Умножение и деление степеней

Сегодня на повестке дня — перемножение степеней, а также информация о том, как делить степени. Вспомним свойства степеней и разберем их на понятных и простых примерах.
  • Автор

    Юлия Герасимова

  • Рубрика

    7 класс

  • Дата публикации

    29.09.2020

  • Просмотры

    119778

Что такое степень числа

Алгебра дает нам такое определение: 

«Степенью n числа а является произведение множителей величиной а n-раз подряд»

  • an — степень, где

a — основание степени

n — показатель степени

Соответственно:

a в степени n

Читается такое выражение, как a в степени n

Если говорить проще то, степень, а точнее показатель степени (n), говорит нам о том, сколько раз следует умножить это число (основание степени) на само себя.

А значит, если у нас есть задачка, где спрашивают, как возвести число в степень, например, число — она решается довольно просто:

  • 23 = 2·2·2, где

2 — основание степени

3 — показатель степени

Таблица степеней

Здесь мы приведем результаты возведения в степень натуральных чисел от 1 до 10 в квадрат (показатель степени два) и куб (показатель степени 3). Не важно, в какой класс перешел ребенок — таблица пригодится всегда.

Число

Вторая степень

Третья степень

1

1

1

2

4

8

3

9

27

4

16

64

5

25

125

6

36

216

7

49

343

8

64

512

9

81

729

10

100

1000

Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!

Свойства степеней: когда складывать, а когда вычитать

Степень в математике с натуральным показателем имеет несколько важных свойств, которые позволяют упрощать вычисления. Рассмотрим основные из них.

Свойство 1: произведение степеней

При умножении степеней с одинаковыми основаниями, основание мы оставляем без изменений, а показатели степеней складываем:

am · an = am+n

a — основание степени

m, n — показатели степени, любые натуральные числа.

Раз

35 · 32 = 35+3 = 38 = 6 561

Два

28 · 81= 28 · 23 = 211 = 2048

Свойство 2: частное степеней

Когда мы делим степени с одинаковыми основаниями, основание остается без изменений, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

, где

a — любое число, не равное нулю

m, n — любые натуральные числа такие, что m > n

Раз

Два: записать частное в виде степени

Свойство 3: возведение степени в степень

Когда возводим степень в степень, то основание степени остается неизмененным, а показатели степеней умножаются друг на друга.

(an)m = an· m 

a — основание степени (не равное нулю)

m, n — показатели степени, натуральное число

Свойство 4: возведение произведения в степень

При возведении в степень произведения каждый из множителей возводится в степень. Затем полученные результаты перемножаются.

(a · b)n = an · bn

a, b — основания, не равные нулю

n — показатель степени, натуральное число

Свойство 5: возведение частного в степень

Чтобы возвести в степень частное, можно возвести в эту степень отдельно делимое и делитель, и первый результат разделить на второй.

(a : b)n = an : bn

a, b — основания степени, не равные нулю

n — показатель степени, натуральное число

Умножение степеней с одинаковым показателем

Для того, чтобы произвести умножение степеней с одинаковыми показателями, нужно перемножить основания, а показатель степени оставить неизменным:

an · bn = (a · b)n , где

a, b — основания степени (не равные нулю)

n — показатель степени, натуральное число

  • a5 · b5 = (a·a·a·a·a) ·(b·b·b·b·b) = (ab)·(ab)·(ab)·(ab)·(ab) = (ab)5
  • 35 · 45 = (3·4)5 = 125 = 248 832
  • 16a2 = 42·a2 = (4a)2

Деление чисел с одинаковыми степенями

При делении степеней с одинаковыми показателями результат частного этих чисел возводится в степень:

an : bn = (a : b)n , где 

a, b — основания степени (не равные нулю), любые рациональные числа, b ≠ 0, 

n — показатель степени, натуральное число

 
 
  • 0
  • 0
  • 0
  • 0
  • 0

Учёба без слёз

Пошаговый гайд от Екатерины Мурашовой о том, как перестать делать уроки за ребёнка и выстроить здоровые отношения с учёбой

Учёба без слёз
Получить гайд