Бесконечная периодическая десятичная дробь — это дробь, у которой после запятой бесконечно повторяется одна и та же цифра или группа цифр, называемая периодом и записываемая в круглых скобках: 0,333... = 0,(3). Любая периодическая дробь является рациональным числом и переводится в обыкновенную дробь m / n по двум простым правилам девяток и нулей.
- Правило 1 — Чистая периодическая дробь (период начинается сразу после запятой): в числитель пишем сам период, а в знаменатель — столько девяток (9), сколько цифр в периоде:
0,(a) = a / 9;0,(ab) = ab / 99. - Правило 2 — Смешанная периодическая дробь (между запятой и скобкой есть цифры): из всего числа после запятой (вместе с периодом) вычитаем число ДО периода, а в знаменатель пишем столько 9, сколько цифр в периоде, и столько 0, сколько цифр до периода:
0,k(p) = (kp − k) / 90. - Алгебраический вывод (домножением x на 10ᵏ): если
x = 0,(7), то10x = 7,(7)⇒ вычитаем:9x = 7 ⇒ x = 7/9.
Правило для бланка ОГЭ и ЕГЭ: удивительное тождество математики: бесконечная периодическая дробь 0,(9) = 0,999... в точности равна ЕДИНИЦЕ (так как по формуле 0,(9) = 9 / 9 = 1)!
2. Подстановка в формулу (0,(a) = a / 9 | 0,(ab) = ab / 99): Числитель: 27 − 2 = 25 | Знаменатель: одна 9 и один 0 = 90
3. Итоговый ответ: Сокращаем на 5: 25 / 90 = 5 / 18
1. Главные формулы и правила темы «Как перевести периодическую дробь»
2. Подробный теоретический разбор, свойства и наглядные схемы
Для кого эта статья:
- Студенты и ученики, готовящиеся к экзаменам по математике
- Преподаватели математики, ищущие информацию для уроков
- Любители математики, интересующиеся дробями и их преобразованием
Получи больше пользы от Skysmart:
-
Прокачивай знания на курсах математики
-
Выбирай из 1200+ репетиторов по математике
Записывайся на бесплатные курсы для детей
Определение дроби
Прежде чем отвечать на вопрос, как найти десятичную дробь, разберемся в основных определениях, видах дробей и разницей между ними.
Дробь — это запись числа в математике, в которой a и b — числа или выражения. По сути, это всего лишь одна из форм, в которое можно представить число. Есть два формата записи:
- обыкновенный вид — ½ или a/b,
- десятичный вид — 0,5.
В обыкновенной дроби над чертой принято писать делимое, которое становится числителем, а под чертой всегда находится делитель, который называют знаменателем. Черта между числителем и знаменателем означает деление.
В десятичной дроби знаменатель всегда равен 10, 100, 1000, 10000 и т.д. По сути, десятичная дробь — это то, что получается, если разделить числитель на знаменатель. Десятичную дробь записывают в строчку через запятую, чтобы отделить целую часть от дробной. Вот так:
- 0,7
- 6,51
- 9,932
Конечная десятичная дробь — это дробь, в которой количество цифр после запятой точно определено.
Бесконечная десятичная дробь — это когда после запятой количество цифр бесконечно. Для удобства математики договорились округлять эти цифры до 1-3 после запятой.
Переход к периодической десятичной дроби
Рассмотрим обыкновенную дробь вида a/b. Разложим ее знаменатель на простые множители. Тут есть два варианта:
- В разложении присутствуют только множители 2 и 5. Эти дроби легко приводятся к десятичным.
- В разложении присутствует что-то еще, кроме 2 и 5. В этом случае дробь невозможно представить в виде десятичной, зато из нее можно сделать периодическую десятичную дробь.
Чтобы задать периодическую десятичную дробь, нужно найти ее периодическую и непериодическую часть. Чтобы это сделать нужно привести дробь в неправильную, а затем разделить числитель на знаменатель столбиком.
Что будет происходить в процессе:
- сначала нужно будет разделить целую часть, если она есть;
- могут быть несколько чисел после десятичной точки;
- через некоторое время цифры начнут повторяться.
Повторяющиеся цифры после десятичной точки нужно обозначить периодической частью, а то, что стоит спереди — непериодической.
Пример. Перевести обыкновенные дроби в периодические десятичные:
Как решаем:
Все дроби без целой части, поэтому просто делим числитель на знаменатель уголком:
Остатки начали повторяться. Запишем дробь в соответствии с условиями задачи: 1,733 ... = 1,7(3).
В итоге получаем: 0,5833 ... = 0,58(3).
Фиксируем: 4,0909 ... = 4,(09).
Получаем десятичную периодическую дробь: 0,4141 ... = 0,(41).
Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!
Определение периодической дроби
Периодическая дробь — это бесконечная десятичная дробь, в которой, начиная с некоторого места, периодически повторяется определенная группа цифр.
Периодическая часть дроби — это набор повторяющихся цифр, из которых состоит значащая часть.
В краткой записи периодической дроби повторяющиеся цифры пишут в скобках и называют периодом дроби. Например, вместо 1,555… записывают 1,(5) и читают «одна целая и пять в периоде».
Остальной отрезок значащей части, который не повторяется, называется непериодической частью.
Виды периодических дробей: чистые и смешанные.
Чистая периодическая десятичная дробь — это десятичная дробь, в записи которой сразу после запятой следует период. Например: 1,(4); 4,(25); 21,(693).
Смешанная периодическая десятичная дробь — это десятичная дробь, в записи которой после запятой через одну или несколько цифр начинается период. Например: 3,5(1); 0,02(89); 7,0(123) и т.д.
Рассмотрим примеры дробей, чтобы научиться определять части и период.
1/3 = 0,3333... = 0,(3)
Непериодическая часть: 0; периодическая часть: 3; длина периода: 1.
Читаем так: ноль целых три в периоде.
7/12 = 0,583333... = 0,58(3)
Непериодическая часть: 0,58; периодическая часть: 3; длина периода: снова 1.
Читаем так: ноль целых пятьдесят восемь сотых и три в периоде.
17/11 = 1,545454... = 1,(54)
Непериодическая часть: 1; периодическая часть: 54; длина периода: 2.
Читаем так: одна целая пятьдесят четыре сотых в периоде.
25/39 = 0,641025 641025... = 0,(641025)
Непериодическая часть: 0; периодическая часть: 641025; длина периода: 6.
Читаем так: ноль целых шестьсот сорок одна двадцать пять миллионных в периоде.
пятьдесят четыре сотых в периоде.
9200/3 = 3066,666... = 3066,(6)
Непериодическая часть: 3066; периодическая часть: 6; длина периода: 1.
Читаем так: три тысячи шестьдесят шесть целых и шесть в периоде.
Перевод периодической дроби в обыкновенную
Давайте разберемся, как перевести периодическую десятичную дробь в обыкновенную дробь.
Если период дроби равен нулю, значит решение будет быстрым. Периодическая дробь с нулевым периодом заменяется на конечную десятичную дробь, а процесс обращения такой дроби сводится к обращению конечной десятичной дроби.
Пример. Преобразуем периодическую дробь 1,32(0) в обыкновенную.
Для этого отбросим нули справа и получим конечную десятичную дробь 1,32. Далее следуем алгоритму из предыдущих пунктов:
Вот и ответ!
Рассмотрим пример, в котором период дроби отличен от нуля.
Как записать периодическую дробь 10,0219(37) в виде обыкновенной:
- Считаем количество цифр в периоде десятичной дроби. Обозначаем количество цифр за букву k.
В нашем примере k = 2.
- Считаем количество цифр, которые стоят после запятой, но до периода десятичной дроби. Обозначаем количество цифр буквой m.
m = 4.
- Запишем все цифры после запятой: в том числе и цифры из периода в виде натурального числа.
Если вначале, до первой значащей цифры, идут нули, то отбрасываем их. Обозначим полученное число — a.
a = 021937 = 21 937
- Теперь запишем все цифры, которые стоят после запятой, но до периода, в виде натурального числа. Если вначале до первой значащей цифры идут нули, то отбрасываем их. Обозначим полученное число — b.
b = 0219 = 219
- Подставляем найденные значения в формулу, где Y — целая часть бесконечной периодической дроби.
Y = 10
Теперь осталось подставить все найденные значения в формулу и получить ответ:
Вот так мы справились с задачей представить бесконечную периодическую дробь в виде обыкновенной.
Есть еще один способ преобразовать периодическую дробь в обыкновенную. Для этого нужно рассматреть периодическую часть как сумму членов геометрический прогрессии, которая убывает. Например, вот так:
0,(98) = 0,98 + 0,0098 + 0,000098 + 0,00000098 + ..
Для суммы членов бесконечной убывающей геометрической прогрессии есть формула. Если первый член прогрессии равен b, а знаменатель q таков, что 0 < q < 1, то сумма равна b/(1-q).
Пример. Перевести периодическую дробь 0,(7) в обыкновенную.
Как решаем:
- Запишем 0,(7) = 0,7 + 0,07 + 0,007 + ..
Видим бесконечную убывающую геометрическую прогрессию с первым членом 0,7 и знаменателем 0,1.
- Применим формулу b/(1-q):
0,(7) = 0,7 + 0,07 + 0,007 + .. = 0,7 / (1 - 0,1) = 0,7/0,9 = 7/9.
Ответ: 7/9.
Итак, есть два вида периодических дробей. Сейчас расскажем, чем отличаются способы их преобразования в обыкновенные дроби.
Перевод чистой периодической дроби в обыкновенную
Напомним: отличие чистой периодической десятичной дроби в том, что в ней сразу после запятой следует период.
Чтобы обратить чистую периодическую дробь в обыкновенную, достаточно записать числителем ее период, а в знаменателе записать столько девяток, сколько цифр в периоде. Вот так:
Перевод смешанной периодической дроби в обыкновенную
Отличие смешанной периодической десятичной дроби в том, что после запятой через одну или несколько цифр начинается период.
Чтобы записать смешанную периодическую дробь в виде обыкновенной, нужно из числа, которое стоит до второго периода вычесть число, стоящее до первого периода, и записать результат в числителе.
А в знаменатель нужно поставить число, которое содержит столько девяток, сколько цифр в периоде, нулей в конце и сколько цифр между запятой и периодом.
Например, запишем 2,34(2) в виде обыкновенной дроби:
3. Сводная таблица всех формул и свойств для контрольной, ОГЭ и ЕГЭ
| Условие / Правило | Рабочая формула и пример применения |
|---|---|
| Правило 1 — Чистая периодическая дробь (период начинается сразу после запятой) | в числитель пишем сам период, а в знаменатель — столько девяток (9), сколько цифр в периоде: 0,(a) = a / 9; 0,(ab) = ab / 99. |
| Правило 2 — Смешанная периодическая дробь (между запятой и скобкой есть цифры) | из всего числа после запятой (вместе с периодом) вычитаем число ДО периода, а в знаменатель пишем столько 9, сколько цифр в периоде, и столько 0, сколько цифр до периода: 0,k(p) = (kp − k) / 90. |
| Алгебраический вывод (домножением x на 10ᵏ) | если x = 0,(7), то 10x = 7,(7) ⇒ вычитаем: 9x = 7 ⇒ x = 7/9. |
4. Практикум: разбор реальных задач с пошаговым решением
1. Для 0,(6): одна цифра в периоде ⇒ 6 / 9 = 2 / 3.
2. Для 2,(15): две цифры в периоде ⇒ 2 + 15/99 = 2 + 5/33 = 2 ⁵/₃₃ (или 71/33).
1. В периоде (6) одна цифра (одна 9), а до периода после запятой одна цифра 1 (один 0) ⇒ знаменатель равен 90.
2. Числитель: 16 − 1 = 15.
3. Сокращаем на 15: 15 / 90 = 1 / 6.
1. Переводим каждую дробь: 0,(4) = 4 / 9; 0,2(5) = (25 − 2) / 90 = 23 / 90.
2. Складываем с общим знаменателем 90: 40/90 + 23/90 = 63 / 90 = 7 / 10 = 0,7.
5. Контрольный чек-лист: частые ошибки и ловушки на экзамене
- Главное правило проверки ответа: удивительное тождество математики: бесконечная периодическая дробь 0,(9) = 0,999... в точности равна ЕДИНИЦЕ (так как по формуле 0,(9) = 9 / 9 = 1)!
- Контроль первой формулы (ЧИСТАЯ ПЕРИОДИЧЕСКАЯ ДРОБЬ (ТОЛЬКО 9)): В знаменатель пишем столько девяток, сколько цифр в скобках! (0,(a) = a / 9 | 0,(ab) = ab / 99).
- Контроль второй формулы (СМЕШАННАЯ ПЕРИОДИЧЕСКАЯ ДРОБЬ (9 И 0)): Сколько цифр в скобках — столько 9; сколько до скобок — столько 0 (0,k(p) = (kp − k) / 90).
Потренироваться самостоятельно с автопроверкой ответов можно в бесплатном тренажёре ЕГЭ от Skysmart: доступны разделы по базовой математике и профильной математике.
На онлайн-курсах по математике в Skysmart преподаватели разбирают каждый прототип ФИПИ на интерактивной доске и помогают довести решение задач первой и второй части до полного автоматизма.
6. Часто задаваемые вопросы (FAQ)
Какая главная формула в теме «Как перевести периодическую дробь»?
Базовое соотношение темы: 0,(a) = a / 9 | 0,(ab) = ab / 99, а также вторая ключевая формула: 0,k(p) = (kp − k) / 90. Подробный пример расчёта: Перевести смешанную периодическую дробь 0,2(7) в обыкновенную ➔ Числитель: 27 − 2 = 25 | Знаменатель: одна 9 и один 0 = 90 ➔ Сокращаем на 5: 25 / 90 = 5 / 18.
На какой ловушке чаще всего теряют баллы на контрольной, ОГЭ и ЕГЭ?
Главное правило для бланка ответов: удивительное тождество математики: бесконечная периодическая дробь 0,(9) = 0,999... в точности равна ЕДИНИЦЕ (так как по формуле 0,(9) = 9 / 9 = 1)!
Где скачать шпаргалку со всеми формулами для печати?
В первом экране статьи доступна бесплатная PDF-шпаргалка формата А4 со всеми формулами и алгоритмами темы «Как перевести периодическую дробь».
