Как решать логарифмические уравнения

Логарифм: определение и свойства

Логарифм числа b по основанию a — это математическое выражение, эквивалентное показателю степени, в которую надо возвести a, чтобы получить b.

То есть логарифм — это не что иное, как другая запись степени числа.

А для нас это означает одно — если для вас знакомо понятие степени и вы умеете применять её свойства, то и с логарифмами быстро разберётесь!

Обратите особенное внимание на ОДЗ для логарифма — мы часто будем обращаться к нему при решении уравнений: основание логарифма .

Особенно важно попрактиковаться в применении свойств логарифма. С помощью этих правил вы сможете преобразовывать выражения, содержащие логарифм, сводить решение к более простому и быстрому.

1. — основное логарифмическое тождество

496.1K

Логарифмы и онлайн-калькулятор логарифмовЧитать →

Логарифмические уравнения

Логарифмические уравнения — это уравнения, в которых неизвестная стоит в аргументе или основании логарифмов.

Уравнения с логарифмом можно разделить на три категории:

1. Простейшие вида , т. е. такие, в которых логарифм равен какому-то числу.

2. Уравнения типа , т. е. равенство логарифмов с единым основанием.

3. Уравнения сложного типа, где необходимо провести дополнительные преобразования, чтобы свести уравнение к первому или второму виду.

Каким бы ни было уравнение, мы будем придерживаться следующего алгоритма:

1. Анализируем ОДЗ.

2. Приводим уравнение к простому виду с помощью преобразований (используем свойства логарифмов).

3. Решаем уравнение, находим корни и анализируем их соответствие ОДЗ.

Простейшие логарифмические уравнения

1. Проверяем ОДЗ: .

2. Воспользуемся определением логарифма и перепишем его через степень числа:
   
   

ОДЗ:

ОДЗ:

ОДЗ:

Уравнения второго типа

Если в уравнении дано равенство логарифмов с равными основаниями, придерживаемся такого плана:

1. Оцениваем ОДЗ (достаточно проверить область допустимых значений одной из функций): F(x) > 0 или P(x) > 0.

2. Приравниваем части, откидывая логарифм: F(x) = P(x).

3. Решаем уравнение, находим корни и проверяем их на соответствие ОДЗ.

ОДЗ:

ОДЗ: Воспользуемся свойством логарифма:

ОДЗ: Представим число 1 в виде логарифма и воспользуемся свойством произведения логарифмов:

Сложные логарифмические уравнения

Конечно, сам тип задания на решение уравнений предполагает усложнения, причём добавлять различные фишечки в такие задания можно до бесконечности! Хорошая новость состоит в том, что усложнения решаются с помощью применения свойств логарифма или использования замены переменной. А значит, даже самое сложное уравнение можно и нужно сводить к легко решаемому!

Некоторые методы решения сложных логарифмических уравнений
	Метод приведения к одному основанию
	Метод логарифмирования
	Метод подстановки
	Использование основного логарифмического тождества
	Сворачивание в один логарифм

А теперь — супер-предложение: переходите по ссылке и используйте наш тренажёр для подготовки к контрольным и экзаменам абсолютно бесплатно! Там вы найдёте не только тему «Логарифмические уравнения», но и типовые задания для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ, задачи по всем разделам геометрии, а также проработку глав по статистике и вероятности. Учить математику ещё никогда не было так просто!