Иррациональное число (множество I) — это действительное число, которое нельзя представить в виде обыкновенной дроби m / n (где m ∈ Z, n ∈ N), а в десятичной записи оно представляет собой бесконечную НЕпериодическую десятичную дробь. Классические примеры иррациональных чисел: неизвлекаемые корни √2 ≈ 1,414..., √3 ≈ 1,732..., √5 ≈ 2,236..., число π ≈ 3,14159... и число Эйлера e ≈ 2,71828....
- Как отличить иррациональное число от рационального (ОГЭ №7 и №8): если под знаком корня
√nстоит число, НЕ являющееся точным квадратом (например,√2, √6, √18 = 3√2), то число иррациональное; если корень извлекается нацело (√36 = 6, √0,04 = 0,2) — число рациональное! - Свойства арифметических операций с иррациональными числами: сумма и произведение двух иррациональных чисел может стать РАЦИОНАЛЬНЫМ числом (например,
(3 + √2) + (3 − √2) = 6и√2 · √8 = √16 = 4)! - Приближённые значения главных корней для оценки на ОГЭ №7:
√2 ≈ 1,41;√3 ≈ 1,73;√5 ≈ 2,24;√7 ≈ 2,65.
Правило для бланка ОГЭ и ЕГЭ: чтобы избавиться от иррациональности в сумме или разности при умножении скобок, используйте сопряжённое выражение и формулу разности квадратов: (a − √b)(a + √b) = a² − b (корень полностью исчезает)!
2. Подстановка в формулу (Бесконечная НЕпериодическая дробь: √2, √3, √5, π, e): Применяем разность квадратов: (√7)² − 2²
3. Итоговый ответ: Получаем: 7 − 4 = 3 (иррациональность взаимно уничтожилась!)
1. Главные формулы и правила темы «Иррациональные числа»
2. Подробный теоретический разбор, свойства и наглядные схемы
Для кого эта статья:
- Студенты и школьники, изучающие математику, особенно тему чисел
- Преподаватели математики, стремящиеся объяснить понятие иррациональных чисел
- Все заинтересованные в расширении своих знаний о числах и их свойствах
Получи больше пользы от Skysmart:
-
Прокачивай знания на курсах математики
-
Выбирай из 1200+ репетиторов по математике
Записывайся на бесплатные курсы для детей
Определение иррациональных чисел
Иррациональное число — это действительное число, которое невозможно выразить в форме деления двух целых чисел, то есть в рациональной дроби:
Оно может быть выражено в форме бесконечной непериодической десятичной дроби.
Бесконечная периодическая десятичная дробь — это такая дробь, десятичные знаки которой повторяются в виде группы цифр или одного и того же числа.
Примеры иррациональных чисел:
- π = 3,1415926...
- √2 = 1,41421356...
- e = 2,71828182…
- √8 = 2.828427...
- -√11= -3.31662…
Множество иррациональных чисел договорились обозначать латинской буквой I.
Действительныеили вещественные числа — это все рациональные и иррациональные числа: положительные, отрицательные и нуль.
Если натуральное число n не является точным квадратом, т. е. n ≠ k2, где k ∈ Q, то √n — иррациональное число.
Свойства иррациональных чисел
Какие числа являются иррациональными мы уже поняли, но это еще не все. Есть еще важная тема для изучения: их основные свойства.
Свойства иррациональных чисел:
- результат суммы иррационального числа и рационального равен иррациональному числу;
- результат умножения иррационального числа на любое рациональное число (≠ 0) равен иррациональному числу;
- результат вычитания двух иррациональных чисел равен иррациональному числу или рациональному;
- результат суммы или произведения двух иррациональных чисел равен рациональному или иррациональному, например: √2 * √8 = √16 = 4).
Онлайн-подготовка к ОГЭ по математике — отличный способ снять стресс и закрепить знания перед экзаменом.
Определение рациональных чисел
А теперь наоборот: рассмотрим противоположное заданной теме определение.
Рациональное число — это такое число, которое можно представить в виде положительной или отрицательной обыкновенной дроби или нуля. Если число можно получить делением двух целых чисел — это число точно рациональное.
Рациональные числа — это те, которые можно представить в виде:
где числитель m — целое число, а знаменатель n — натуральное число.
Рациональные числа – это все натуральные, целые числа, обыкновенные дроби, бесконечные периодические дроби и конечные десятичные дроби.
Множество рациональных чисел принято обозначать латинской буквой Q.
Примеры рациональных чисел:
- десятичная дробь 1,15 — это 115/100;
- десятичная дробь 0,2 — это 1/5;
- целое число 0 — это 0/1;
- целое число 6 — это 6/1;
- целое число 1 — это 1/1;
- бесконечная периодическая дробь 0,33333... — это 1/3;
- смешанное число
это 25/10; - отрицательная десятичная дробь -3,16 — это -316/100.
У рациональных чисел есть определенные законы и ряд свойств — рассмотрим каждый их них. Пусть а, b и c — любые рациональные числа.
3. Сводная таблица всех формул и свойств для контрольной, ОГЭ и ЕГЭ
| Условие / Правило | Рабочая формула и пример применения |
|---|---|
| Как отличить иррациональное число от рационального (ОГЭ №7 и №8) | если под знаком корня √n стоит число, НЕ являющееся точным квадратом (например, √2, √6, √18 = 3√2), то число иррациональное; если корень извлекается нацело (√36 = 6, √0,04 = 0,2) — число рациональное! |
| Свойства арифметических операций с иррациональными числами | сумма и произведение двух иррациональных чисел может стать РАЦИОНАЛЬНЫМ числом (например, (3 + √2) + (3 − √2) = 6 и √2 · √8 = √16 = 4)! |
| Приближённые значения главных корней для оценки на ОГЭ №7 | √2 ≈ 1,41; √3 ≈ 1,73; √5 ≈ 2,24; √7 ≈ 2,65. |
4. Практикум: разбор реальных задач с пошаговым решением
1. В первом выражении: (√3 − 1)² = 3 − 2√3 + 1 = 4 − 2√3 (остался корень √3 — иррациональное!).
2. Во втором выражении: √24 / √6 = √(24 / 6) = √4 = 2 ∈ Q (рациональное!).
3. В третьем: 2√2 + 2√2 = 4√2 (иррациональное). Ответ: 2).
1. Внесём 3 под знак корня: 3√6 = √(9 · 6) = √54.
2. Оценим √54 между точными квадратами 49 и 64: 7 < √54 < 8.
3. Вычтем 2 из всех частей неравенства: 5 < 3√6 − 2 < 6 (лежит между 5 и 6).
1. Если бы √2 = m / n, то m² = 2n² ⇒ m² чётно ⇒ m = 2k (чётно).
2. Подставим m = 2k: 4k² = 2n² ⇒ n² = 2k² ⇒ n тоже чётно. Значит, дробь m / n сократима на 2 — противоречие с несократимостью!
5. Контрольный чек-лист: частые ошибки и ловушки на экзамене
- Главное правило проверки ответа: чтобы избавиться от иррациональности в сумме или разности при умножении скобок, используйте сопряжённое выражение и формулу разности квадратов: (a − √b)(a + √b) = a² − b (корень полностью исчезает)!
- Контроль первой формулы (ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ГЛАВНЫЕ ПРИМЕРЫ): Нельзя представить в виде обыкновенной дроби m / n! (Бесконечная НЕпериодическая дробь: √2, √3, √5, π, e).
- Контроль второй формулы (КАК УБРАТЬ КОРЕНЬ (СДЕЛАТЬ РАЦИОНАЛЬНЫМ)): Приближения для ОГЭ: √2 ≈ 1,41 | √3 ≈ 1,73 | √5 ≈ 2,24 (√a · √b = √(ab) | (a − √b)(a + √b) = a² − b).
Потренироваться самостоятельно с автопроверкой ответов можно в бесплатном тренажёре ЕГЭ от Skysmart: доступны разделы по базовой математике и профильной математике.
На онлайн-курсах по математике в Skysmart преподаватели разбирают каждый прототип ФИПИ на интерактивной доске и помогают довести решение задач первой и второй части до полного автоматизма.
6. Часто задаваемые вопросы (FAQ)
Какая главная формула в теме «Иррациональные числа»?
Базовое соотношение темы: Бесконечная НЕпериодическая дробь: √2, √3, √5, π, e, а также вторая ключевая формула: √a · √b = √(ab) | (a − √b)(a + √b) = a² − b. Подробный пример расчёта: Является ли рациональным число (√7 − 2)(√7 + 2)? ➔ Применяем разность квадратов: (√7)² − 2² ➔ Получаем: 7 − 4 = 3 (иррациональность взаимно уничтожилась!).
На какой ловушке чаще всего теряют баллы на контрольной, ОГЭ и ЕГЭ?
Главное правило для бланка ответов: чтобы избавиться от иррациональности в сумме или разности при умножении скобок, используйте сопряжённое выражение и формулу разности квадратов: (a − √b)(a + √b) = a² − b (корень полностью исчезает)!
Где скачать шпаргалку со всеми формулами для печати?
В первом экране статьи доступна бесплатная PDF-шпаргалка формата А4 со всеми формулами и алгоритмами темы «Иррациональные числа».
