Основные геометрические фигуры

Почти каждый день мы считаем цифры, используем формулы, рассматриваем формы предметов и архитектуры. Математические знания — повсюду, они пригодятся в любой профессии и в обычной жизни. В этой статье расскажем о самых популярных фигурах в геометрии.
  • Автор

    Лидия Казанцева

  • Рубрика

    7 класс, 8 класс

  • Дата публикации

    30.11.2020

  • Просмотры

    67987

Основные понятия 

Основные геометрические фигуры на плоскости — это точка и прямая линия. А простейшие фигуры — это луч, отрезок и ломаная линия.

Минимальный объект в геометрии — точка. Ее особенность в том, что она не имеет размеров: у нее нет высоты, длины, радиуса. У точки можно определить только ее расположение, которое принято обозначать одной заглавной буквой латинского алфавита.

Из множества точек может получится линия, а из нескольких соединенных между собой линий — геометрические фигуры.


виды линий

Каждая математическая фигура имеет собственную величину, которую можно измерить при помощи формул и внимательности.

Площадь — это одна из характеристик замкнутой геометрической фигуры, которая дает нам информацию о ее размере. S (square) — знак площади.

Периметром принято называть длину всех сторон многоугольника. Периметр обозначается заглавной латинской P.

Если параметры переданы в разных единицах измерения длины, нужно перевести все данные к одной единице измерения.

Популярные единицы измерения площади:

  • квадратный миллиметр (мм2);
  • квадратный сантиметр (см2);
  • квадратный дециметр (дм2);
  • квадратный метр (м2);
  • квадратный километр (км2);
  • гектар (га).

Геометрические тела — часть пространства, которая ограничена замкнутой поверхностью своей наружной границы.

Если все точки фигуры принадлежат одной плоскости, значит она является плоской.

Объемная фигура — геометрическая фигура, у которой все точки не находятся на одной плоскости.

Примеры объемных геометрических фигур:

  • шар,
  • конус,
  • параллелепипед,
  • цилиндр,
  • пирамида,
  • сфера.

Рассмотрим подробнее некоторые фигуры, разберем их определения и свойства.

Прямоугольник

Прямоугольник — четырехугольник, у которого все стороны пересекаются под прямым углом.

Свойства прямоугольника:

  • Диагонали прямоугольника равны и делятся в точке пересечения пополам.
  • Около прямоугольника можно описать окружность с центром в точке пересечения его диагоналей и радиусом, который равен половине диагонали.

Узнать площадь прямоугольника помогут следующие формулы:

 
  1. S = a × b, где a, b — ширина и высота прямоугольника.
    прямоугольник

  2. S = a × √(d2 - а2), где а — известная сторона, d — диагональ.
    прямоугольник с диагональю

    Диагональ — это отрезок, который соединяет противоположные вершины фигуры. Он есть во всех фигурах, число вершин которых больше трех.


  3. S = 0,5 × d2 × 𝑠𝑖𝑛(𝑎), где d — диагональ.
    прямоугольник

Периметр прямоугольника — сумма длины и ширины, умноженная на два.

P = 2 × (a + b), где a — ширина, b — высота.

Периметр прямоугольника

Квадрат

Квадрат — это тот же прямоугольник, у которого все стороны равны.

Свойства квадрата:

  • Все стороны равны.
  • Все углы равны и составляют 90 градусов.
  • Диагонали квадрата равны и перпендикулярны.
  • У квадрата центры вписанной и описанной окружности совпадают и находятся в точке пересечения его диагоналей.

Найти площадь квадрата легко:

 
  1. S = а2, где a — сторона квадрата.

     

    квадрат

  2. S = d2 : 2, где d — диагональ.

     

    диагональ

Периметр квадрата — это длина стороны, умноженная на четыре.

P = 4 × a, где a — длина стороны.


Периметр квадрата

Трапеция

Трапеция — это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две не параллельны.

Основное свойство: в трапецию можно вписать окружность, если сумма ее оснований равна сумме боковых сторон.

Как найти площадь трапеции:

S = (a + b) : 2 × h, где a, b — два разных основания, h — высота трапеции.


площадь трапеции

Построить высоту трапеции можно, начертив отрезок так, чтобы он соединил параллельные стороны и был расположен перпендикулярно к этим основаниям.

Формула периметра для равнобедренной трапеции отличается от прямоугольника тем, что у равнобедренной трапеции есть две равные стороны.

P = a + b + 2 × c, где a, b — параллельные стороны, c — две длины одинаковых сторон.


периметр равнобедренной трапеции

Параллелограмм и ромб

Параллелограмм — четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны

Ромб — это параллелограмм с равными сторонами.

Свойства параллелограмма:

  • Противоположные стороны и углы равны.
  • Сумма любых двух соседних углов равна 180 градусам.
  • Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
  • Каждая диагональ делит фигуру на два равных треугольника.

Общие формулы расчета площади фигур:

 
  1. S = a × h, где a — сторона, h — высота.
    площади фигур

  2. S = a × b × sinα, где a и b — две стороны, sinα — синус угла между ними. В случае с ромбом стороны равны, поэтому формула примет вид S = a × a × sinα или S = a2 × sinα.
    площади фигур

  3. Для ромба: S = 0,5 × (d1 × d2), где d1,d2 — две диагонали. Для параллелограмма: S = 0,5 × (d1 × d2) × sinβ, где β — угол между диагоналями.
    площади фигур
 

Периметр ромба — это произведение длины стороны на четыре.

P = 4 × a, где a — длина стороны.


Периметр ромба

Периметр параллелограмма — сумма длины и ширины, умноженная на два.

P = 2 × (a + b), где a — ширина, b — высота.


Периметр параллелограмма

Треугольник

Треугольник — это такая фигура, которая образуется, когда три отрезка соединяют три точки, не лежащие на одной прямой. Эти три точки принято называть вершинами, а отрезки — сторонами.

Виды треугольников:

  • Прямоугольный. Один угол прямой, два других менее 90 градусов.
  • Остроугольный. Градус угла больше 0, но меньше 90 градусов.
  • Тупоугольный. Один угол тупой, два других острые.

Свойства треугольника:

  • В треугольнике против большего угла лежит большая сторона — и наоборот.
  • Сумма углов треугольника равна 180 градусов.
  • Все углы равностороннего треугольника равны 60 градусам.
  • В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Рассчитать площадь треугольника можно несколькими способами по исходным данным, давайте их рассмотрим.

 
  1. Если известна сторона и высота.

    S = 0,5 × a × h, где a — длина основания, h — высота, проведенная к основанию.


    площадь треугольника

    Основание может быть расположено иначе, например так:


    площадь треугольника с основанием

    При тупом угле высоту можно отразить на продолжение основания:


    площадь при тупом угле высоты

    При прямом угле основанием и высотой будут его катеты:


    площадь треугольника при прямом угле

  2. Если известны две стороны и синус угла.

    S = 0,5 × a × b × sinα, где a и b — две стороны, sinα — синус угла между ними.


    площадь треугольника если известны две стороны синуса

  3. Если есть радиус описанной окружности.

    S = (a × b × с) : 4 × R, где a, b и с — стороны треугольника, а R — радиус описанной окружности.


    площадь треугольника если есть радиус описанной окружности

  4. Если есть радиус вписанной окружности.

    S = p × r, где р — полупериметр треугольника, r — радиус вписанной окружности.


    площадь треугольника с радиусом вписанной окружности

Периметр треугольника — это сумма длин трех его сторон.

P = a + b + c, где a, b, c — длина стороны.


Периметр треугольника

Формула измерения периметра для равностороннего треугольника — это длины стороны, умноженная на три.

P = 3 × a, где a — длина стороны.


Периметр равностороннего треугольника

Круг

Круг — это множество точек на плоскости, которые удалены от центра на равном радиусу расстоянии.

Окружность — это граница круга.

Радиус окружности — это расстояние от центра окружности до любой точки на ней.

Диаметр круга — это отрезок, который соединяет две точки на окружности и проходящий через ее центр. Диаметр круга равен двум его радиусам.

Формулы площади круга:

 
  1. S = π × r2, где r — это радиус, π — это константа, которая выражает отношение длины окружности к диаметру, она всегда равна 3,14.
    площадь круга

  2. S = π × d2 : 4, где d — это диаметр.
    площадь круга

  3. S = L2​ : (4 × π), где L — это длина окружности.
    площадь круга

Периметр круга или длина окружности — это произведение радиуса на два Пи или произведение диаметра на Пи.

L = d × π = 2 × r × π, где d — диаметр, r — радиус, π — это константа, которая выражает отношение длины окружности к диаметру, она всегда равна 3,14.


Периметр круга и длина окружности
 
  • 0
  • 0
  • 0
  • 0
  • 0
  • 0