулами приведения: обратите внимание, что .

Иногда наши ожидания и реальность не совпадают, как здесь: сложные на вид задания оказываются лёгкими и приятными в решении. Подкрепите это новое убеждение практикой в бесплатном тренажёре ЕГЭ. Желаем вам классных математических открытий и стопроцентно лёгких упражнений!