Показательные неравенства

Даю согласие на обработку персональных данных

Соглашаюсь на получение рекламы

← Далее →

Записаться

Определение показательных неравенств

Показательными считаются неравенства, которые включают в себя переменную, стоящую в показателе степени: . Из них показательно-степенными неравенствами являются те, в которых есть переменные и в показателе степени, и в основании.

Для изучения этой темы стоит повторить:

• показательные уравнения;

• метод интервалов;

• разложение многочлена на множители;

• свойства степенной функции.

И, конечно, для решения смешанных неравенств, включающих в себя тригонометрические и логарифмические, также придется вспомнить формулы соответствующих разделов алгебры.

Если все это еще свежо в памяти, давайте приступим. Как и к показательным уравнениям, к неравенствам стоит подходить, помня о свойствах показательной функции. Напомним, что она выглядит так: y = a^x, где a > 0 и a ≠ 1. Два графика ниже дают представление о том, на что похожа такая функция, когда основание степени а положительно, но не равно единице. Наверняка вы уже догадались, каково главное свойство этой функции. Да, она монотонна.

При этом заметьте — значения функции всегда больше нуля. На практике в этом несложно убедиться, если возводить какое-либо число (большее нуля) во всевозможные степени, включая отрицательные. Например: 2^-2 = 4, 2^-4 = 1/16 и т. д. Значение функции будет уменьшаться, но никогда не достигнет нуля.

Для любых а и х верно неравенство a^x > 0, т. е. показательная функция не принимает отрицательных значений.

Запишем следствие монотонности показательной функции в виде формул:

• , когда функция возрастает, т. е. ;

• , когда функция убывает, т. е. .

На этом свойстве показательных неравенств так или иначе основываются все методы решения, и сейчас мы разберемся, как им пользоваться.

263.2K

Какая профессия тебе подходит? Узнай за 10 минут!

Получи больше пользы от Skysmart:

• Подготовься к ОГЭ на пятёрку

• Подготовься к ЕГЭ на высокие баллы

• Записывайся на бесплатные курсы для детей

• Решай задания в бесплатном тренажёре ЕГЭ

Как решать показательные неравенства

Как мы уже говорили, для успешного освоения этой темы нужно хорошенько повторить все, что касается показательных уравнений. Способы решения показательных неравенств выглядят примерно так же — мы будем пытаться упростить выражение, получить одинаковые степени или одинаковые основания, по возможности свести все к квадратному или рациональному уравнению. Но есть и свои тонкости...

Допустим, у нас есть простейшее показательное неравенство:

3^х > 9

Если вы помните, как решались показательные уравнения, не придется долго думать, что делать с таким неравенством — приведем его к одинаковому основанию:

3^х > 3²

х > 2

Казалось бы, все логично, но всегда ли можно смело вычеркивать одинаковые основания степеней? А что, если вместо 3 у нас основание степени будет 0,5? Посмотрим:

0,5^х > 0,5²

Проверим, верно ли в таком случае х > 2.

0,5² = 0,25;

0,5³ = 0, 125 и т. д.

Как видите, на самом деле в этом случае х < 2. Неудивительно, если вспомнить, о чем мы писали в самом начале, когда рисовали графики возрастающей и убывающей показательной функции.

Если а > 1, то , и при решении неравенства можно просто убрать одинаковые основания степени. Если 0 < а < 1, то , т. е. одинаковые основания по-прежнему можно убрать, но при этом необходимо поменять знак неравенства.

Для ясности всегда предполагается, что основание степени — положительное число.

Это были общие правила, а сейчас рассмотрим разные виды показательных неравенств и примеры с решениями.

Показательные неравенства, сводящиеся к простейшим

Решая показательные уравнения, вы наверняка первым делом исследовали их на возможность приведения к одинаковым основаниям или одинаковым степенным функциям. Так вот, с неравенствами можно делать то же самое! Помните лишь о смене знака, если основание степени меньше единицы. 😎

Попробуем на примере несложного показательного неравенства с разными основаниями.

Пример 1

3^х < 243

3^х < 3⁵

Поскольку 3 больше 1, знак не меняем:

х < 5

Ответ: х ∈ (−∞; 5).

Пример 2

, обратите внимание — мы поменяли знак, поскольку .

Ответ: .

Показательные неравенства, сводящиеся к квадратным

Снова давайте вспомним, как аналогичный метод применялся к показательным уравнениям. Если все переменные имели общий множитель, его можно было обозначить новой переменной — в итоге у нас, как правило, получалось квадратное уравнение. Нужно было лишь найти дискриминант и произвести обратную замену. И снова алгоритм решения показательных неравенств будет совершенно таким же.

Пример 1

9^х + 27 < 12 × 3^х

Наименьший общий множитель в данном случае будет 3^х, обозначим его новой переменной у и перенесем все слагаемые в левую сторону.

9^х + 27 < 12 × 3^х

(3^х)²- 12 × 3^х + 27 < 0

3^х = у при y > 0

y² - 12y + 27 < 0

3 < y < 9

Пришло время выполнить обратную замену.

3 < 3^х < 9

3¹ < 3^х < 3²

Поскольку 3 > 1, мы не меняем знак.

1 < х < 2

Ответ: х ∈ (1;2).

Показательные неравенства, сводящиеся к рациональным

Как вы, наверное, помните из предыдущего курса алгебры, рациональные показательные неравенства — это такие, в которых левая и правая часть представляют собой дробно-рациональные функции. Метод их решения таков: нужно перенести все в левую часть, чтобы в правой остался лишь ноль, и привести к общему знаменателю. Далее решаем уравнение, отмечаем все корни на оси и применяем метод интервалов (если забыли, что это такое — повторите).

Важно помнить: если в числителе и знаменателе встретятся одинаковые множители с переменной, сокращать их нельзя.

Пример 1

Преобразуем неравенство:

(обратите внимание, мы избавились от минуса в числителе и поменяли знак неравенства).

Поскольку выражение 2^х + 2 всегда больше нуля, мы можем домножить на него все неравенство и сократить.

и

Ответ:

Пример 2

Обозначим 3^х через новую переменную y:

3^х = y, при условии что y > 0.

Применим метод интервалов и получим:

Произведем обратную замену:

Поскольку 3 больше 1, знаки не меняем:

Ответ: .

Однородные показательные неравенства

Однородными называются такие показательные неравенства, где в каждом слагаемом сумма степеней одинакова.

Иногда такие выражения бывают очень длинными и запутанными, но не стоит этого пугаться. Практически все неравенства с однородными показательными функциями решаются по одному принципу: стараемся упростить выражение, разделив его на одночлен, а затем при необходимости делаем замену переменных.

Пример 1

В левой части неравенства мы видим однородные функции относительно 2^х и 5^х. Следовательно, можно разделить обе части на 2^2х или 5^2х. Выберем 5^2х, т. е. 25^х. В итоге у нас получится:

Если обозначить новой переменной y (при условии, что y > 0), получим квадратное неравенство:

y²- y - 2 > 0

y₁ > 2

y₂ < -1

Исходя из этого, у нас образуется следующее неравенство:

Поскольку меньше 1, функция убывающая и мы должны поменять знак:

Ответ: .

Пример 2

Но где здесь одинаковая сумма степеней? Сейчас будет:

Ответ:

Неравенства, решаемые графическим методом

Этот метод решения показательных неравенств — самый наглядный, и для многих он может показаться самым простым. Нужно лишь построить графики функций, заданных в левой и правой части выражения, а затем посмотреть, в какой точке они пересекаются. Но для использования данного метода точки пересечения должны быть целыми числами. Если бы мы имели дело с уравнением, такие точки стали бы его корнями.

Но поскольку мы рассматриваем неравенства, нужно будет выделить искомую область. Для неравенства f(x) > g(x) это будет та область, где график функции f(x) находится выше.

Пример 1

Итак, нам нужны графики двух функций: и , а также точка их пересечения.

Очевидно, что абсциссой точки пересечения является х = 1, при этом график функции ниже в области .

Ответ: .

Пример 2

Начертим графики этих двух функций, чтобы найти точку пересечения.

Искомой точкой будет х = -1, а областью, где функция находится выше — диапазон значений х от -∞ до -1.

Ответ: .