Факториал

Алгебра в 9 классе полна сложных и загадочных слов. Например, факториал. Давайте разберемся, что это такое и как, что и зачем с ним собственно делать.
  • Автор

    Анастасия Белова

  • Дата публикации

    09.12.2020

  • Просмотры

    15388

Факториал: определение

Факториал числа n — это произведение натуральных чисел от 1 до n. Обозначается n, произносится «эн-факториал».

Факториал определен для целых неотрицательных чисел. Это значит, что вот так нельзя:

  • -3,75! 2,23! -2!

Число должно быть целое и положительное:

  • 3! 56! 12!
Формула факториала
n!=1⋅2⋅3⋅...⋅(n−2)⋅(n−1)⋅n

Вычисляется факториал по формуле: путем умножения всех чисел от одного до значения самого числа под факториалом. Факторизация — это разложение функции на множители.

Например:

  • 3! = 1*2*3 = 6
  • 4! = 1*2*3*4 = 24
  • 5! = 1*2*3*4*5 = 120
  • 6! = 1*2*3*4*5*6 = 720

Мы видим, что 4! — это 3!*4
5! — это 4!*5
6! — это 5!*6

Приходите тренироваться в интерактивном формате в онлайн-школу Skysmart. Ребенка ждут увлекательные задачки с красочными сюжетами, внимательные учителя и комфортная обстановка на уроках.



Формулы и свойства факториала

Чтобы узнать, как вычислять факториалы быстро — воспользуемся табличкой. Сохраняйте себе и решайте раньше остальных.

Запоминаем
0! = 1
1! = 1
2! = 2
3! = 6
4! = 24
5! = 120
6! = 720
7! = 5040
8! = 40320
9! = 362880
10! = 3628800
11! = 39916800
12! = 479001600
13! = 6227020800
14! = 87178291200
15! = 1307674368000
16! = 20922789888000
17! = 355687428096000
18! = 6402373705728000
19! = 121645100408832000
20! = 2432902008176640000
21! = 51090942171709440000
22! = 1124000727777607680000
23! = 25852016738884976640000
24! = 620448401733239439360000
25! = 15511210043330985984000000

Факториалов в математике 9 класса — полно. Чтобы всегда быть готовым решить пример, запомните основные формулы:

  • (n - 1)! = 1*2*3*4*5*...*(n - 2)(n - 1)
  • n! = 1*2*3*4*5*...*(n - 2)(n - 1)n
  • (n + 1)! = 1*2*3*4*5*...*(n - 2)(n - 1)n(n + 1)

С помощью формулы Стирлинга можно вычислить факториал многоразрядных чисел.

Такая формула дает результат с небольшой погрешностью.

формула Стирлинга

Пример:

  • Пример использования формулы Стирлинга

Рекуррентная формула

Рекуррентная формула

Примеры:

  • 5! = 5*(5 - 1)! = 5*4! = 5*24 = 120
  • 6! = 6*(6-1)! = 6*5! = 6*120 = 720

Для решения примеров обращайтесь к таблице.

Примеры умножения факториалов:

 
  1. Пользуйтесь готовой таблицей 5! * 7! = 120 * 5040 = 604800

  2. Или раскладывайте факториалы отдельно, если хотите потренироваться:
    5! = 1*2*3*4*5 = 4! * 5 =120
    7! = 1*2*3*4*5*6*7 = 6! * 7 = 5040
    120 * 5040 = 604800

Примеры решений

Давайте поупражняемся и решим пару примеров.

1. Сократите дробь:


Дробь с факториалами

Как решаем:


Решение дроби с факториалами

При сокращении факториалов, пользуйтесь свойством:
n! = (n - 1)! * n
100! = 99! * 100

Далее сокращаем по принципу сокращения обыкновенных дробей.

2. Вычислите значение выражения: 8! + 5!

Как решаем:

Можно для решения факториалов воспользоваться таблицей и вычислить быстрее.

А можно потренироваться и разложить их:

8! = 1*2*3*4*5*6*7*8 = 7!*8 = 5040 * 8 = 40320
5! = 1*2*3*4*5 = 4!*5 = 120
40320 + 120 = 40440
8! + 5! = 40440

3. Вычислите значение выражения:


Выражение с факториалами

Как решаем:


Как решить выражение с факториалами

7! = 1*2*3*4*5*6*7 = 5! * 6 *7

Далее сокращаем все, что можем сократить (3*2=6, сокращаем числа 6) и получаем ответ.

4. Вычислите значение выражение:


Сложное выражение с факториалами

Как решаем:


Решение сложного выражения с факториалами

Вы уже знаете, как найти факториал — раскладываем 70 и 49:
70! = 1*2*3*.....*69 = 69! * 70
49! = 1*2*3*....49! * 48

Далее сокращаем все одинаковые множители.

5. Сократите дробь:


Сократить дробь с факториалом

Как решаем:


Сокращение дроби с факториалом

Проводим разложение на множители при помощи формул сокращенного умножения (x+1)x(x-1) и сокращаем все одинаковые множители (x-1)!.

Если вы все еще считаете, что факториал бесполезен и не может помочь вам в жизни, то это не так. Он помогает легко вычислять вероятности (а это бывает нужно чаще, чем кажется). К тому же, комбинаторика необходима тем, кто собирается работать в IT. Поэтому решайте побольше задачек на факториалы, в мире будущего без них — никуда.

Если ваш ребенок будущий IT-специалист, но все еще ломает голову над факториалами, записывайтесь на бесплатный вводный урок математики в онлайн-школу Skysmart. Наши преподаватели объяснят факториалы и комбинаторику, научат щелкать по формулам любые задачки и превратят серьезную, скучную алгебру в веселое приключение.

 
Бесплатный вводный урок
Шаг 1 из 2. Данные ученика
Класс
Цель обучения
  • 0
  • 0
  • 0
  • 0
  • 0
  • 0