Дискриминант квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 (при a ≠ 0) — это числовое выражение D = b² − 4ac, по знаку которого определяется количество действительных корней уравнения: при D > 0 — два различных корня; при D = 0 — один корень (два совпадающих); при D < 0 — действительных корней нет (∅).
- Основная формула дискриминанта D и формула корней (в бланке ОГЭ!):
D = b² − 4acиx₁,₂ = (−b ± √D) / (2a). - Сокращённая формула чётного второго коэффициента (D₁ = D / 4 при b = 2k):
D₁ = k² − a·c(гдеk = b / 2), а корни:x₁,₂ = (−k ± √D₁) / a(уменьшает числа в 4 раза!). - 3 случая по знаку дискриминанта D: 1)
D > 0 ⇒ 2 корня; 2)D = 0 ⇒ 1 корень x = −b / (2a); 3)D < 0 ⇒ корней нет.
Правило для бланка ОГЭ и ЕГЭ: внимание на знаки:1) квадрат любого коэффициента b² ВСЕГДА положителен (например, при b = −6 получаем (−6)² = +36, а не −36!); 2) если свободный член c отрицателен (например, c = −5), то в −4ac минус на минус даёт ПЛЮС!
2. Подстановка в формулу (D = b² − 4ac | x₁,₂ = (−b ± √D) / (2a)): Считаем D = (−5)² − 4 · 2 · (−3) = 25 + 24 = 49 (√D = 7)
3. Итоговый ответ: Корни: x₁ = (5 + 7) / 4 = 3; x₂ = (5 − 7) / 4 = −0,5
1. Главные формулы и правила темы «Как найти дискриминант квадратного уравнения? Онлайн-калькулятор»
2. Подробный теоретический разбор, свойства и наглядные схемы
Получи больше пользы от Skysmart:
-
Прокачивай знания на курсах математики
-
Выбирай из 1200+ репетиторов по математике
Записывайся на бесплатные курсы для детей
Калькулятор дискриминанта квадратного уравнения
Дискриминант (D):
Решение:
Понятие квадратного уравнения
Уравнение — это равенство, содержащее переменную, значение которой нужно найти.
Например, х + 8 = 12 — это уравнение, содержащее переменную х.
Корень уравнения — это такое значение переменной, которое при подстановке в уравнение обращает его в верное числовое равенство.
Например, если х = 5, то при подстановке в уравнение мы получим:
5 + 8 = 12;
13 = 12 — противоречие.
Значит, х = 5 не является корнем уравнения.
Если же х = 4, то при подстановке в уравнение мы получим:
5 + 8 = 12;
12 = 12 — верное равенство.
Значит, х = 4 является корнем уравнения.
Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что их не существует.
Квадратное уравнение — это уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где a — первый или старший коэффициент, не равный нулю, b — второй коэффициент, c — свободный член.
Если все коэффициенты в уравнении отличны от нуля, то уравнение называется полным.
Например
2x2 − x + 5 = 0
a = 2, b = −1, c = 5
Такое уравнение можно решить с помощью формулы дискриминанта.
Понятие дискриминанта
Дискриминант квадратного уравнения — это выражение, равное b2 − 4ac. Дискриминант в переводе с латинского означает «отличающий» или «различающий» и обозначается буквой D.
Дискриминант — отличный помощник, чтобы понять, сколько в уравнении корней.
Как решать квадратные уравнения через дискриминант
Алгоритм решения квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0:
Определим, чему равны коэффициенты a, b, c.
Вычислим значение дискриминанта по формуле D = b2 − 4ac.
Если дискриминант D < 0, то корней нет.
Если D = 0, то есть один корень, равный −b/2a.
Если D > 0, то у уравнения две корня, равные
Чтобы запомнить алгоритм решения полных квадратных уравнений и с легкостью его использовать, сохраните себе шпаргалку:
Примеры решения квадратных уравнений с помощью дискриминанта
Пример 1. Решить уравнение: 3x2 - 4x + 2 = 0.
Как решаем:
- Определим коэффициенты: a = 3, b = -4, c = 2.
- Найдем дискриминант: D = b2 - 4ac = (-4)2 - 4 * 3 * 2 = 16 - 24 = -8.
Ответ: D < 0, корней нет.
Пример 2. Решить уравнение: x2 - 6x + 9 = 0.
Как решаем:
- Определим коэффициенты: a = 1, b = -6, c = 9.
- Найдем дискриминант: D = b2 - 4ac = (-6)2 - 4 * 1 * 9 = 36 - 36 = 0.
D = 0, значит уравнение имеет один корень:
Ответ: корень уравнения 3.
Пример 3. Решить уравнение: x2 - 4x - 5 = 0.
Как решаем:
- Определим коэффициенты: a = 1, b = -4, c = -5.
- Найдем дискриминант: D = b2 - 4ac = (-4)2 - 4 * 1 * (-5) = 16 + 20 = 36.
D > 0, значит уравнение имеет два корня:
x1 = (4 + 6) : 2 = 5,
x2 = (4 - 6) : 2 = -1.
Ответ: два корня x1 = 5, x2 = -1.
Тест: Дискриминант квадратного уравнения
Этот тест поможет вам проверить свои знания о дискриминанте квадратного уравнения и его применении для нахождения корней.
Квадратное уравнение имеет вид: ax² + bx + c = 0, где a, b, c — некоторые числа, причём a ≠ 0.
Дискриминант квадратного уравнения вычисляется по формуле: D = b² - 4ac
Тест состоит из 7 вопросов. Удачи!
Результаты теста
Вы ответили правильно на 0 из 7 вопросов.
Разобраться в решении квадратных уравнений на практике с классным преподавателем можно на курсах по математике в Skysmart.
3. Сводная таблица всех формул и свойств для контрольной, ОГЭ и ЕГЭ
| Условие / Правило | Рабочая формула и пример применения |
|---|---|
| Основная формула дискриминанта D и формула корней (в бланке ОГЭ!) | D = b² − 4ac и x₁,₂ = (−b ± √D) / (2a). |
| Сокращённая формула чётного второго коэффициента (D₁ = D / 4 при b = 2k) | D₁ = k² − a·c (где k = b / 2), а корни: x₁,₂ = (−k ± √D₁) / a (уменьшает числа в 4 раза!). |
| 3 случая по знаку дискриминанта D | 1) D > 0 ⇒ 2 корня; 2) D = 0 ⇒ 1 корень x = −b / (2a); 3) D < 0 ⇒ корней нет. |
4. Практикум: разбор реальных задач с пошаговым решением
1. Выписываем коэффициенты: a = 5, b = −8, c = 3.
2. Вычисляем дискриминант: D = (−8)² − 4 · 5 · 3 = 64 − 60 = 4 > 0 (√D = 2).
3. Находим корни: x₁ = (8 + 2) / 10 = 1; x₂ = (8 − 2) / 10 = 0,6.
1. Так как b = −14 чётное, берём половину k = b / 2 = −7.
2. Считаем сокращённый дискриминант: D₁ = (−7)² − 3 · 16 = 49 − 48 = 1.
3. Корни без двойки в знаменателе: x₁ = (7 + 1) / 3 = 8/3; x₂ = (7 − 1) / 3 = 2.
1. Квадратное уравнение имеет один корень тогда и только тогда, когда его дискриминант равен нулю: D = 0.
2. Записываем: (−p)² − 4 · 4 · 9 = 0 ⇒ p² = 144 ⇒ p = 12 (так как по условию p > 0).
5. Контрольный чек-лист: частые ошибки и ловушки на экзамене
- Главное правило проверки ответа: внимание на знаки:1) квадрат любого коэффициента b² ВСЕГДА положителен (например, при b = −6 получаем (−6)² = +36, а не −36!); 2) если свободный член c отрицателен (например, c = −5), то в −4ac минус на минус даёт ПЛЮС!
- Контроль первой формулы (ГЛАВНАЯ ФОРМУЛА ДИСКРИМИНАНТА И КОРНЕЙ): При c < 0 минус на минус в (−4ac) даёт ПЛЮС! (D = b² − 4ac | x₁,₂ = (−b ± √D) / (2a)).
- Контроль второй формулы (ЗНАК ДИСКРИМИНАНТА И ЧЁТНАЯ ФОРМУЛА D/4): Для чётного b = 2k: D₁ = k² − ac, x = (−k ± √D₁) / a (D > 0 (2 корня) | D = 0 (1 корень) | D < 0 (корней нет)).
Потренироваться самостоятельно с автопроверкой ответов можно в бесплатном тренажёре ЕГЭ от Skysmart: доступны разделы по базовой математике и профильной математике.
На онлайн-курсах по математике в Skysmart преподаватели разбирают каждый прототип ФИПИ на интерактивной доске и помогают довести решение задач первой и второй части до полного автоматизма.
6. Часто задаваемые вопросы (FAQ)
Какая главная формула в теме «Как найти дискриминант квадратного уравнения? Онлайн-калькулятор»?
Базовое соотношение темы: D = b² − 4ac | x₁,₂ = (−b ± √D) / (2a), а также вторая ключевая формула: D > 0 (2 корня) | D = 0 (1 корень) | D < 0 (корней нет). Подробный пример расчёта: Уравнение: 2x² − 5x − 3 = 0 (a = 2, b = −5, c = −3) ➔ Считаем D = (−5)² − 4 · 2 · (−3) = 25 + 24 = 49 (√D = 7) ➔ Корни: x₁ = (5 + 7) / 4 = 3; x₂ = (5 − 7) / 4 = −0,5.
На какой ловушке чаще всего теряют баллы на контрольной, ОГЭ и ЕГЭ?
Главное правило для бланка ответов: внимание на знаки:1) квадрат любого коэффициента b² ВСЕГДА положителен (например, при b = −6 получаем (−6)² = +36, а не −36!); 2) если свободный член c отрицателен (например, c = −5), то в −4ac минус на минус даёт ПЛЮС!
Где скачать шпаргалку со всеми формулами для печати?
В первом экране статьи доступна бесплатная PDF-шпаргалка формата А4 со всеми формулами и алгоритмами темы «Как найти дискриминант квадратного уравнения? Онлайн-калькулятор».
