Объем параллелепипеда

Автор
Анастасия Белова
Дата публикации
29.12.2020
Просмотры
1486
Понятие объема
Чтобы без труда вычислить объём любой фигуры, нужно разобраться с определениями.
Объём — это количественная характеристика пространства, занимаемого телом или веществом.
Другими словами, это то, сколько места занимает предмет.
Объём измеряется в единицах измерения объема (единицах измерения размера пространства, занимаемого телом), то есть в кубических метрах, сантиметрах, миллиметрах.
За единицу измерения объёма можно принять куб с ребром 1 см, то есть, кубический сантиметр (см3), кубический миллиметр (1 мм3), кубический метр (1 м3).
Объём всегда выражается в положительных числах. Это число показывает, какое именно количество единиц измерения есть в теле. Например, сколько воды в бассейне, вина в бочке, земли в клумбе.
Два свойства объёма
|
Любое объемное тело имеет объем. Получается, при желании мы можем вычислить объем кружки, смартфона, вазы, кота — чего угодно.
Объем прямоугольного параллелепипеда
Давайте вспомним, какие виды параллелепипедов бывают.
Параллелепипедом называется призма, основаниями которой являются параллелограммы. Другими словами, параллелепипед — это многогранник с шестью гранями. Каждая грань которой называется параллелограмм.
Призма — это многогранник, в основаниях которого лежат равные многоугольники, а его боковые грани — это параллелограммы.
Какие бывают призмы:

Прямой параллелепипед — это параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны основанию.

Прямоугольным параллелепипедом называют параллелепипед, у которого основание — прямоугольник, а боковые ребра перпендикулярны основанию.

Формула объема прямоугольного параллелепипеда Чтобы вычислить объем прямоугольного параллелепипеда, найдите произведение его длины, ширины и высоты: V = a * b * h |
Чтобы не запутаться в формулах, запоминайте табличку с условными обозначениями.
a |
длина параллелепипеда |
b |
ширина параллелепипеда |
h |
высота параллелепипеда |
P (осн) |
периметр основания |
S (осн) |
площадь основания |
S (бок) |
площадь боковой поверхности |
S (п.п.) |
площадь полной поверхности |
V |
объем |
Пример 1. Чему равен объем параллелепипеда со сторонами 9 см, 6 см, 3 см.

a = 9 см
b = 6 см
h = 3 см
V = a * b * h
V = 9 * 6 * 3 = 162 см3.
Ответ: объем прямоугольного параллелепипеда равен 162 см3.
Следствие 1 Объем параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту. V = S осн * h |
Из этого следствия выведем формулу нахождения площади основания параллелепипеда.
S осн = V : h
Пример 2. Найдите площадь основания параллелепипеда, если его объем равен 82 см3, а высота 8 см.

V = 82 см3
h = 8 см
V = S осн * h
S осн = V : h
S осн = 82 см3: 8 см = 10,25 см2.
Ответ: площадь основания параллелепипеда равна 10,25 см2.
Следствие 2 Объём прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник, равен произведению площади основания на высоту. V = S осн * h |
Пример 3. Основанием прямой призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8 см. Боковое ребро равно 5. Найдем объем призмы.

V = S * h = 12* a * b * h
a = 6
b = 8
h = 5
V = 1/2 * 6 * 8 * 5 = 120 см3.
Ответ: объём прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник, равен 120 см3.
С каждым годом геометрия становится все более объемной. Формулы множатся, а задачки усложняются. В детской онлайн-школе Skysmart ваш ребенок сможет заполнить пробелы, разобрать сложные темы и научиться доказывать любые теоремы.
Записывайтесь на бесплатный вводный урок и знакомьтесь с устройством учебной платформы лично.
Вычисление площади
Как вы уже поняли, вычисление объёма параллелепипеда напрямую зависит от вычисления его площади. Давайте разберемся, сколько всего площадей можно найти в параллелепипеде.
Чтобы найти площадь боковой поверхности параллелепипеда, вычислите по отдельности площадь каждой боковой грани, а затем найдите сумму получившихся значений.
- S б.п. = 2(ac + bc)
Чтобы вычислить площадь полной поверхности параллелепипеда, сложите площадь боковой поверхности и две площади основания.
- S п.п. = 2 (ab + ac + bc)
Пример 4. Найдем площадь поверхности параллелепипеда, если длина основания равна 6 сантиметров, ширина — 4 см соответственно, а высота — 3 см.

S п.п. = 2 (ab + ac + bc)
S п.п. = 2(6 * 4 + 6 * 3 + 4 * 3) = 2 * (24 + 18 + 12) = 2 * 54 = 108 см2.
Ответ: площадь поверхности параллелепипеда — 108 см2.
Как видите, вычислить объём и найти площадь параллелепипеда совсем не трудно. В интернете есть много онлайн-калькуляторов, которые помогут вам быстро вычислить объем:
- Вычислить объём параллелепипеда по трем измерениям.
- Найти площадь поверхности параллелепипеда, зная длину его ребер.
Задачи на самопроверку
Пользоваться онлайн-калькуляторами можно, когда вы уже натренировались в решении задачек и с закрытыми глазами можете вычислить объем любого параллелепипеда. Давайте разберем еще несколько примеров.
Задачка 1. Найдите объём параллелепипеда со сторонами 18 см, 10 см, 7 см.

Как решаем:
a = 18 см
b = 10 см
h = 7 см
Формула нахождения объема параллелепипеда:
V = a * b * h
Подставляем наши числа:
V = 18 * 10 * 7 = 1260 см3.
Ответ: объём параллелепипеда = 1260 см3.
Задачка 2. Найдите площадь основания параллелепипеда, если его объём = 120 см3, а высота — 15 см.

Как решаем:
V = 120 см3
h = 15 см
V = S осн * h
S осн = V : h
S осн = 120 см3: 15 см = 8 см2.
Ответ: площадь основания параллелепипеда = 8 см2.
Задачка 3. Найдите площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда, если длина основания = 30 сантиметров, ширина = 12 см, а высота = 5 см.
Как решаем:
S п.п. = 2 (ab + ac + bc)
S п.п. = 2(30 * 12 + 30 *5 + 12 * 5) = 2 * (360 + 150 + 60) = 2 * 570 = 1140 см2.
Ответ: площадь полной поверхности параллелепипеда = 1140 см2.
Пусть все необходимые формулы будут под рукой в нужный момент. Сохраняйте табличку-шпаргалку на гаджет или распечатайте ее и храните в учебнике.
V параллелепипеда |
V = a * b * h |
|
V = S осн * h |
S боковой поверхности |
S б.п. = 2(ac + bc) |
S полной поверхности |
S п.п. = 2 (ab + ac + bc) |
Диагональ параллелепипеда |
d2 = a2+ b2 + c2 |
На уроках математики в современной школе Skysmart нет скучных учебников, надоевших задачек и неинтересных тетрадей. Ученики занимаются по интерактивному учебнику, чертят на настоящей онлайн-доске и решают занимательные примеры.
Математика может быть по-настоящему увлекательной. Записывайтесь на бесплатный вводный урок, чтобы проверить, так ли это на самом деле.