Теорема Виета связывает корни квадратного уравнения x₁ и x₂ с его коэффициентами (при условии, что дискриминант D ≥ 0): для приведённого квадратного уравнения x² + px + q = 0 (при a = 1) сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком (x₁ + x₂ = −p), а произведение корней равно свободному члену с его собственным знаком (x₁ · x₂ = q)!
- Теорема Виета для приведённого уравнения x² + px + q = 0 (при a = 1):
x₁ + x₂ = −p(знак меняется!) иx₁ · x₂ = q(знак сохраняется!). - Обобщённая теорема Виета для любого полного уравнения ax² + bx + c = 0:
x₁ + x₂ = −b / aиx₁ · x₂ = c / a. - Полезные комбинации корней без вычисления самих x₁ и x₂ (ОГЭ №20 / ЕГЭ №18): сумма квадратов корней: x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂; сумма обратных величин: 1/x₁ + 1/x₂ = (x₁ + x₂) / (x₁ · x₂)!
Правило для бланка ОГЭ и ЕГЭ: главный секрет подбора корней по теореме Виета за 3 секунды: всегда начинайте подбор С ПРОИЗВЕДЕНИЯ q (разложите q на пары целых множителей), а затем выберите ту пару, которая даёт нужную сумму (−p)!
2. Подстановка в формулу (x₁ + x₂ = −p (знак меняется!) | x₁ · x₂ = q (знак тот же!)): 1) Произведение x₁ · x₂ = 24, а сумма x₁ + x₂ = +11 (с обратным знаком!)
3. Итоговый ответ: 2) Пары для 24: (1·24, 2·12, 3·8, 4·6). Сумма 3 + 8 = 11 ⇒ корни 3 и 8!
1. Главные формулы и правила темы «Теорема Виета для квадратного уравнения»
2. Подробный теоретический разбор, свойства и наглядные схемы
Теорема Виета - это утверждения о соотношении между коэффициентами квадратного уравнения
- Сумма корней:
- Произведение корней:
Примеры:
- Для уравнения
- Для уравнения
Для кого эта статья:
- Студенты и школьники, изучающие алгебру и квадратные уравнения
- Учителя математики, заинтересованные в объяснении теоремы Виета
- Люди, желающие улучшить свои знания в математике
Получи больше пользы от Skysmart:
-
Прокачивай знания на курсах математики
-
Выбирай из 1200+ репетиторов по математике
Записывайся на бесплатные курсы для детей
Основные понятия
Квадратное уравнение — это ax2 + bx + c = 0, где a — первый коэффициент, не равный нулю, b — второй коэффициент, c — свободный член.
Существует три вида квадратных уравнений:
- не имеют корней;
- имеют один корень;
- имеют два различных корня.
Чтобы определить, сколько корней имеет уравнение, нужно обратить внимание на дискриминант. Формула для его поиска записывается так: D = b2 − 4ac. Его свойства:
- если D < 0, корней нет;
- если D = 0, есть один корень;
- если D > 0, есть два различных корня.
В случае, когда второй коэффициент четный, можно воспользоваться формулой нахождения дискриминанта
В математике теоремой принято называть утверждение, у которого ранее было сформулировано доказательство.
Формула Виета
Если в школьной геометрии чаще всего используется теорема Пифагора, то в школьной алгебре ведущую роль занимают формулы Виета. Теорема звучит так:
|
Теорема Виета Рассмотрим квадратное уравнение, в котором первый коэффициент равен 1: |
Если дано x2 + bx + c = 0, где x₁ и x₂ являются корнями, то справедливы два равенства:
Знак системы, который принято обозначать фигурной скобкой, означает, что значения x₁ и x₂ удовлетворяют обоим равенствам.
Рассмотрим теорему Виета на примере: x2 + 4x + 3 = 0.
Пока неизвестно, какие корни имеет данное уравнение. Но в соответствии с теоремой можно записать, что сумма этих корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком. Он равен четырем, значит будем использовать минус четыре:
Произведение корней по теореме соответствует свободному члену. В данном случае свободным членом является число три. Значит:
Необходимо проверить равна ли сумма корней −4, а произведение 3. Для этого найдем корни уравнения x2 + 4x + 3 = 0. Воспользуемся формулами для чётного второго коэффициента:
Получилось, что корнями уравнения являются числа −1 и −3. Их сумма равняется второму коэффициенту с противоположным знаком, а значит решение верное.
Произведение корней −1 и −3 по теореме Виета должно равняться свободному члену, то есть числу 3. Это условие также выполняется:
Результат проделанных вычислений в том, что мы убедились в справедливости выражения:
Обучение на курсах по математике помогает быстрее разобраться в новых темах и подтянуть оценки в школе.
Доказательство теоремы Виета
Дано квадратное уравнение x2 + bx + c = 0. Если его дискриминант больше нуля, то оно имеет два корня, сумма которых равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:
Докажем, что следующие равенства верны
- x₁ + x₂ = −b,
- x₁ * x₂ = c.
|
Формулы корней |
Чтобы найти сумму корней x₁ и x₂ подставим вместо них то, что соответствует им из правой части формул корней. Напомним, что в данном квадратном уравнении x2 + bx + c = 0 старший коэффициент равен единице. Значит после подстановки знаменатель будет равен 2.
- Объединим числитель и знаменатель в правой части.
- Раскроем скобки и приведем подобные члены:
- Сократим дробь полученную дробь на 2, остается −b:
Мы доказали: x₁ + x₂ = −b.
Далее произведем аналогичные действия, чтобы доказать о равенстве x₁ * x₂ свободному члену c.
- Подставим вместо x₁ и x₂ соответствующие части из формул корней квадратного уравнения:
- Перемножаем числители и знаменатели между собой:
- Очевидно, в числителе содержится произведение суммы и разности двух выражений. Поэтому воспользуемся тождеством (a + b) * (a − b) = a2 − b2. Получаем:
- Далее произведем трансформации в числителе:
- Нам известно, что D = b2 − 4ac. Подставим это выражение вместо D.
- Далее раскроем скобки и приведем подобные члены:
- Сократим:
Мы доказали: x₁ * x₂ = c.
Значит сумма корней приведённого квадратного уравнения x2 + bx + c = 0 равна второму коэффициенту с противоположным знаком (x₁ + x₂ = −b), а произведение корней равно свободному члену (x₁ * x₂= c). Теорема доказана.
Обратная теорема Виета
Обратная теорема Виета - это утверждение, согласно которому, если два числа таковы, что их сумма равна второму коэффициенту сводного квадратного уравнения, взятому с противоположным знаком, а их произведение равно его свободному члену, то данные числа являются корнями данного квадратного уравнения.
Пример:
- Для уравнения
Когда дана сумма и произведение корней квадратного уравнения, принято начинать подбор подходящих корней. Теорема, обратная теореме Виета, при таких условиях может быть главным помощником. Она формулируется так:
|
Обратная теорема Виета Если числа x₁ и x₂ таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знаком, а их произведение равно свободному члену, то эти числа являются корнями x2 + bx + c = 0. |
Обратные теоремы зачастую сформулированы так, что их утверждением является заключение первой теоремы. Так, при доказательстве теоремы Виета стало понятно, что сумма x₁ и x₂ равна −b, а их произведение равно c. В обратной теореме это является утверждением.
Докажем теорему, обратную теореме Виета
Корни x₁ и x₂ обозначим как m и n. Тогда утверждение будет звучать следующим образом: если сумма чисел m и n равна второму коэффициенту x2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знаком, а произведение равно свободному члену, то числа m и n являются корнями x2 + bx + c = 0.
Зафиксируем, что сумма m и n равна −b, а произведение равно c.
Чтобы доказать, что числа m и n являются корнями уравнения, нужно поочередно подставить буквы m и n вместо x, затем выполнить возможные тождественные преобразования. Если в результате преобразований левая часть станет равна нулю, то это будет означать, что числа m и n являются корнями x2 + bx + c = 0.
- Выразим b из равенства m + n = −b. Это можно сделать, умножив обе части на −1:
- Подставим m в уравнение вместо x, выражение −m − n подставим вместо b, а выражение mn — вместо c:
При x = m получается верное равенство. Значит число m является искомым корнем.
- Аналогично докажем, что число n является корнем уравнения. Подставим вместо x букву n, а вместо c подставим m * n, поскольку c = m * n.
При x = n получается верное равенство. Значит число n является искомым корнем.
Мы доказали: числа m и n являются корнями уравнения x2 + bx + c = 0.
Примеры
Для закрепления знаний рассмотрим примеры решения уравнений по теореме, обратной теореме Виета.
Дано: x2 − 6x + 8 = 0.
Для начала запишем сумму и произведение корней уравнения. Сумма будет равна 6, так как второй коэффициент равен −6. А произведение корней равно 8.
Имея эти два равенства можно подобрать подходящие корни, которые будут удовлетворять как равенству обоим равенствам системы.
Подбор корней удобнее выполнять с помощью их произведения. Число 8 можно получить путем перемножения чисел 4 и 2 либо 1 и 8. Но значения x₁ и x₂ надо подбирать так, чтобы они удовлетворяли и второму равенству тоже.
Можно сделать вывод, что значения 1 и 8 не подходят, так как они не удовлетворяют равенству x₁ + x₂ = 6. Значения 4 и 2 подходят обоим равенствам:
Значит числа 4 и 2 являются корнями уравнения x2 − 6x + 8 = 0.
Неприведенное квадратное уравнение
Теорема Виета выполняется только тогда, когда квадратное уравнение является приведённым, то есть его первый коэффициент равен единице:
ax2 + bx + c = 0, где а = 1.
Если квадратное уравнение не является приведенным, но задание связано с применением теоремы, нужно обе части разделить на коэффициент, который располагается перед x2.
- Получилось следующее приведенное уравнение:
- Получается, второй коэффициент при x равен , свободный член — . Значит сумма и произведение корней будут иметь вид:
- Рассмотрим пример неприведенного уравнения: 4x2 + 5x + 1 = 0. Разделим обе его части на коэффициент перед x2, то есть на 4.
- Получилось приведённое квадратное уравнение. Второй коэффициент которого равен , а свободный член .
- Тогда в соответствии с теоремой Виета получаем:
- Метод подбора помогает найти корни: −1 и
3. Сводная таблица всех формул и свойств для контрольной, ОГЭ и ЕГЭ
| Условие / Правило | Рабочая формула и пример применения |
|---|---|
| Теорема Виета для приведённого уравнения x² + px + q = 0 (при a = 1) | x₁ + x₂ = −p (знак меняется!) и x₁ · x₂ = q (знак сохраняется!). |
| Обобщённая теорема Виета для любого полного уравнения ax² + bx + c = 0 | x₁ + x₂ = −b / a и x₁ · x₂ = c / a. |
| Полезные комбинации корней без вычисления самих x₁ и x₂ (ОГЭ №20 / ЕГЭ №18) | сумма квадратов корней: x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂; сумма обратных величин: 1/x₁ + 1/x₂ = (x₁ + x₂) / (x₁ · x₂)! |
4. Практикум: разбор реальных задач с пошаговым решением
1. Записываем систему Виета: x₁ + x₂ = 3 и x₁ · x₂ = −28.
2. Так как произведение отрицательно (−28), корни имеют разные знаки, а так как сумма положительна (+3), больший по модулю корень положителен.
3. Разложение 28 = 7 · 4 даёт: x₁ = 7 и x₂ = −4 (7 + (−4) = 3).
1. Находим сумму корней: −2 + 6 = 4 ⇒ коэффициент p = −4.
2. Находим произведение корней: (−2) · 6 = −12 ⇒ свободный член q = −12.
3. Записываем уравнение: x² − 4x − 12 = 0.
1. По теореме Виета: x₁ + x₂ = 5 и x₁ · x₂ = 3.
2. Выразим сумму квадратов через полный квадрат суммы: x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂.
3. Подставляем: 5² − 2 · 3 = 25 − 6 = 19.
5. Контрольный чек-лист: частые ошибки и ловушки на экзамене
- Главное правило проверки ответа: главный секрет подбора корней по теореме Виета за 3 секунды: всегда начинайте подбор С ПРОИЗВЕДЕНИЯ q (разложите q на пары целых множителей), а затем выберите ту пару, которая даёт нужную сумму (−p)!
- Контроль первой формулы (ПРИВЕДЁННОЕ (X² + PX + Q = 0) И ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ): Для ax² + bx + c = 0: x₁ + x₂ = −b / a, x₁ · x₂ = c / a (x₁ + x₂ = −p (знак меняется!) | x₁ · x₂ = q (знак тот же!)).
- Контроль второй формулы (ПОЛЕЗНЫЕ ФОРМУЛЫ СИММЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ): Всегда проверяй условие существования корней: D = b² − 4ac ≥ 0! (x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂ | 1/x₁ + 1/x₂ = (x₁ + x₂) / (x₁x₂)).
Потренироваться самостоятельно с автопроверкой ответов можно в бесплатном тренажёре ЕГЭ от Skysmart: доступны разделы по базовой математике и профильной математике.
На онлайн-курсах по математике в Skysmart преподаватели разбирают каждый прототип ФИПИ на интерактивной доске и помогают довести решение задач первой и второй части до полного автоматизма.
6. Часто задаваемые вопросы (FAQ)
Какая главная формула в теме «Теорема Виета для квадратного уравнения»?
Базовое соотношение темы: x₁ + x₂ = −p (знак меняется!) | x₁ · x₂ = q (знак тот же!), а также вторая ключевая формула: x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂ | 1/x₁ + 1/x₂ = (x₁ + x₂) / (x₁x₂). Подробный пример расчёта: Решить устно по теореме Виета: x² − 11x + 24 = 0 ➔ 1) Произведение x₁ · x₂ = 24, а сумма x₁ + x₂ = +11 (с обратным знаком!) ➔ 2) Пары для 24: (1·24, 2·12, 3·8, 4·6). Сумма 3 + 8 = 11 ⇒ корни 3 и 8!.
На какой ловушке чаще всего теряют баллы на контрольной, ОГЭ и ЕГЭ?
Главное правило для бланка ответов: главный секрет подбора корней по теореме Виета за 3 секунды: всегда начинайте подбор С ПРОИЗВЕДЕНИЯ q (разложите q на пары целых множителей), а затем выберите ту пару, которая даёт нужную сумму (−p)!
Где скачать шпаргалку со всеми формулами для печати?
В первом экране статьи доступна бесплатная PDF-шпаргалка формата А4 со всеми формулами и алгоритмами темы «Теорема Виета для квадратного уравнения».
