Сокращение обыкновенной дроби a / b — это деление её числителя и знаменателя на их общий натуральный делитель k > 1 (по основному свойству дроби величина дроби при этом не меняется: (a : k) / (b : k) = a / b). Дробь называется несократимой, если её числитель и знаменатель — взаимно простые числа (НОД(a; b) = 1).
- 3 способа сократить любую обыкновенную дробь: 1) последовательное деление на простые делители по признакам делимости (на 2, 3, 5, 9, 10); 2) деление сразу на НОД(a; b) (даёт несократимую дробь за 1 шаг!); 3) разложение на множители и вычёркивание одинаковых множителей.
- Главное правило при умножении дробей: сокращайте числители и знаменатели ДО перемножения чисел под общей чертой:
(15 · 14) / (7 · 25) = (3 · 2) / (1 · 5) = 6/5! - Категорический запрет: сокращать можно ТОЛЬКО при умножении в числителе и знаменателе — при знаках
+или−сокращать отдельные слагаемые НЕЛЬЗЯ!
Правило для бланка ОГЭ и ЕГЭ: в Задании №6 ОГЭ при вычислении больших произведений в числителе и знаменателе (например, (18 · 35) / (49 · 27)) НИКОГДА не перемножайте числа столбиком — сократите крест-накрест 18 и 27 на 9, а 35 и 49 на 7 за 3 секунды!
2. Подстановка в формулу ((a · k) / (b · k) = a / b | НОД(a; b) = 1 ⇒ несократимая!): Сокращаем 24 и 42 на 6 (остаётся 4 и 7); 35 и 25 на 5 (7 и 5)
3. Итоговый ответ: Получаем: (4 · 7) / (5 · 7) = 4 / 5 = 0,8
1. Главные формулы и правила темы «Сокращение обыкновенных дробей»
2. Подробный теоретический разбор, свойства и наглядные схемы
Для кого эта статья:
- Ученики начальной и средней школы
- Учителя математики
- Родители, помогающие детям с учебой
Получи больше пользы от Skysmart:
-
Прокачивай знания на курсах математики
-
Выбирай из 1200+ репетиторов по математике
Записывайся на бесплатные курсы для детей
Что такое «сокращение дробей»
Математика любит точность и краткость: лохматыми громоздкими числами ее расположение не заслужить. Поэтому, следуя негласному правилу, сокращайте все, что можно сократить.
Сократить дробь — значит разделить ее числитель и знаменатель на их общий делитель. Общий делитель должен быть положительным и не равен нулю и единице.
В результате сокращения вы получаете новую дробь, равную исходной дроби. Такие дроби равны по основному свойству:
Основное свойство дробиЕсли числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число — получится дробь, равная данной. |
С основным свойством дроби знакомятся в 5 классе, но встречаться оно будет до самого окончания школы. Поэтому запоминаем, как выглядит основное свойство дроби в виде буквенных выражений:
= 
= 
где a, b, m — натуральные числа.
Графически сокращение дробей обычно записывается вот так:
Числитель и знаменатель зачеркиваются черточками. В этом примере числитель — 8, знаменатель — 36. Справа над ними записывают результаты деления числителя и знаменателя на их общий делитель. Общий делить 8 и 36 — 4. Это число не нужно записывать.
Больше наглядных примеров и понятных объяснений — на курсах обучения математике в онлайн-курсах Skysmart.
Пример 1. Сократим обыкновенную дробь
Разделим числитель и знаменатель на общий делитель 3.
3 : 3 =1
15 : 3 = 5
= 
= 
Сокращение выполнено: =
Пример 2. Сократим обыкновенную дробь 
Разделим числитель и знаменатель на общий делитель 2.
4 : 2 = 2
16 : 2 = 8
= 
= 
Сокращение выполнено: =
Приведение дробей к несократимому виду
Смысл сокращения дробей в том, чтобы в результате сокращения в числителе и знаменателе оказались наименьшие из возможных чисел.
Так, в результате сокращения в примере 2, мы из дроби получили дробь
Выходит, что дробь выдержит еще одно сокращение и придет к виду 
Сокращая дробь, стремитесь в итоге получить несократимую дробь.
Разделите числитель и знаменатель дроби на их НОД (наибольший общий делитель). Так вы приведете дробь к несократимому виду.
-
— несократимая дробь, так как по свойствам НОД мы знаем, что:a : НОД(a, b) и b : НОД(a, b) — взаимно простые числа.
Два целых числа a и b называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен единице, НОД(a, b) = 1.
- Несократимые дроби:
; 
; 
; 
Пример 3. Приведите обыкновенную дробь к несократимому виду 
Найдем НОД числителя и знаменателя. НОД = 12
Найдем частное: 12 : 12 = 1
36 : 12 = 3
= 
= 
Сокращение выполнено: =
Пример 4. Приведите обыкновенную дробь к несократимому виду 
Найдем НОД числителя и знаменателя. НОД = 5
Найдем частное: 15 : 5 = 3
25 : 5 = 5
= 
= 
Сокращение выполнено: =
Правило сокращения дробей
Чтобы без труда сокращать любую обыкновенную дробь, запомните правило.
Выполняйте сокращение дробей по следующему алгоритму:
- Найдите НОД числителя и знаменателя дроби.
- Разделите числитель и знаменатель дроби на НОД.
В 6 классе каждая вторая задачка — с дробями. Чтобы легко управляться с ними и уметь сокращать любые числа, нужно хорошо потренироваться. Давайте разберем еще несколько примеров сокращения обыкновенных дробей.
Чтобы легко сокращать дроби, нужно уметь быстро находить НОД числителя и знаменателя. Для этого неплохо бы знать таблицу умножения и уметь раскладывать числа на простые множители.
- Например, дана дробь
Чтобы найти НОД числителя и знаменателя, разложим числа на простые множители.
36 = 2 * 2 * 3 * 3
84 = 2 * 2 * 3 * 7
Перемножаем все общие множители между собой 2 * 2 * 3 = 12.
НОД 36 и 84 = 12.
Пример 5. Сократите дробь 
Разложим числа в числителе и знаменателе на множители.
135 = 9 * 3 * 5
180 = 9 * 2 * 2 * 5
Мысленно убираем все общие множители и перемножаем оставшиеся.
= 
= 
Сокращение выполнено: =
Пример 6. Сократите обыкновенную дробь 
Найдем НОД числителя и знаменателя. НОД = 9
18 : 9 = 2
81 : 9 = 9
= 
= 
Сокращение выполнено: =
Дробь можно сократить, последовательно сокращая числитель и знаменатель на общий делитель. Такой способ подходит, если в числителе и знаменателе стоят крупные числа, и вы не уверены в подобранном НОД.
Пример 6. Сократите дробь: 
= 
= 
= 
Сокращение выполнено: =
Пример 7. Сократите дробь 
Найдем НОД, разложив числитель и знаменатель на простые множители.
168 = 2 * 2 * 2 * 3 * 7
240 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3 * 5
Перемножаем все общие множители между собой 2 * 2 * 2 * 3 = 24
НОД 168 и 240 равен 24
Следующим шагом разделим числитель и знаменатель дроби на их наибольший общий делитель: 168 : 24 = 7
240 : 24 = 10
= 
= 
Сокращение выполнено: =
Пример 8. Сократите дробь 
Найдем НОД, разложив числитель и знаменатель на простые множители.
360 = 2 * 2 * 2 * 3 * 3 * 5
540 = 2 * 2 * 3 * 3 * 3 * 5
Перемножаем все общие множители между собой 2 * 2 * 3 * 3 * 5 = 180
НОД 360 и 540 равен 180
Следующим шагом разделим числитель и знаменатель дроби на их наибольший общий делитель: 360 : 180 = 2
540 : 180 = 3
= 
= 
Сокращение выполнено: =
Пример 8. Сократите дробь 
Найдем НОД, разложив числитель и знаменатель на простые множители.
420 = 2 * 2 * 3 * 5 * 7
2520 = 2 * 2 * 2 * 3 * 3 * 5 * 7
Перемножаем все общие множители между собой 2 * 2 * 3 * 5 * 7 = 420
НОД 420 и 2520 равен 420
Следующим шагом разделим числитель и знаменатель дроби на их наибольший общий делитель: 420 : 420 = 1
2520 : 420 = 6
= 
= 
Сокращение выполнено. Дробь приведена к несократимому виду: =
Пример 9. Сократите дробь 
Найдем НОД, разложив числитель и знаменатель на простые множители.
1575 = 3 * 3 * 5 * 5 * 7
3450 = 2 * 3 * 5 * 5 * 23
Перемножаем все общие множители между собой 3 * 5 * 5 = 75
НОД 1575 и 3450 равен 72
Следующим шагом разделим числитель и знаменатель дроби на их наибольший общий делитель: 1575 : 75 = 21
3450 : 75 = 46
= 
= 
Сокращение выполнено. Дробь приведена к несократимому виду: =
Иногда разложение на простые множители занимает немало времени, особенно если раскладываемые числа большие, как в двух предыдущих примерах. Чтобы быстро разложить любое число на простые множители, можно обратиться к онлайн-калькулятору — в интернете их много. Воспользуйтесь одним из них.
Если времени совсем не хватает — можно использовать онлайн-калькулятор и для нахождения НОД. Однако не стоит постоянно прибегать к калькулятору для решения задач, пока вы не научитесь уверенно и быстро вычислять сами.
3. Сводная таблица всех формул и свойств для контрольной, ОГЭ и ЕГЭ
| Условие / Правило | Рабочая формула и пример применения |
|---|---|
| 3 способа сократить любую обыкновенную дробь | 1) последовательное деление на простые делители по признакам делимости (на 2, 3, 5, 9, 10); 2) деление сразу на НОД(a; b) (даёт несократимую дробь за 1 шаг!); 3) разложение на множители и вычёркивание одинаковых множителей. |
| Главное правило при умножении дробей | сокращайте числители и знаменатели ДО перемножения чисел под общей чертой: (15 · 14) / (7 · 25) = (3 · 2) / (1 · 5) = 6/5! |
| Категорический запрет | сокращать можно ТОЛЬКО при умножении в числителе и знаменателе — при знаках + или − сокращать отдельные слагаемые НЕЛЬЗЯ! |
4. Практикум: разбор реальных задач с пошаговым решением
1. Для 45 / 75 (делим на НОД = 15): 3 / 5.
2. Для 72 / 96 (делим на НОД = 24): 3 / 4.
3. Для 1400 / 3500 (зачёркиваем два нуля и делим на 7): 14 / 35 = 2 / 5.
1. В числителе выносим общий множитель 17 за скобки: 17 · (14 − 6) = 17 · 8.
2. Записываем дробь в виде произведения: (17 · 8) / (34 · 16).
3. Сокращаем 17 и 34 на 17 (в знаменателе 2), а 8 и 16 на 8 (в знаменателе 2): 1 / (2 · 2) = 1 / 4 = 0,25.
1. Числитель правильной дроби меньше 12 (от 1 до 11) и должен быть взаимно прост с числом 12 (не делиться ни на 2, ни на 3).
2. Выписываем такие числители: 1, 5, 7, 11 ⇒ ровно 4 дроби: 1/12, 5/12, 7/12, 11/12.
5. Контрольный чек-лист: частые ошибки и ловушки на экзамене
- Главное правило проверки ответа: в Задании №6 ОГЭ при вычислении больших произведений в числителе и знаменателе (например, (18 · 35) / (49 · 27)) НИКОГДА не перемножайте числа столбиком — сократите крест-накрест 18 и 27 на 9, а 35 и 49 на 7 за 3 секунды!
- Контроль первой формулы (ОСНОВНОЕ СВОЙСТВО И ДЕЛЕНИЕ НА НОД): Сокращай множители ДО перемножения в столбик! ((a · k) / (b · k) = a / b | НОД(a; b) = 1 ⇒ несократимая!).
- Контроль второй формулы (ЕСЛИ В ЧИСЛИТЕЛЕ СУММА ИЛИ РАЗНОСТЬ): Сокращать отдельные слагаемые в сумме КАТЕГОРИЧЕСКИ НЕЛЬЗЯ! (Сначала вынеси общий множитель за скобки: (ab + ac) / ad = (b + c) / d).
Потренироваться самостоятельно с автопроверкой ответов можно в бесплатном тренажёре ЕГЭ от Skysmart: доступны разделы по базовой математике и профильной математике.
На онлайн-курсах по математике в Skysmart преподаватели разбирают каждый прототип ФИПИ на интерактивной доске и помогают довести решение задач первой и второй части до полного автоматизма.
6. Часто задаваемые вопросы (FAQ)
Какая главная формула в теме «Сокращение обыкновенных дробей»?
Базовое соотношение темы: (a · k) / (b · k) = a / b | НОД(a; b) = 1 ⇒ несократимая!, а также вторая ключевая формула: Сначала вынеси общий множитель за скобки: (ab + ac) / ad = (b + c) / d. Подробный пример расчёта: Сократить дробь с произведением: (24 · 35) / (25 · 42) ➔ Сокращаем 24 и 42 на 6 (остаётся 4 и 7); 35 и 25 на 5 (7 и 5) ➔ Получаем: (4 · 7) / (5 · 7) = 4 / 5 = 0,8.
На какой ловушке чаще всего теряют баллы на контрольной, ОГЭ и ЕГЭ?
Главное правило для бланка ответов: в Задании №6 ОГЭ при вычислении больших произведений в числителе и знаменателе (например, (18 · 35) / (49 · 27)) НИКОГДА не перемножайте числа столбиком — сократите крест-накрест 18 и 27 на 9, а 35 и 49 на 7 за 3 секунды!
Где скачать шпаргалку со всеми формулами для печати?
В первом экране статьи доступна бесплатная PDF-шпаргалка формата А4 со всеми формулами и алгоритмами темы «Сокращение обыкновенных дробей».
