Ось абсцисс (горизонтальная ось Ox) и ось ординат (вертикальная ось Oy) — это две взаимно перпендикулярные координатные прямые, которые пересекаются в начале координат O(0; 0) и образуют на плоскости прямоугольную декартовую систему координат Oxy, разделяя плоскость на 4 координатные четверти (квадранта I, II, III и IV).
- Как запомнить, где абсцисса, а где ордината: Абсцисса (x) — горизонтальная ось Ox (стоит на 1-м месте в алфавите А..О и в паре
(x; y)); Ордината (y) — вертикальная ось Oy (стоит на 2-м месте). - Уравнения самих координатных осей и параллельных им прямых: уравнение оси абсцисс Ox: y = 0 (прямая параллельно Ox:
y = b); уравнение оси ординат Oy: x = 0 (прямая параллельно Oy:x = a). - Нумерация четырёх координатных четвертей (против часовой стрелки): I четв.:
x > 0, y > 0; II четв.:x < 0, y > 0; III четв.:x < 0, y < 0; IV четв.:x > 0, y < 0.
Правило для бланка ОГЭ и ЕГЭ: парадоксальное правило, на котором путаются в 7–9 классах: чтобы найти пересечение графика функции с осью АБСЦИСС Ox, нужно приравнять к нулю ОРДИНАТУ (y = 0); а чтобы найти пересечение с осью ОРДИНАТ Oy — нужно подставить x = 0!
2. Подстановка в формулу (Ox (горизонталь) — АБСЦИССА x | Oy (вертикаль) — ОРДИНАТА y): 1) С осью абсцисс Ox (кладём y = 0): 2x + 10 = 0 ⇒ x = −5 ⇒ (−5; 0)
3. Итоговый ответ: 2) С осью ординат Oy (кладём x = 0): −5y + 10 = 0 ⇒ y = 2 ⇒ (0; 2)
1. Главные формулы и правила темы «Прямоугольная система координат. Ось абсцисс и ординат»
2. Подробный теоретический разбор, свойства и наглядные схемы
Абсцисса - это координата точки на оси X в прямоугольной системе координат. Она определяет горизонтальное положение точки.
Например, в точке (3, 4) абсцисса равна 3. Основанная на оси абсцисс система координат используется в графиках и чертежах.
Для кого эта статья:
- Студенты, изучающие математику в школе или на начальном уровне высшего образования
- Учителя и репетиторы математики, ищущие материал для объяснения теми координации
- Любители математики или лица, заинтересованные в основах геометрии и систем координат
Получи больше пользы от Skysmart:
-
Прокачивай знания на курсах математики
-
Выбирай из 1200+ репетиторов по математике
Записывайся на бесплатные курсы для детей
Прямоугольная декартова система координат
Французский математик Рене Декарт предложил вместо геометрических построений использовать математические расчеты. Так появился метод координат, о котором мы сейчас расскажем.
Координаты — это совокупность чисел, которые определяют положение какого-либо объекта на прямой, плоскости, поверхности или в пространстве. Например, координаты школы тоже можно записать числами — они помогут понять, где именно находится наша школа. С точками на плоскости та же история.
Координатой можно назвать номер столика в кафе, широту и долготу на географической карте, положение точки на числовой оси и даже номер телефона друга. Проще говоря, когда мы обозначаем какой-то объект набором букв, чисел или других символов, тем самым мы задаем его координаты.
Прямоугольная система координат — это система координат, которую изобрел математик Рене Декарт, ее еще называют «декартова система координат». Она представляет собой два взаимно перпендикулярных луча с началом отсчета в точке их пересечения.
Чтобы найти координаты, нужны ориентиры, от которых будет идти отсчет. На плоскости в этой роли выступят две числовые оси.
Чертеж начинается с горизонтальной оси, которая называется осью абсцисс и обозначается латинской буквой x (икс). Записывают ось так: Ox. Положительное направление оси абсцисс обозначается стрелкой слева направо.
Затем проводят вертикальную ось, которая называется осью ординат и обозначается y (игрек). Записывают ось Oy. Положительное направление оси ординат показываем стрелкой снизу вверх.
Оси взаимно перпендикулярны, а значит угол между ними равен 90°. Точка пересечения является началом отсчета для каждой из осей и обозначается так: O. Начало координат делит оси на две части: положительную и отрицательную.
- Координатные оси — это прямые, образующие систему координат.
- Ось абсцисс Ox — горизонтальная ось.
- Ось ординат Oy — вертикальная ось.
- Координатная плоскость — плоскость, в которой находится система координат. Обозначается так: x0y.
- Единичный отрезок — величина, которая принимается за единицу при геометрических построениях. В декартовой системе координат единичный отрезок отмечается на каждой из осей. Длина отрезка показывает сколько раз единичный отрезок и его части укладываются в данном отрезке.
Единичные отрезки располагаются справа и слева от оси Oy, вверх и вниз от оси Oy. Числовые значения на оси Oy располагаются слева или справа, на оси Ox — внизу под ней. Чаще всего единичные отрезки двух осей соответствуют друг другу, но бывают задачи, где они не равны.
Оси координат делят плоскость на четыре угла — четыре координатные четверти.
У каждой из координатных четвертей есть свой номер и обозначение в виде римской цифры. Отсчет идет против часовой стрелки:
- верхний правый угол — первая четверть I;
- верхний левый угол — вторая четверть II;
- нижний левый угол — третья четверть III;
- нижний правый угол — четвертая четверть IV;
Чтобы узнать координаты точки в прямоугольной системе координат, нужно опустить от точки перпендикуляр на каждую ось и посчитать количество единичных отрезков от нулевой отметки до опущенного перпендикуляра. Координаты записывают в скобках, первая по оси Ох, вторая по оси Оу.
Правила координат:
- Если обе координаты положительны, то точка находится в первой четверти координатной плоскости.
- Если координата х отрицательная, а координата у положительная, то точка находится во второй четверти.
- Если обе координаты отрицательны, то число находится в третьей четверти.
- Если координата х положительная, а координата у отрицательная, то точка лежит в четвертой четверти.
Курсы подготовки к ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.
Координаты точки в декартовой системе координат
Для начала отложим точку М на координатной оси Ох. Любое действительное число xM равно единственной точке М, которая располагается на данной прямой. При этом начало отсчета координатных прямых всегда ноль.
Каждая точка М, которая расположена на Ох, равна действительному числу xM. Этим действительным числом и является ноль, если точка М расположена в начале координат, то есть на пересечении Оx и Оу. Если точка удалена в положительном направлении, то число длины отрезка положительно и наоборот.
Число xM — это координата точки М на заданной координатной прямой.
Пусть точка будет проекцией точки Mx на Ох, а My на Оу. Значит, через точку М можно провести перпендикулярные осям Оx и Оу прямые, после чего получим соответственные точки пересечения Mx и My.Тогда у точки Mx на оси Оx есть соответствующее число xM, а My на Оу — yM. Как это выглядит на координатных осях:
Каждой точке М на заданной плоскости в прямоугольной декартовой системе координат соответствует пара чисел (xM, yM), которые называются ее координатами. Абсцисса М — это xM, ордината М — это yM.
Обратное утверждение тоже верно: каждая пара (xM, yM) имеет соответствующую точку на плоскости.
3. Сводная таблица всех формул и свойств для контрольной, ОГЭ и ЕГЭ
| Условие / Правило | Рабочая формула и пример применения |
|---|---|
| Как запомнить, где абсцисса, а где ордината | Абсцисса (x) — горизонтальная ось Ox (стоит на 1-м месте в алфавите А..О и в паре (x; y)); Ордината (y) — вертикальная ось Oy (стоит на 2-м месте). |
| Уравнения самих координатных осей и параллельных им прямых | уравнение оси абсцисс Ox: y = 0 (прямая параллельно Ox: y = b); уравнение оси ординат Oy: x = 0 (прямая параллельно Oy: x = a). |
| Нумерация четырёх координатных четвертей (против часовой стрелки) | I четв.: x > 0, y > 0; II четв.: x < 0, y > 0; III четв.: x < 0, y < 0; IV четв.: x > 0, y < 0. |
4. Практикум: разбор реальных задач с пошаговым решением
1. A(−4; 7): x < 0, y > 0 ⇒ II четверть.
2. B(0; −5): x = 0 ⇒ лежит на оси ординат Oy.
3. C(−3; −2): x < 0, y < 0 ⇒ III четверть. D(8; 0): y = 0 ⇒ лежит на оси абсцисс Ox.
1. Расстояние до горизонтальной оси Ox равно модулю ординаты: |y| = |12| = 12.
2. Расстояние до вертикальной оси Oy равно модулю абсциссы: |x| = |−5| = 5.
3. Расстояние до начала координат по теореме Пифагора: OM = √((−5)² + 12²) = 13.
1. Находим пересечение с осью Oy (x = 0): y = 6 ⇒ катет на оси Oy равен 6.
2. Находим пересечение с осью Ox (y = 0): −2x + 6 = 0 ⇒ x = 3 ⇒ катет на оси Ox равен 3.
3. Площадь прямоугольного треугольника: S = (6 · 3) / 2 = 9.
5. Контрольный чек-лист: частые ошибки и ловушки на экзамене
- Главное правило проверки ответа: парадоксальное правило, на котором путаются в 7–9 классах: чтобы найти пересечение графика функции с осью АБСЦИСС Ox, нужно приравнять к нулю ОРДИНАТУ (y = 0); а чтобы найти пересечение с осью ОРДИНАТ Oy — нужно подставить x = 0!
- Контроль первой формулы (КАК НЕ ПУТАТЬ OX И OY (ПО АЛФАВИТУ А..О)): Точка пишется строго в порядке: M(x; y) = (Абсцисса; Ордината) (Ox (горизонталь) — АБСЦИССА x | Oy (вертикаль) — ОРДИНАТА y).
- Контроль второй формулы (ПЕРЕСЕЧЕНИЕ С ОСЯМИ И ЧЕТВЕРТИ): Четверти против часовой: I (+; +), II (−; +), III (−; −), IV (+; −) (С осью Ox ⇒ подставь y = 0 | С осью Oy ⇒ подставь x = 0).
Потренироваться самостоятельно с автопроверкой ответов можно в бесплатном тренажёре ЕГЭ от Skysmart: доступны разделы по базовой математике и профильной математике.
На онлайн-курсах по математике в Skysmart преподаватели разбирают каждый прототип ФИПИ на интерактивной доске и помогают довести решение задач первой и второй части до полного автоматизма.
6. Часто задаваемые вопросы (FAQ)
Какая главная формула в теме «Прямоугольная система координат. Ось абсцисс и ординат»?
Базовое соотношение темы: Ox (горизонталь) — АБСЦИССА x | Oy (вертикаль) — ОРДИНАТА y, а также вторая ключевая формула: С осью Ox ⇒ подставь y = 0 | С осью Oy ⇒ подставь x = 0. Подробный пример расчёта: Найти пересечение прямой 2x − 5y + 10 = 0 с осью абсцисс Ox и ординат Oy ➔ 1) С осью абсцисс Ox (кладём y = 0): 2x + 10 = 0 ⇒ x = −5 ⇒ (−5; 0) ➔ 2) С осью ординат Oy (кладём x = 0): −5y + 10 = 0 ⇒ y = 2 ⇒ (0; 2).
На какой ловушке чаще всего теряют баллы на контрольной, ОГЭ и ЕГЭ?
Главное правило для бланка ответов: парадоксальное правило, на котором путаются в 7–9 классах: чтобы найти пересечение графика функции с осью АБСЦИСС Ox, нужно приравнять к нулю ОРДИНАТУ (y = 0); а чтобы найти пересечение с осью ОРДИНАТ Oy — нужно подставить x = 0!
Где скачать шпаргалку со всеми формулами для печати?
В первом экране статьи доступна бесплатная PDF-шпаргалка формата А4 со всеми формулами и алгоритмами темы «Прямоугольная система координат. Ось абсцисс и ординат».
