Уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке с абсциссой x₀ имеет вид y = f(x₀) + f'(x₀)(x − x₀). Прямая касается кривой ровно в одной точке и локально наилучшим образом приближает поведение функции.
Геометрический смысл производной заключается в том, что значение f'(x₀) строго равно угловому коэффициенту наклона касательной прямой: k = tg α = f'(x₀). Если касательная горизонтальна, производная равна нулю.
Значения производных элементарных функций предоставляет таблица производных функций, свойства касания к окружностям разбирает касательная к окружности, а критические точки касательной определяют наибольшее и наименьшее значение функции.
2. f'(x) = 2ax + b = 2x. f'(2) = 4 (угловой коэффициент k = 4).
3. y = 4 + 4(x − 2) = 4 + 4x − 8 = 4x − 4.
Метрика экзаменационных требований: структура заданий ФИПИ
| Параметр оценивания | Период (2024–2025) | Регламент (2027) |
|---|---|---|
| Геометрический смысл f'(x₀) | k = tg α = f'(x₀) | Угол отсчитывается против часовой стрелки от положительного луча Ox |
| Условие параллельности касательной | f'(x₀) = k прямой | Абсциссы x₀ находятся решением уравнения f'(x) = k |
Как составить уравнение касательной к графику функции
Но как поступать, если нужно составить уравнение касательной к графику функции?
Уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке
Для упрощения понимания этой формулы запишем алгоритм составления уравнения касательной к кривой y = f(x) в точке
-
Вычислим значение функции в точке касания, для этого подставим
-
Продифференцируем функцию y = f(x).
-
Вычислим значение функции в точке касания, для этого подставим
-
Составим уравнение касательной
Получи больше пользы от Skysmart:
-
Подготовься к ОГЭ на пятёрку
-
Подготовься к ЕГЭ на высокие баллы
Записывайся на бесплатные курсы для детей
Решай задания в бесплатном тренажёре ЕГЭ
В чем заключается геометрический смысл производной
Одну из главных ролей в записи касательной к графику играет производная, поэтому определим ее геометрический смысл.
Пусть задана произвольная функция y = f(x).
На графике этой функции возьмем точку А с координатами
Проведем через точки A и B прямую.
Угол наклона прямой к оси абсцисс обозначим буквой
Проведем через точку А прямую, параллельную оси абсцисс, а через точку B — прямую, параллельную оси ординат. Пусть эти две прямые пересекутся в точке C.
Тогда катет
Если взять отношения этих значений
Если уменьшать расстояние между точками A и B, то будут уменьшаться длины отрезков
Тут может возникнуть вопрос: при чем здесь геометрический смысл производной, если мы начали с касательной?
Касательная — это прямая. Вспомним уравнение прямой: y = kx + b, где k — это коэффициент наклона прямой, и он равен тангенсу угла между прямой и осью абсцисс. А теперь совмещаем все данные и делаем вывод, что
Это очень важный для нас вывод, попробуем применить его на практике, а именно на задачах формата профильного ЕГЭ по математике.
Решение задач
Задача 1
К графику функции y = f(x) проведена касательная в точке с абсциссой
Из теории выше мы узнали, как найти угловой коэффициент касательной — он равен тангенсу угла наклона касательной к графику функции в точке. Значит, через целочисленные точки на прямой построим прямоугольный треугольник и найдем отношение противолежащего катета к прилежащему — получится
Ответ: 3.
Задача 2
К графику функции y = f(x) проведена касательная в точке с абсциссой
Действуйте по уже известным правилам. Получился ответ 0,25? А вот и нет! В данном случае нужно обратить внимание на убывание графика касательной. Видите, она слева направо идет вниз? Значит, к ответу нужно добавить минус и записать его — получится −0,25.
Ответ: −0,25.
Задача 3
На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−8; 3). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 36.
Надеюсь, вы не подумали, что мы будем изображать прямую y = 36 и искать касательные, параллельные ей. 🤯 Достаточно будет рассуждений. Прямая y = 36 — горизонтальная прямая с k = 0, а значит, и у касательных к графику k = 0 или тангенс угла наклона касательной к графику функции также будет равен нулю, что может быть только в точках экстремума функции или, проще говоря, в «бугорках» функции.
В ответе просили указать количество таких точек, значит, ответ — 5.
Ответ: 5.
Задача 4
Прямая y = 4x + 13 параллельна касательной к графику функции
Если прямая параллельна касательной к графику функции, то у них будут равные угловые коэффициенты. Угловой коэффициент прямой y = 4x + 13 равен 4, а угловой коэффициент касательной к графику функции
2x − 3 = 4;
x = 3,5.
Ответ: 3,5 — абсцисса точки касания.
Задача 5
Запишите уравнение касательной к параболе
Воспользуемся алгоритмом выше:
-
Вычислим значение функции в точке касания, для этого подставим
-
Продифференцируем функцию:
-
Вычислим значение функции в точке касания:
-
Все найденные значения подставим в уравнение касательной:
-
Приведем полученное выражение к виду y = kx + b: y = −2x + 24.
Ответ: уравнение касательной y = −2x + 24.
По условию задачи нас не просили, но мы можем изобразить график квадратичной функции и касательную к параболе для проверки. Если получилась лишь одна точка касания с правильными координатами, значит, наши расчеты были верны!
Практикум: разбор реальных задач ОГЭ и ЕГЭ
1. k = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁) = (4 − 2) / (4 − 0) = 2 / 4 = 0.5.
2. f'(x₀) = k = 0.5.
Контрольный чек-лист: на чём срезаются школьники
- Ловушка экзамена: Не путайте f(x₀) (значение функции) и f'(x₀) (производную в точке)!
- Ловушка экзамена: Угол α отсчитывается строго от положительного направления оси Ox против часовой стрелки.
- Ловушка экзамена: Если касательная образует тупой угол с осью Ox, производная строго отрицательна.
Задание №7 Профильного ЕГЭ регулярно путает выпускников графиками функции и графиками производной. Преподаватели Skysmart научат безошибочному анализу.
На индивидуальных уроках в онлайн-школе Skysmart методисты и действующие эксперты экзаменационной комиссии разбирают все подводные камни темы и доводят решение до автоматизма.
Ответы на частые вопросы (FAQ)
Может ли касательная пересекать график функции?
Да, касательная может пересекать график функции в других удалённых точках, а также в точке перегиба (как y = x³ в точке x = 0).
Чему равен угловой коэффициент вертикальной касательной?
У вертикальной касательной угловой коэффициент не определён (производная стремится к бесконечности).
