Сложение и вычитание степеней

Что такое степень числа

В учебниках по математике можно встретить такое определение: 

Степенью числа а с натуральным показателем n, большим 1, называют произведение n множителей, каждый из которых равен а.

• aⁿ — степень,

где

a — основание степени

n — показатель степени

Соответственно, aⁿ= a·a·a·a...·a

Читается такое выражение, как a в степени n.

Если говорить проще то, степень, а точнее показатель степени (n), говорит нам о том, сколько раз следует умножить данное число (основание степени) на само себя. А значит, если у нас есть задачка, где спрашивают, как возвести число в степень, например число 2, то решается она довольно просто:

• 2³ = 2·2·2, где

2 — основание степени

3 — показатель степени

Демоурок по математике

Узнайте, какие темы у вас «хромают», а после — разбирайте их без зубрежки формул и скучных лекций.

Пройти урок

Таблица степеней

Здесь мы приведем результаты возведения в степень натуральных чисел от 1 до 10 в квадрат (показатель степени два) и куб (показатель степени 3).

Число	Вторая степень	Третья степень
1	1	1
2	4	8
3	9	27
4	16	64
5	25	125
6	36	216
7	49	343
8	64	512
9	81	729
10	100	1000

Свойства степеней: когда складывать, а когда вычитать

Степень в математике с натуральным показателем имеет несколько важных свойств, которые позволяют упрощать вычисления. Всего их пять штук — давайте их рассмотрим.

Свойство 1: произведение степеней

При умножении степеней с одинаковыми основаниями, основание мы оставляем без изменений, а показатели степеней складываем:

• a^m · aⁿ = a^m+n

a — основание степени

m, n — показатели степени, любые натуральные числа.

Свойство 2: частное степеней

Когда мы делим степени с одинаковыми основаниями, то основание остается без изменений, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

a — любое число, не равное нулю

m, n — любые натуральные числа такие, что m > n

Свойство 3: возведение степени в степень

Когда возводим степень в степень, то основание степени остается неизмененным, а показатели степеней умножаются друг на друга.

• (aⁿ)^m = a^{n · m}

a — основание степени (не равное нулю)

m, n — показатели степени, натуральное число

Свойство 4: степень произведения

При возведении в степень произведения каждый из множителей возводится в степень. Затем полученные результаты перемножаются.

• (a · b)ⁿ = aⁿ · bⁿ

a, b — основание степени (не равное нулю)

n — показатели степени, натуральное число

Записывайтесь на курсы обучения математике для школьников с 1 по 11 классы!

Свойство 5: степень частного

Чтобы возвести в степень частное, можно возвести в эту степень отдельно делимое и делитель, и первый результат разделить на второй.

• (a : b)ⁿ = aⁿ : bⁿ

a, b — основание степени (не равное нулю), любые рациональные числа, b ≠ 0, 

n — показатель степени, натуральное число