Теорема Виета для квадратного уравнения

Много ученых в прошлых веках и столетиях открыли то, что остается актуальным до сих пор. Один из них — французский математик Франсуа Виет. В этой статье расскажем о его теореме и зачем она нужна.
  • Автор

    Лидия Казанцева

  • Дата публикации

    22.07.2020

  • Просмотры

    33328

Основные понятия

Квадратное уравнение — это ax2 + bx + c = 0, где a — первый коэффициент, не равный нулю, b — второй коэффициент, c — свободный член.

Существует три вида квадратных уравнений:

  • не имеют корней;
  • имеют один корень;
  • имеют два различных корня.

Чтобы определить, сколько корней имеет уравнение, нужно обратить внимание на дискриминант. Формула для его поиска записывается так: D = b2 − 4ac. Его свойства:

  • если D < 0, корней нет;
  • если D = 0, есть один корень;
  • если D > 0, есть два различных корня.

В математике теоремой принято называть утверждение, у которого ранее было сформулировано доказательство.

Формула Виета

Если в школьной геометрии чаще всего используется теорема Пифагора, то в школьной алгебре ведущую роль занимают формулы Виета. Теорема звучит так: 

Теорема Виета

Сумма корней x2 + bx + c = 0 равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равняется свободному члену.

Если дано x2 + bx + c = 0, где x₁ и x₂ являются корнями, то справедливы два равенства:
Теорема Виета рисунок 23

Знак системы, который принято обозначать фигурной скобкой, означает, что значения x₁ и x₂ удовлетворяют обоим равенствам.

Рассмотрим теорему Виета на примере: x2 + 4x + 3 = 0.

Пока неизвестно, какие корни имеет данное уравнение. Но в соответствии с теоремой можно записать, что сумма этих корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком. Он равен четырем, значит будем использовать минус четыре:
Теорема Виета рисунок 55

Произведение корней по теореме соответствует свободному члену. В данном случае свободным членом является число три. Значит:
Теорема Виета рисунок 54

Необходимо проверить равна ли сумма корней −4, а произведение 3. Для этого найдем корни уравнения x2 + 4x + 3 = 0. Воспользуемся формулами для чётного второго коэффициента:
Теорема Виета рисунок 58

Получилось, что корнями уравнения являются числа −1 и −3. Их сумма равняется второму коэффициенту с противоположным знаком, а значит решение верное.
Теорема Виета рисунок 59

Произведение корней −1 и −3 по теореме Виета должно равняться свободному члену, то есть числу 3. Это условие также выполняется:
Теорема Виета рисунок 60

Результат проделанных вычислений в том, что мы убедились в справедливости выражения:
Теорема Виета рисунок 54

Доказательство теоремы Виета

Дано квадратное уравнение x2 + bx + c = 0. Если его дискриминант больше нуля, то оно имеет два корня, сумма которых равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:
Теорема Виета рисунок 23

Докажем, что следующие равенства верны

  • x₁ + x₂ = −b,
  • x₁ * x₂ = c.

Формулы корней
квадратное уравнение рисунок 90

Чтобы найти сумму корней x₁ и x₂ подставим вместо них то, что соответствует им из правой части формул корней. Напомним, что в данном квадратном уравнении x2 + bx + c = 0 старший коэффициент равен единице. Значит после подстановки знаменатель будет равен 2.
Теорема Виета рисунок 3

  1. Объединим числитель и знаменатель в правой части.

     

    Теорема Виета рисунок 5

  2. Раскроем скобки и приведем подобные члены:

     

    Теорема Виета рисунок 6

  3. Сократим дробь полученную дробь на 2, остается −b:

     

    Теорема Виета рисунок 8

Мы доказали: x₁ + x₂ = −b.

Далее произведем аналогичные действия, чтобы доказать о равенстве x₁ * x₂ свободному члену c.

  1. Подставим вместо x₁ и x₂ соответствующие части из формул корней квадратного уравнения:

     

    Теорема Виета рисунок 10

  2. Перемножаем числители и знаменатели между собой:

     

    Теорема Виета рисунок 13

  3. Очевидно, в числителе содержится произведение суммы и разности двух выражений. Поэтому воспользуемся тождеством (a + b) * (a − b) = a2 − b2. Получаем:

     

    Теорема Виета рисунок 16

  4. Далее произведем трансформации в числителе:

     

    Теорема Виета рисунок 15

  5. Нам известно, что D = b2 − 4ac. Подставим это выражение вместо D.

     

    Теорема Виета рисунок 18

  6. Далее раскроем скобки и приведем подобные члены:

     

    Теорема Виета рисунок 20

  7. Сократим:

     

    Теорема Виета рисунок 21

Мы доказали: x₁ * x₂ = c.

Значит сумма корней приведённого квадратного уравнения x2 + bx + c = 0 равна второму коэффициенту с противоположным знаком (x₁ + x₂ = −b), а произведение корней равно свободному члену (x₁ * x₂= c). Теорема доказана.

Обратная теорема Виета

Когда дана сумма и произведение корней квадратного уравнения, принято начинать подбор подходящих корней. Теорема, обратная теореме Виета, при таких условиях может быть главным помощником. Она формулируется так:

Обратная теорема Виета

 

Если числа x₁ и x₂ таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знаком, а их произведение равно свободному члену, то эти числа являются корнями x2 + bx + c = 0.

Обратные теоремы зачастую сформулированы так, что их утверждением является заключение первой теоремы. Так, при доказательстве теоремы Виета стало понятно, что сумма x₁ и x₂ равна −b, а их произведение равно c. В обратной теореме это является утверждением.

Докажем теорему, обратную теореме Виета

Корни x₁ и x₂ обозначим как m и n. Тогда утверждение будет звучать следующим образом: если сумма чисел m и n равна второму коэффициенту x2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знаком, а произведение равно свободному члену, то числа m и n являются корнями x2 + bx + c = 0.

Зафиксируем, что сумма m и n равна −b, а произведение равно c.
Теорема Виета рисунок 46

Чтобы доказать, что числа m и n являются корнями уравнения, нужно поочередно подставить буквы m и n вместо x, затем выполнить возможные тождественные преобразования. Если в результате преобразований левая часть станет равна нулю, то это будет означать, что числа m и n являются корнями x2 + bx + c = 0.

  1. Выразим b из равенства m + n = −b. Это можно сделать, умножив обе части на −1:

    Теорема Виета рисунок 49

  2. Подставим m в уравнение вместо x, а выражение −m − n подставим вместо b:

    Теорема Виета рисунок 47

При x = m получается верное равенство. Значит число m является искомым корнем.

  1. Аналогично докажем, что число n является корнем уравнения. Подставим вместо x букву n, а вместо c подставим m * n, поскольку c = m * n.
    Теорема Виета рисунок 48
  2. При x = n получается верное равенство. Значит число n является искомым корнем.

Мы доказали: числа m и n являются корнями уравнения x2 + bx + c = 0.

Примеры

Для закрепления знаний рассмотрим примеры решения уравнений по теореме, обратной теореме Виета.

Дано: x2 − 6x + 8 = 0.

Для начала запишем сумму и произведение корней уравнения. Сумма будет равна 6, так как второй коэффициент равен −6. А произведение корней равно 8.
Теорема Виета рисунок 26

Имея эти два равенства можно подобрать подходящие корни, которые будут удовлетворять как равенству обоим равенствам системы.

Подбор корней удобнее выполнять с помощью их произведения. Число 8 можно получить путем перемножения чисел 4 и 2 либо 1 и 8. Но значения x₁ и x₂ надо подбирать так, чтобы они удовлетворяли и второму равенству тоже.

Можно сделать вывод, что значения 1 и 8 не подходят, так как они не удовлетворяют равенству x₁ + x₂ = 6. Значения 4 и 2 подходят обоим равенствам:
Теорема Виета рисунок 28

Значит числа 4 и 2 являются корнями уравнения x2 − 6x + 8 = 0.
Теорема Виета рисунок 30

Неприведенное квадратное уравнение 

Теорема Виета выполняется только тогда, когда квадратное уравнение является приведённым, то есть его первый коэффициент равен единице:

ax2 + bx + c = 0, где а = 1.

Если квадратное уравнение не является приведенным, но задание связано с применением теоремы, нужно обе части разделить на коэффициент, который располагается перед x2.
Теорема Виета рисунок 67

  1. Получилось следующее приведенное уравнение:

приведенное квадратное уравнение

  1. Получается коэффициент равен b na a, свободный член — c na a. Значит сумма и произведение корней будут иметь вид:

    Теорема Виета рисунок 66

  2. Рассмотрим пример неприведенного уравнения: 4x2 + 5x + 1 = 0. Разделим обе его части на коэффициент перед x2, то есть на 4.

    теорема виета рисунок 68

  3. Получилось приведённое квадратное уравнение. Второй коэффициент которого равен 5 на 4, а свободный член одна четвертая.
  4. Тогда в соответствии с теоремой Виета получаем:

    Теорема Виета рисунок 66

  5. Метод подбора помогает найти корни: −1 и 

Теорема Виета рисунок 67
 

Записывайте вашего ребенка на бесплатное вводное занятие по математике в Skysmart: порешаем задачки и головоломки на интерактивной платформе и покажем, что математика может быть увлекательным путешествием!

 

 
Бесплатный вводный урок
Шаг 1 из 2. Данные ученика
Класс
Цель обучения
Поделиться: