Сложение и вычитание степеней

Автор
Юлия Герасимова
Дата публикации
29.09.2020
Просмотры
102839
Что такое степень числа
В учебниках по математике можно встретить такое определение:
«Степенью n числа а является произведение множителей величиной а n-раз подряд»
- an — степень,
где
a — основание степени
n — показатель степени
Соответственно, an= a·a·a·a...·a
Читается такое выражение, как a в степени n.
Если говорить проще то, степень, а точнее показатель степени (n), говорит нам о том, сколько раз следует умножить данное число (основание степени) на само себя. А значит, если у нас есть задачка, где спрашивают, как возвести число в степень, например число 2, то решается она довольно просто:
- 23 = 2·2·2, где
2 — основание степени
3 — показатель степени
Действия, конечно, можно выполнять и в онлайн калькуляторе — вот несколько подходящих:
Таблица степеней
Здесь мы приведем результаты возведения в степень натуральных чисел от 1 до 10 в квадрат (показатель степени два) и куб (показатель степени 3).
Число |
Вторая степень |
Третья степень |
1 |
1 |
1 |
2 |
4 |
8 |
3 |
9 |
27 |
4 |
16 |
64 |
5 |
25 |
125 |
6 |
36 |
216 |
7 |
49 |
343 |
8 |
64 |
512 |
9 |
81 |
729 |
10 |
100 |
1000 |
Свойства степеней: когда складывать, а когда вычитать
Степень в математике с натуральным показателем имеет несколько важных свойств, которые позволяют упрощать вычисления. Всего их пять штук — давайте их рассмотрим.
Свойство 1: произведение степеней
При умножении степеней с одинаковыми основаниями, основание мы оставляем без изменений, а показатели степеней складываем:
- am · an = am+n
a — основание степени
m, n — показатели степени, любые натуральные числа.
Свойство 2: частное степеней
Когда мы делим степени с одинаковыми основаниями, то основание остается без изменений, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.
a — любое число, не равное нулю
m, n — любые натуральные числа такие, что m > n
Свойство 3: возведение степени в квадрат
Когда возводим степень в степень, то основание степени остается неизмененным, а показатели степеней умножаются друг на друга.
- (an)m = an · m
a — основание степени (не равное нулю)
m, n — показатели степени, натуральное число
Свойство 4: степень возведения
При возведении в степень произведения каждый из множителей возводится в степень. Затем полученные результаты перемножаются.
- (a · b)n = an · bn
a, b — основание степени (не равное нулю)
n — показатели степени, натуральное число
Записывайся на онлайн курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы! |
Свойство 5: степень частного
Чтобы возвести в степень частное, можно возвести в эту степень отдельно делимое и делитель, и первый результат разделить на второй.
- (a : b)n = an : bn
a, b — основание степени (не равное нулю), любые рациональные числа, b ≠ 0,
n — показатель степени, натуральное число
Сложение и вычитание степеней
Как складывать числа со степенями и как вычитать степени — очень просто. Основной принцип такой: выполняется сначала возведение в степень, а уже потом действия сложения и вычитания. Примеры:
- 23+ 34= 8 + 81= 89
- 63- 33= 216 - 27 = 189
И еще несколько правил:
|
Сложение степеней с разными показателями
В таком случае действуем согласно общему правилу: сначала выполняем возведение в степень каждого числа, затем — производим сложение.
- 23+ 24= 8 + 16= 24
Сложение степеней с разными основаниями
В целом, это ничем не отличается от предыдущего пункта. Могут быть разные основания, но одинаковые степени. А могут быть и разные основания, и разные показатели. Поэтому сначала выполняем возведение в степень каждого числа, затем — производим сложение.
- 34+ 54=81 + 625 = 706
- 14+ 72= 1+ 49 = 50
Как складывать числа с одинаковыми степенями
Точно также, как и в предыдущем примере. Если степени одинаковые, а основания разные, то нельзя сложить основания и затем эту сумму возводить в степень.
Сначала возводим каждое число в степень и затем выполняем сложение.
- 63+33= 216 + 27 = 243
В уравнениях это будет происходить немного иначе. Если показатель и основание степени одинаковые (тогда это называется переменная, a2, например) — их коэффициенты можно складывать. Коэффициент — это число перед переменной a2.
- 2a2 + 3a2 = 5a2
2, 3, 5 — коэффициенты
a2 — переменная
Если перед переменной в уравнении нет коэффициента, это значит, что он равен 1.
Вычитание степеней с одинаковым основанием
Здесь принцип тот же, что и со сложением: возводим в степень числа и только потом вычитаем их.
- 63- 33= 216 - 27 = 189
Вычитание степеней с разными основаниями
Могут быть разные основания, но одинаковые степени. А могут быть и разные основания, и разные показатели. Поэтому сначала выполняем возведение в степень каждого числа, затем - производим вычитание.
- 54- 44= 625 - 256 = 369
- 74- 32= 2401 - 9 = 2392
Вычитание чисел с одинаковыми степенями
Все точно также, как и со сложением. Если степени одинаковые, а основания разные, то нельзя вычесть основания и затем эту разницу возводить в степень. Сначала возводим каждое число в степень и затем выполняем вычитание.
- 63- 33= 216 - 27 = 189
И та же история с коэффициентами: если показатель степени и основание степени одинаковые (тогда это называется переменная, a2) — их коэффициенты можно вычитать. Коэффициент — это число перед переменной a2.
- 6a2 - 3a2 = 2a2
6, 3, 2 — коэффициенты
a2 — переменная
Если перед переменной в уравнении нет коэффициента, это значит, что он равен 1.
Подготовиться к сложной контрольной ребенку помогут в детской онлайн-школе Skysmart. Вместо скучных параграфов ребенка ждут интерактивные упражнения с мгновенной автоматической проверкой и онлайн-доска, где можно рисовать и чертить вместе с преподавателем. Запишите вашего ребенка на бесплатный вводный урок математики и начните заниматься ей с удовольствием уже завтра.


- 0
- 0
- 0
- 0
- 0
- 0