Свойства умножения
Умножение — арифметическое действие, в котором участвуют два аргумента: множимый и множитель. Результат их умножения называется произведением.
Узнаем, какие бывают свойства умножения и как их применять.
Переместительное свойство умножения
|
От перестановки мест множителей произведение не меняется. |
То есть, для любых чисел a и b верно равенство: a * b = b * a.
Это свойство можно применять к произведениям, в которых больше двух множителей.
Примеры:
- 6 * 5 = 5 * 6 = 30;
- 4 * 2 * 3 = 3 * 2 * 4 = 24.
Сочетательное свойство умножения
|
Произведение трех и более множителей не изменится, если какую-то группу множителей заменить их произведением. |
То есть, для любых чисел a, b и c верно равенство: a * b * c = (a * b) * c = a * (b * c).
Пример:
- 3 * 2 * 5 = 3 * (2 * 5) = 3 * 10 = 30
- 3 * 2 * 5 = (3 * 2) * 5 = 6 * 5 = 30.
или
Сочетательное свойство можно использовать, чтобы упростить вычисления при умножении. Например: 25 * 15 * 4 = (25 * 4) * 15 = 100 * 15 = 1500.
Если не применять сочетательное свойство и вычислять последовательно, решение будет значительно сложнее: 25 * 15 * 4 = (25 * 15) * 4 = 375 * 4 = 1500.
Распределительное свойство умножения относительно сложения
|
Чтобы умножить сумму на число, нужно умножить на это число каждое слагаемое и сложить полученные результаты. |
То есть, для любых чисел a, b и c верно равенство: (a + b) * c = a * c + b * c.
Это свойство работает с любым количеством слагаемых: (a + b + с + d) * k = a * k + b * k + c * k + d * k.
С учетом переместительного свойства умножения можно переформулировать правило так:
|
Чтобы число умножить на сумму чисел, нужно это число умножить отдельно на каждое слагаемое и полученные произведения сложить. |
Онлайн-курсы математики для детей помогут подтянуть оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам.
Распределительное свойство умножения относительно вычитания
|
Чтобы умножить разность на число, нужно умножить на это число сначала уменьшаемое, затем вычитаемое, и из первого произведения вычесть второе. |
То есть, для любых чисел a, b и c верно равенство: (a − b) * c = a * c − b * c.
С учетом переместительного свойства умножения можно переформулировать правило так:
|
Чтобы число умножить на разность чисел, нужно это число умножить отдельно на уменьшаемое и вычитаемое и из первого полученного произведения вычесть второе. |
Свойство нуля при умножении
|
Если в произведении хотя бы один множитель равен нулю, то само произведение будет равно нулю. |
То есть, для любых чисел a, b и c верно равенство:
0 * a * b * c = 0.
Свойство единицы при умножении
|
Если умножить любое целое число на единицу, то в результате получится это же число. |
То есть, умножение на единицу не изменяет умножаемое число: a * 1 = a.
Свойства деления
Деление — арифметическое действие обратное умножению. В результате деления получается число (частное), которое при умножении на делитель дает делимое.
|
Основные свойства деления целых чисел
|
И еще одно важное свойство деления, которое проходят в 5 классе:
|
Если делимое и делитель умножить или разделить на одно и тоже натуральное число, то их частное не изменится. |
В буквенной форме это свойство выглядит так: a : b = (a * k) : (b * k), где k — любое натуральное число.
Применим свойства деления на практике.
Пример 1
Вычислить: 500 * (100 : 5).
Как решаем: 500 * (100 : 5) = (500 * 100) : 5 = 50000 : 5 = 10000.
Ответ: 500 * (100 : 5) = 10000.
Пример 2
Упростить выражение: 27a – 16a.
Как решаем: 27a – 16a = a * 27 – a * 16 = a * (27 - 16) = a * 11 = 11a.
Ответ: 11a.
Свойства умножения и деления помогают упрощать выражения. То есть, если запомнить эти свойства и научиться их применять, то решать задачки можно быстрее.
