Показательные неравенства

Как правило, показательные неравенства начинают изучать после того, как уже познакомились с показательными уравнениями. Если знакомство прошло успешно и уравнения вам теперь как родные, этот материал будет во многом повторением пройденного. Но это не значит, что вы не увидите ничего нового — в решении показательных неравенств есть свои фишки.
  • Автор

    Яна Кононенко

  • Рубрика

    10 класс, 11 класс, ЕГЭ/ОГЭ

  • Дата публикации

    30.06.2021

  • Просмотры

    178

Определение показательных неравенств

Показательными считаются неравенства, которые включают в себя показательную функцию. Другими словами, это неравенства с переменной в показателе степени: af(x) > ag(x), af(x) < ag(x).

Из них показательно-степенными неравенствами являются те, в которых есть переменные и в показателе степени, и в основании.

Для изучения этой темы стоит повторить:

И, конечно, для решения тригонометрических и логарифмических показательных неравенств также придется вспомнить формулы соответствующих разделов алгебры.

Если все это еще свежо в памяти, давайте приступим. Как и к показательным уравнениям, к неравенствам стоит подходить, помня о свойствах показательной функции. Напомним, что она выглядит так: y = ax, где a > 0 и a ≠ 1. Два графика ниже дают представление о том, на что похожа такая функция, когда основание степени а больше и меньше единицы. Наверняка вы уже догадались, каково главное свойство этой функции. Да, она монотонна.

При этом заметьте — значения а всегда больше нуля. На практике в этом несложно убедиться, если возводить какое-либо число во всевозможные степени, включая отрицательные. Например: 2-2 = 4, 2-4 = 1/16 и т. д. Значение функции будет уменьшаться, но никогда не достигнет нуля.

Для любых а и х верно неравенство ax > 0, т. е. показательная функция не принимает отрицательных значений.

Запишем следствие монотонности показательной функции в виде формул:

  • af(x) > ag(x) <-> f(x) > g (x), когда функция возрастает, т. е. а > 1;
  • af(x) > ag(x) <-> f(x) < g (x), когда функция убывает, т. е. 0 < а < 1.

На этом свойстве показательных неравенств так или иначе основываются все методы решения, и сейчас мы разберемся, как им пользоваться.

Как решать показательные неравенства

Как мы уже говорили, для успешного освоения этой темы нужно хорошенько повторить все, что касается показательных уравнений. Способы решения показательных неравенств выглядят примерно так же — мы будем пытаться упростить выражение, получить одинаковые степени или одинаковые основания, по возможности свести все к квадратному или рациональному уравнению. Но есть и свои тонкости...

Допустим, у нас есть простейшее показательное неравенство:

3х > 9

Если вы помните, как решались показательные уравнения, не придется долго думать, что делать с таким неравенством — приведем его к одинаковому основанию:

3х > 32

х > 2

Казалось бы, все логично, но всегда ли можно смело вычеркивать одинаковые основания степеней? А что, если вместо 3 у нас основание степени будет 0,5? Посмотрим:

0,5х > 0,52

Проверим, верно ли в таком случае х > 2.

0,52 = 0,25;

0,53 = 0, 125 и т. д.

Как видите, на самом деле в этом случае х < 2. Неудивительно, если вспомнить, о чем мы писали в самом начале, когда рисовали графики возрастающей и убывающей показательной функции.

Если а > 1, то ax > an <-> a > n, и при решении неравенства можно просто убрать одинаковые основания степени.

Если 0 < а < 1, то ax > an <-> a < n, т. е. одинаковые основания по-прежнему можно убрать, но при этом необходимо поменять знак неравенства.

Если a = 1, то решений нет, т. к. единица в любой степени равна сама себе.

Наконец, если рассмотреть случай, когда а < 0, получится неопределенность. Допустим:

(-3)х > 9

(-3)х > 32

Логичное, на первый взгляд, предположение, что х > 2, не выдержит проверки, потому что:

х = 3 -> (-3)3 = -27

х = 4 -> (-3)4 = 81

х = 5 -> (-3)5 = -243

Если продолжить этот ряд, знаки будут чередоваться, и наш корень будет попеременно то меньше, то больше 2. Поэтому для ясности всегда предполагается, что основание степени — положительное число.

Это были общие правила, а сейчас рассмотрим разные виды показательных неравенств и примеры с решениями.

Показательные неравенства, сводящиеся к простейшим

Решая показательные уравнения, вы наверняка первым делом исследовали их на возможность приведения к одинаковым основаниям или одинаковым степенным функциям. Так вот, с неравенствами можно делать то же самое! Помните лишь о смене знака, если основание степени меньше единицы. И да пребудет с вами сила. 😎

Попробуем на примере несложного показательного неравенства с разными основаниями.

Пример 1

3х < 243

3х < 35

Поскольку 3 больше 1, знак не меняем:

х < 5

Ответ: х (5; +∞).

Пример 2

(1/2)х > √8

(1/2)х > 23/2

(1/2)х > (1/2)-3/2

х < -3/2, обратите внимание — мы поменяли знак, поскольку 1/2 < 1.

Ответ: х ∈ (-∞; -3/2).

Показательные неравенства, сводящиеся к квадратным

Снова давайте вспомним, как аналогичный метод применялся к показательным уравнениям. Если все переменные имели общий множитель, его можно было обозначить новой переменной — в итоге у нас, как правило, получалось квадратное уравнение. Нужно было лишь найти дискриминант и произвести обратную замену. И снова алгоритм решения показательных неравенств будет совершенно таким же.

Пример 1

9х + 27 < 12 × 3х

Наименьший общий множитель в данном случае будет 3х, обозначим его новой переменной у и перенесем все слагаемые в левую сторону.

9х + 27 < 12 × 3х

(3х)2- 12 × 3х + 27 < 0

3х = у

y2 - 12y + 27 < 0

3 < y < 9

Пришло время выполнить обратную замену.

3 < 3х < 9

31 < 3х < 32

Поскольку 3 > 1, мы не меняем знак.

1 < х < 2

Ответ: х ∈ (1;2).

Пример 2

2sin2x - 5 sinx + 2 < 0

Это более сложное показательное неравенство, но и в нем можно угадать скрытое уравнение квадратичной функции — достаточно заменить sinx на новую переменную.

sinx = y

2y2- 5y + 2 < 0

y = 2

y = 1/2

1/2 < y < 2

Произведем обратную замену:

1/2 < sinx < 2

Поскольку sinx и так меньше 1, а значит, точно меньше 2, мы можем отбросить правую часть неравенства и сосредоточиться только на левой.

1/2 < sinx

Воспользуемся формулой х c (arcsina + 2πn; π - arcsina + 2πn), n ∈ z

х c (arcsin 1/2 + 2πn; π - arcsin 1/2 + 2πn), n ∈ z

х c (π/6 + 2πn; π - π/6 + 2πn), n ∈ z

х c (π/6 + 2πn; 5π/6 + 2πn), n ∈ z

Ответ: х ∈ (π/6 + 2πn; 5π/6 + 2πn), n ∈ z

Показательные неравенства, сводящиеся к рациональным

Как вы, наверное, помните из предыдущего курса алгебры, рациональные показательные неравенства — это такие, в которых левая и правая часть представляют собой дробно-рациональные функции. Метод их решения таков: нужно перенести все в левую часть, чтобы в правой остался лишь ноль, и привести к общему знаменателю. Далее решаем уравнение, отмечаем все корни на оси и применяем метод интервалов (если забыли, что это такое — повторите).

Важно помнить: если в числителе и знаменателе встретятся одинаковые множители с переменной, сокращать их нельзя.

Пример 1

Преобразуем неравенство указанным выше способом:

(обратите внимание, мы избавились от минуса в числителе и поменяли знак неравенства).

Поскольку выражение 2х + 2 в любом случае будет больше нуля, мы можем смело его исключить из неравенства.

(2х- 2) × (2х- 1/2) × (2х- 3) > 0

1/2 < 2х < 2

2х > 3

и

-1 < х < 1

х > log23

Ответ: х ∈ (-1;1) U (log23; +∞)

Пример 2

Обозначим 3х через новую переменную y:

3х = y, при условии что 3х > 0.

Применим метод интервалов и получим:

y c (1/3; 3)

Вернем на место нашу старую переменную:

3-1 < 3х <= 3

Поскольку 3 больше 1, знаки не меняем:

-1 < х <= 1

Ответ: х ∈ (-1;1).

Однородные показательные неравенства

Однородными называются такие показательные неравенства, где в каждом слагаемом сумма степеней одинакова.

Иногда такие выражения бывают очень длинными и запутанными, но не стоит этого пугаться. Практически все неравенства с однородными показательными функциями решаются по одному принципу: стараемся упростить выражение, разделив его на одночлен, а затем при необходимости делаем замену переменных.

Пример 1

4х - 2 × 5 - 2х × 5х > 0

2 × 2х - 2 × 5 - 2х × 5х > 0

В левой части неравенства мы видим однородные функции относительно 2х и 5х. Следовательно, можно разделить обе части на 2 или 5. Выберем 5, т. е. 25х. В итоге у нас получится:

Если обозначить (2/5)х новой переменной y, получим квадратное неравенство:

y2- y - 2 > 0

y1 > 2

y2 < -1

Исходя из этого, у нас образуется следующее неравенство:

Поскольку 2/5 меньше 1, функция убывающая и мы должны поменять знак:

х < log2/52

Ответ: х ∈ (-∞; log2/52).

Пример 2

Но где здесь одинаковая сумма степеней? Сейчас будет:

Ответ: х ∈ (-∞; +∞) / (-2; 3)

Неравенства, решаемые графическим методом

Этот метод решения показательных неравенств — самый наглядный, и для многих он может показаться самым простым. Нужно лишь построить графики функций, заданных в левой и правой части выражения, а затем посмотреть, в какой точке они пересекаются. Если бы мы имели дело с уравнением, эта точка стала бы корнем.

Но поскольку мы рассматриваем неравенства, нужно будет выделить искомую область. Для неравенства f(x) > g(x) это будет та область, где график функции f(x) находится выше.

Пример 1

2х <= 3-х

Итак, нам нужны графики двух функций: 2х и 3 - х, а также точка их пересечения.

Очевидно, что точкой пересечения является х = 1, при этом график функции 2х ниже в области от -∞ до 1.

Ответ: х ∈ (-∞; 1).

Пример 2

(1/2)х > х + 3

Начертим графики этих двух функций, чтобы найти точку пересечения.

Искомой точкой будет х = -1, а областью, где функция (1/2)х находится выше — диапазон от -∞ до -1.

Ответ: х ∈ (-∞; - 1).

 
  • 0
  • 0
  • 0
  • 0
  • 0
  • 0