Общий алгоритм решения задач на движение
Формулы
Какая бы задача на движение ни была, в ней всегда идёт речь о взаимосвязи трёх величин: расстояния S, скорости v и времени t.
Ключевая формула: S = vt.
Из неё можно выразить:
Время, скорость, расстояние
На что ещё важно обратить внимание?
-
Среднюю скорость мы рассчитываем по формуле
.Считать через среднее арифметическое будет ошибкой! -
Скорость сближения и отдаления зависит от того, в каких направлениях двигаются объекты:
-
Для решения задачи необходимо привести все единицы измерения в одну размерность: например, мы не можем складывать км/ч и м/с.
6.7K Единицы измерения величин
-
Удобнее всего задачи на движение решать с помощью таблицы и схематичного рисунка.
Алгоритм
-
Анализируем текст задачи: какие данные известны, что нужно найти.
Если необходимо, иллюстрируем задачу с помощью рисунка. -
Заполняем таблицу исходными данными.
-
Решаем, что будем брать за x, выражаем через него величины.
-
Обращаем внимание, все ли исходные данные мы использовали.
Часто неучтённую информацию можно использовать для обоснования уравнения. -
Составляем уравнения или систему уравнений, решаем согласно виду.
-
Проверяем, соответствует ли ответ условию задачи и решает ли он поставленный вопрос. Если нет, вычисляем окончательный ответ.
-
Делаем проверку.
Движение по прямой: особенности решения, пример задачи с решением
Задачи на движение по прямой — самые простые по сравнению с другими видами. Чаще всего в них идёт речь о двух объектах, которые движутся навстречу друг другу или отдаляются друг от друга, скорость объектов постоянная (без ускорения), движение происходит по прямой линии.
Задача 1
Автомобиль и мотоциклист одновременно выехали навстречу друг другу из двух городов, расстояние между которыми 200 км. Скорость автомобиля — 60 км/ч, а мотоциклиста — 40 км/ч. Через сколько времени они встретятся?
Решение:
Составим таблицу по данным задачи.
v, км/ч |
t, ч |
S, км |
||
---|---|---|---|---|
Автомобилист |
60 |
tавт = tм |
? |
Вместе — 200 км |
Мотоциклист |
40 |
? |
При взгляде на таблицу кажется, что неизвестного больше, чем известного. Но даже по ней и схематичному чертежу мы можем сделать следующие выводы:
-
Мы не знаем, сколько километров проедут автомобилист и мотоциклист до точки встречи, но они точно проедут 200 км совместно.
-
Так как персонажи выехали одновременно и встретят друг друга в единый момент времени
.
В этой задаче можно по-разному составить уравнение.
Первый способ |
Второй способ |
---|---|
Пусть x — время, которое затратили автомобилист и мотоциклист, тогда: 60x — расстояние автомобилиста, 40x — расстояние мотоциклиста. Так как совместно они проехали 200 км: 60x + 40x = 200 100x = 200 x = 2 (ч) — время в пути. |
Пусть x — расстояние, пройденное автомобилистом, тогда: Так как время, затраченное персонажами, одинаково: |
Ответ: 2 часа.
Каким бы способом вы ни воспользовались, всё равно придёте к верному ответу!
Получи больше пользы от Skysmart:
-
Подготовься к ОГЭ на пятёрку.
-
Подготовься к ЕГЭ на высокие баллы.
Записывайся на бесплатные курсы для детей.
Решай задания в бесплатном тренажёре ЕГЭ.
Движение по воде: особенности решения, пример задачи с решением
В задачах на движение по воде учитывается влияние на скорость плавательного средства течения реки. Если лодка или корабль плывёт по течению, река помогает двигаться быстрее, если объект плывёт против течения — река замедляет движение.
Vпо течению = Vсобств + Vреки
Vпротив течения = Vсобств − Vреки
Чтобы запомнить, как вычитаются скорости при движении против течения, держите в голове мысль:
Важно: у плота нет собственной скорости, и в стоячей воде (в озере) нет течения.
Задача 2
Привычный маршрут торгового катера — выехать со своей пристани, проплыть 77 км до соседней пристани против течения реки и вернуться обратно. Обратный путь занимает на 4 ч меньше. Чему равна скорость течения, если собственная скорость катера составляет 9 км/ч?
Решение
Составим таблицу по данным задачи.
v, км/ч |
t, ч |
S, км |
||
---|---|---|---|---|
По течению |
? |
? на 4 ч меньше |
77 |
|
Против течения |
? |
? |
77 |
При заполнении таблицы мы не использовали информацию о собственной скорости катера. Куда её записать?
Пусть x — скорость течения реки, тогда 9 + x — скорость катера по течению, 9 − x — скорость катера против течения.
Тогда
v, км/ч |
t, ч |
S, км |
||
---|---|---|---|---|
По течению |
9 + x |
на 4 ч меньше tпротив теч |
77 |
|
Против течения |
|
779-x |
77 |
Приняв во внимание разницу во времени, составим уравнение:
ОДЗ:
Ответ: скорость течения равна 2 км/ч.
Движение по окружности: особенности решения, пример задачи с решением
Что нужно учитывать при решении задач на движение по окружности:
-
Чаще всего в таких задачах один объект будет обгонять другого на какое-то расстояние (чаще всего на круг).
-
Если тела движутся по окружности в разных направлениях, то они стремятся встретиться → цель общая, значит, их общая скорость находится как сумма скоростей каждого из них.
-
Если движение идет в одном направлении, объекты преследуют разные цели: один объект хочет догнать, а второй убежать → общая скорость будет равна разности скоростей (из большей отнимаем меньшую), при этом:
-
если скорость догоняющего больше скорости догоняемого, объекты сближаются;
-
если скорость догоняющего меньше скорости догоняемого, объекты отдаляются друг от друга.
-
-
При прохождении длины окружности объект возвращается в точку старта.
-
Длина окружности рассчитывается по формуле C = 2πR, где R — радиус окружности.
Задача 3
На круговой трассе длиной 16 км из одной точки одновременно стартовали два автомобиля, двигаясь в одном направлении. Первый автомобиль двигался со скоростью 120 км/ч. Через 15 минут он опередил второй автомобиль на один круг. Определите скорость второго автомобиля. Ответ укажите в км/ч.
Решение:
Проанализируем задачу:
-
За 15 минут первый автомобиль обогнал второй автомобиль на круг, то есть на 16 км.
-
Тогда за 1 час первый проедет на 4 ⋅ 16 = 64 км больше второго.
-
Это означает, что скорость второго автомобиля на 64 км/ч меньше скорости первого, т. е. 120 − 64 = 56 км/ч.
Ответ: 56 км/ч.
Задача 4
Артём и Никита договорились бегать по утрам вокруг парка. Начали движение они со входа в парк. Через 1 час, когда Артёму оставалось 2 км до завершения первого круга, он понял, что Никита пробежал первый круг 4 минуты назад.
Найдите скорость с которой бежал Никита, если известно, что она на 3 км/ч больше скорости Артёма. Ответ дайте в км/ч.
Решение:
Составим таблицу:
-
Из текста задачи следует, что Никита пробежал целый круг, а Артём — только его часть.
-
Никита пробегает круг за 1 час − 4 минуты = 56 минуты.
56 минут =
часа
Пусть x — скорость Никиты, тогда расстояние, которое он пробежал (полный круг)
Тогда скорость Артёма (на 3 км/ч меньше, чем у Никиты) — (x − 3), и его расстояние — (x - 3) 1 = x − 3.
v, км/ч |
t, ч |
S |
||
---|---|---|---|---|
Артём |
x − 3 |
1 |
x − 3 |
|
Никита |
x |
|
|
Какую информация мы не использовали? То, что разница между расстояниями ребят равна 2 км. Возьмём этот факт для обоснования уравнения.
x = 15 км/ч — скорость Никиты.
Ответ: 15 км/ч.
Задачи на движение по прямой, по воде и по окружности — все они есть в нашем бесплатном тренажёре для подготовки к контрольным и экзаменам. Переходите по ссылкам и прокачивайте свои математические навыки легко и с удовольствием!