Сокращение обыкновенных дробей

Часто в задачках попадаются дроби, которые своими увесистыми числами пугают даже самого натренированного школьника. Чтобы сделать ее не такой громоздкой, нужно эту дробь сократить. Давайте научимся, как с пользой изымать из дробей лишние числа.
  • Автор

    Анастасия Белова

  • Рубрика

    6 класс

  • Дата публикации

    24.12.2020

  • Просмотры

    57659

Что такое «сокращение дробей»

Математика любит точность и краткость: лохматыми громоздкими числами ее расположение не заслужить. Поэтому, следуя негласному правилу, сокращайте все, что можно сократить.

Сократить дробь — значит разделить ее числитель и знаменатель на их общий делитель. Общий делитель должен быть положительным и не равен нулю и единице.

В результате сокращения вы получаете новую дробь, равную исходной дроби. Такие дроби равны по основному свойству:

Основное свойство дроби

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число — получится дробь, равная данной.

С основным свойством дроби знакомятся в 5 классе, но встречаться оно будет до самого окончания школы. Поэтому запоминаем, как выглядит основное свойство дроби в виде буквенных выражений:

Дробь 1 = Дробь 2

Дробь 3 = Дробь 4

где a, b, m — натуральные числа.

Графически сокращение дробей обычно записывается вот так:

Сокращение дробей графически

Числитель и знаменатель зачеркиваются черточками. В этом примере числитель — 8, знаменатель — 36. Справа над ними записывают результаты деления числителя и знаменателя на их общий делитель. Общий делить 8 и 36 — 4. Это число не нужно записывать.

Пример 1. Сократим обыкновенную дробь Дробь 5

Разделим числитель и знаменатель на общий делитель 3.

3 : 3 =1

15 : 3 = 5

Дробь 6 = Дробь 7 = Дробь 8

Сокращение выполнено: Дробь 9 = Дробь 10

Пример 2. Сократим обыкновенную дробь Дробь 11

Разделим числитель и знаменатель на общий делитель 2.

4 : 2 = 2

16 : 2 = 8

Дробь 12 = Дробь 13 = Дробь 14

Сокращение выполнено: Дробь 15 = Дробь 16

Приведение дробей к несократимому виду

Смысл сокращения дробей в том, чтобы в результате сокращения в числителе и знаменателе оказались наименьшие из возможных чисел.

Так, в результате сокращения в примере 2, мы из дроби Дробь 17 получили дробь Дробь 18

Выходит, что дробь выдержит еще одно сокращение и придет к виду Дробь 19

Сокращая дробь, стремитесь в итоге получить несократимую дробь.

Разделите числитель и знаменатель дроби на их НОД (наибольший общий делитель). Так вы приведете дробь к несократимому виду.

  • Дробь 20 — несократимая дробь, так как по свойствам НОД мы знаем, что:

    a : НОД(a, b) и b : НОД(a, b) — взаимно простые числа.

Два целых числа a и b называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен единице, НОД(a, b) = 1.

  • Несократимые дроби: Дробь 21; Дробь 22; Дробь 23; Дробь 24

Пример 3. Приведите обыкновенную дробь к несократимому виду Дробь 25

Найдем НОД числителя и знаменателя. НОД = 12

Найдем частное: 12 : 12 = 1

36 : 12 = 3

Дробь 26= Дробь 27= Дробь 28

Сокращение выполнено: Дробь 29= Дробь 30

Пример 4. Приведите обыкновенную дробь к несократимому виду Дробь 31

Найдем НОД числителя и знаменателя. НОД = 5

Найдем частное: 15 : 5 = 3

25 : 5 = 5

Дробь 32= Дробь 33= Дробь 34

Сокращение выполнено: Дробь 35= Дробь 36

Правило сокращения дробей

Чтобы без труда сокращать любую обыкновенную дробь, запомните правило.

Выполняйте сокращение дробей по следующему алгоритму:

 
  1. Найдите НОД числителя и знаменателя дроби.

  2. Разделите числитель и знаменатель дроби на НОД.

В 6 классе каждая вторая задачка — с дробями. Чтобы легко управляться с ними и уметь сокращать любые числа, нужно хорошо потренироваться. Давайте разберем еще несколько примеров сокращения обыкновенных дробей.

Чтобы легко сокращать дроби, нужно уметь быстро находить НОД числителя и знаменателя. Для этого неплохо бы знать таблицу умножения и уметь раскладывать числа на простые множители.

  • Например, дана дробь Дробь 37

Чтобы найти НОД числителя и знаменателя, разложим числа на простые множители.
36 = 2 * 2 * 3 * 3
84 = 2 * 2 * 3 * 7

Перемножаем все общие множители между собой 2 * 2 * 3 = 12.
НОД 36 и 84 = 12.

Пример 5. Сократите дробь Дробь 38

Разложим числа в числителе и знаменателе на множители.
135 = 9 * 3 * 5
180 = 9 * 2 * 2 * 5

Мысленно убираем все общие множители и перемножаем оставшиеся.

Дробь 39= Дробь 40= Дробь 41

Сокращение выполнено: Дробь 42= Дробь 43

Пример 6. Сократите обыкновенную дробь Дробь 44

Найдем НОД числителя и знаменателя. НОД = 9

18 : 9 = 2

81 : 9 = 9

Дробь 45= Дробь 46= Дробь 47

Сокращение выполнено: Дробь 48= Дробь 49

Дробь можно сократить, последовательно сокращая числитель и знаменатель на общий делитель. Такой способ подходит, если в числителе и знаменателе стоят крупные числа, и вы не уверены в подобранном НОД.

Пример 6. Сократите дробь: Дробь 50

Дробь 51= Дробь 52= Дробь 53= Дробь 54

Сокращение выполнено: Дробь 55= Дробь 56

Пример 7. Сократите дробь Дробь 57

Найдем НОД, разложив числитель и знаменатель на простые множители.

168 = 2 * 2 * 2 * 3 * 7

240 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3 * 5

Перемножаем все общие множители между собой 2 * 2 * 2 * 3 = 24

НОД 168 и 240 равен 24

Следующим шагом разделим числитель и знаменатель дроби на их наибольший общий делитель: 168 : 24 = 7

240 : 24 = 10

Дробь 58= Дробь 59= Дробь 60

Сокращение выполнено: Дробь 61= Дробь 62

Пример 8. Сократите дробь Дробь 63

Найдем НОД, разложив числитель и знаменатель на простые множители.

360 = 2 * 2 * 2 * 3 * 3 * 5

540 = 2 * 2 * 3 * 3 * 3 * 5

Перемножаем все общие множители между собой 2 * 2 * 3 * 3 * 5 = 180

НОД 360 и 540 равен 180

Следующим шагом разделим числитель и знаменатель дроби на их наибольший общий делитель: 360 : 180 = 2

540 : 180 = 3

Дробь 64= Дробь 65= Дробь 66

Сокращение выполнено: Дробь 67= Дробь 68

Пример 8. Сократите дробь Дробь 69

Найдем НОД, разложив числитель и знаменатель на простые множители.

420 = 2 * 2 * 3 * 5 * 7

2520 = 2 * 2 * 2 * 3 * 3 * 5 * 7

Перемножаем все общие множители между собой 2 * 2 * 3 * 5 * 7 = 420

НОД 420 и 2520 равен 420

Следующим шагом разделим числитель и знаменатель дроби на их наибольший общий делитель: 420 : 420 = 1

2520 : 420 = 6

Дробь 70= Дробь 71= Дробь 72

Сокращение выполнено. Дробь приведена к несократимому виду: Дробь 73= Дробь 74

Пример 9. Сократите дробь Дробь 75

Найдем НОД, разложив числитель и знаменатель на простые множители.

1575 = 3 * 3 * 5 * 5 * 7

3450 = 2 * 3 * 5 * 5 * 23

Перемножаем все общие множители между собой 3 * 5 * 5 = 75

НОД 1575 и 3450 равен 72

Следующим шагом разделим числитель и знаменатель дроби на их наибольший общий делитель: 1575 : 75 = 21

3450 : 75 = 46

Дробь 76= Дробь 77= Дробь 78

Сокращение выполнено. Дробь приведена к несократимому виду: Дробь 79= Дробь 80

Иногда разложение на простые множители занимает немало времени, особенно если раскладываемые числа большие, как в двух предыдущих примерах. Чтобы быстро разложить любое число на простые множители, можно обратиться к онлайн-калькулятору — в интернете их много. Воспользуйтесь одним из них.

Если времени совсем не хватает — можно использовать онлайн-калькулятор и для нахождения НОД. Однако не стоит постоянно прибегать к калькулятору для решения задач, пока вы не научитесь уверенно и быстро вычислять сами.

 
 
  • 0
  • 0
  • 0
  • 0
  • 0
  • 0