Площадь прямоугольного треугольника (S) равна половине произведения его катетов a и b (так как прямоугольный треугольник составляет ровно половину прямоугольника со сторонами a и b): S = (a · b) / 2 = ½ · a · b. Через гипотенузу c и проведённую к ней высоту h_c площадь вычисляется по формуле S = ½ · c · h_c.
- Основная формула через два катета a и b (ОГЭ №15, №18 и ЕГЭ №1):
S = (a · b) / 2. - Через гипотенузу c и высоту h_c (и формула самой высоты):
S = (c · h_c) / 2, откуда высота к гипотенузе равна: h_c = (a · b) / c = 2S / c. - Через катет и гипотенузу (с теоремой Пифагора) или угол 45°: если даны гипотенуза c и катет a, сначала находим второй катет
b = √(c² − a²), затемS = (a · b) / 2; в равнобедренном прямоугольном треугольнике (углы по 45°):S = a² / 2 = c² / 4.
Правило для бланка ОГЭ и ЕГЭ: главная ошибка на ОГЭ в Задании №15 и №18 (на клетчатой бумаге): школьники перемножают катеты a · b и ЗАБЫВАЮТ разделить произведение на 2! Всегда проверяйте деление пополам!
2. Подстановка в формулу (S = (a · b) / 2 | S = (c · h_c) / 2): Перемножаем катеты и делим пополам: S = (a · b) / 2
3. Итоговый ответ: Считаем: S = (9 · 12) / 2 = 9 · 6 = 54 см²
1. Главные формулы и правила темы «Площадь прямоугольного треугольника, калькулятор»
2. Подробный теоретический разбор, свойства и наглядные схемы
Площадь прямоугольного треугольника - это половина произведения его катетов. Она вычисляется, исходя из длины двух его катетов. Формула для нахождения площади прямоугольного треугольника:
Пример: для катетов длиной 3 и 4,
Для кого эта статья:
- Студенты и школьники, изучающие геометрию и математику
- Учителя математики, ищущие ресурсы для своих уроков
- Все, кто хочет быстро вычислить площадь прямоугольного треугольника с помощью калькулятора
Получи больше пользы от Skysmart:
-
Прокачивай знания на курсах математики
-
Выбирай из 1200+ репетиторов по математике
Записывайся на бесплатные курсы для детей
Онлайн-калькулятор площади прямоугольного треугольника
Формула: S = 1/2 (a × b), где a и b — катеты.
Катет a:
Катет b:
Площадь треугольника: -
Основные определения
Прямоугольный треугольник — это треугольник, в котором один угол прямой, то есть равен 90˚.
Гипотенуза — это сторона, противолежащая прямому углу.
Катеты — это стороны, прилежащие к прямому углу.
Чтобы найти площадь прямоугольного треугольника, можно применить любую формулу нахождения площади треугольника — их несколько.
Формула для нахождения площади прямоугольного треугольника через катеты
Чтобы найти площадь, нужно вывести формулу:
|
Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведенную к этому основанию. S = 1/2 (a × h) |
Так как в прямоугольном треугольнике катеты перпендикулярны, то один катет — это высота, проведенная ко второму катету.
Отсюда следует, что площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.
Используйте эту формулу, чтобы найти площадь прямоугольного треугольника через катеты.
S = 1/2 (a × b), где a и b — катеты
Формула для нахождения площади прямоугольного треугольника через гипотенузу
|
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения гипотенузы на высоту, проведенную к гипотенузе. S = 1/2 (c × h) где с — гипотенуза, h — высота. |
Используйте эту формулу, чтобы найти площадь прямоугольного треугольника через гипотенузу.
Формула для нахождения площади прямоугольного треугольника через гипотенузу и острый угол
с — гипотенуза
a, b — катеты
α, β — острые углы
Формулы нахождения площади прямоугольного треугольника через катет и угол
a и b — катеты
α, β — острые углы
Формулы нахождения площади прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности и гипотенузу
Радиус вписанной окружности выражается через катеты и гипотенузу по формуле:
r = (a + b − c) / 2
a и b — катеты
с — гипотенуза
S прямоугольного треугольника = r (r + c) = c1 × c2
r — радиус вписанной окружности
с — гипотенуза
C1 и С2 — отрезки, полученные делением гипотенузы на две части точкой касания с окружностью
Уверены, что во всем разобрались? Закрепите знания на курсах обучения математике в онлайн-курсах Skysmart!
3. Сводная таблица всех формул и свойств для контрольной, ОГЭ и ЕГЭ
| Условие / Правило | Рабочая формула и пример применения |
|---|---|
| Основная формула через два катета a и b (ОГЭ №15, №18 и ЕГЭ №1) | S = (a · b) / 2. |
| Через гипотенузу c и высоту h_c (и формула самой высоты) | S = (c · h_c) / 2, откуда высота к гипотенузе равна: h_c = (a · b) / c = 2S / c. |
| Через катет и гипотенузу (с теоремой Пифагора) или угол 45° | если даны гипотенуза c и катет a, сначала находим второй катет b = √(c² − a²), затем S = (a · b) / 2; в равнобедренном прямоугольном треугольнике (углы по 45°): S = a² / 2 = c² / 4. |
4. Практикум: разбор реальных задач с пошаговым решением
1. Находим второй катет по теореме Пифагора: b = √(13² − 5²) = √(169 − 25) = √144 = 12.
2. Вычисляем площадь как полупроизведение катетов: S = (5 · 12) / 2 = 30.
1. Если один острый угол равен 45°, то и второй острый угол равен 90° − 45° = 45° ⇒ треугольник равнобедренный (оба катета равны по 10).
2. Площадь равна: S = (10 · 10) / 2 = 50.
1. Из формулы r = (a + b − c) / 2 находим сумму катетов: a + b = c + 2r = 10 + 4 = 14.
2. Полупериметр равен: p = (a + b + c) / 2 = (14 + 10) / 2 = 12.
3. Площадь: S = p · r = 12 · 2 = 24 (или по готовой формуле S = r · (c + r) = 2 · 12 = 24!).
5. Контрольный чек-лист: частые ошибки и ловушки на экзамене
- Главное правило проверки ответа: главная ошибка на ОГЭ в Задании №15 и №18 (на клетчатой бумаге): школьники перемножают катеты a · b и ЗАБЫВАЮТ разделить произведение на 2! Всегда проверяйте деление пополам!
- Контроль первой формулы (ГЛАВНАЯ ФОРМУЛА ЧЕРЕЗ ДВА КАТЕТА): Не забудь разделить произведение катетов на 2! (S = (a · b) / 2 | S = (c · h_c) / 2).
- Контроль второй формулы (ЕСЛИ ДАНА ГИПОТЕНУЗА C И КАТЕТ A): При угле 45° (катеты равны): S = a² / 2 = c² / 4 (Сначала найди 2-й катет: b = √(c² − a²), затем S = ab / 2).
Потренироваться самостоятельно с автопроверкой ответов можно в бесплатном тренажёре ЕГЭ от Skysmart: доступны разделы по базовой математике и профильной математике.
На онлайн-курсах по математике в Skysmart преподаватели разбирают каждый прототип ФИПИ на интерактивной доске и помогают довести решение задач первой и второй части до полного автоматизма.
6. Часто задаваемые вопросы (FAQ)
Какая главная формула в теме «Площадь прямоугольного треугольника, калькулятор»?
Базовое соотношение темы: S = (a · b) / 2 | S = (c · h_c) / 2, а также вторая ключевая формула: Сначала найди 2-й катет: b = √(c² − a²), затем S = ab / 2. Подробный пример расчёта: Катеты прямоугольного треугольника равны a = 9 см и b = 12 см ➔ Перемножаем катеты и делим пополам: S = (a · b) / 2 ➔ Считаем: S = (9 · 12) / 2 = 9 · 6 = 54 см².
На какой ловушке чаще всего теряют баллы на контрольной, ОГЭ и ЕГЭ?
Главное правило для бланка ответов: главная ошибка на ОГЭ в Задании №15 и №18 (на клетчатой бумаге): школьники перемножают катеты a · b и ЗАБЫВАЮТ разделить произведение на 2! Всегда проверяйте деление пополам!
Где скачать шпаргалку со всеми формулами для печати?
В первом экране статьи доступна бесплатная PDF-шпаргалка формата А4 со всеми формулами и алгоритмами темы «Площадь прямоугольного треугольника, калькулятор».
