Как решать систему неравенств

Начиная с 8 класса, задачи с системой неравенств появляются так часто, что проще выучить тему, чем списывать у соседа. В этой статье сделаем это и, наконец, выдохнем.
  • Автор

    Лидия Казанцева

  • Рубрика

    8 класс

  • Дата публикации

    30.07.2020

  • Просмотры

    8189

Основные понятия

Неравенство — алгебраическое выражение, в котором используются знаки ≠, <, >, ≤, ≥.

Числовое неравенство — в записи которого по обе стороны от знака находятся числа или числовые выражения.

Решение — значение переменной, при котором неравенство становится верным.

Решить неравенство значит найти множество, для которых оно выполняется.

Типы неравенств

Строгие — используют только больше (>) или меньше (<)

  • a < b — это значит, что a меньше, чем b.
  • a > b — это значит, что a больше, чем b.
  • a > b и b < a означают одно и тоже, то есть равносильны.

Нестрогие — используют сравнения ≥ (больше или равно) или ≤ (меньше или равно)

  • a ≤ b — это значит, что a меньше либо равно b.
  • a ≥ b — это значит, что a больше либо равно b.
  • знаки ⩽ и ⩾ являются противоположными.

Другие типы

  • a ≠ b — означает, что a не равно b.
  • a ≫ b — означает, что a намного больше, чем b.
  • a ≪ b — означает, что a намного меньше, чем b.
  • знаки >> и << противоположны.

Система неравенств

Чтобы щелкать задачки, нам пригодятся свойства числовых неравенств. Вот они:

 
  1. Если а > b , то b < а. Также наоборот: а < b, то b > а.

  1. Если а > b и b > c, то а > c. И также если а < b и b < c, то а < c.

  1. Если а > b, то а + c > b+ c (и а – c > b – c).
    Если же а < b, то а + c < b + c (и а – c < b – c). К обеим частям можно прибавлять или вычитать одну и ту же величину.

  1. Если а > b и c > d, то а + c > b + d.
    Если а < b и c < d, то а + c < b + d.
    Два неравенства одинакового смысла можно почленно складывать. Но важно перепроверять, т.к. возможны исключения. Например, если из 12 > 8 почленно вычесть 3 > 2, получим верный ответ 9 > 6. Если из 12 > 8 почленно вычесть 7 > 2, то полученное будет неверным.

  1. Если а > b и c < d, то а – c > b – d.
    Если а < b и c > d, то а – c < b – d.
    Из одного неравенства можно почленно вычесть другое противоположного смысла, оставляя знак того, из которого вычиталось.

  1. Если а > b, m — положительное число, то mа > mb и

    свойство числовых неравенств при умножении или делении на положительное число.

    Обе части можно умножить или разделить на одно положительное число (знак при этом остаётся тем же).
    Если же а > b, n — отрицательное число, то nа < nb и

    свойство числовых неравенств при умножении или делении на отрицательное число.

    Обе части можно умножить или разделить на одно отрицательное число, при этом знак поменять на противоположный.

  1. Если а > b и c > d, где а, b, c, d > 0, то аc > bd.
    Если а < b и c < d, где а, b, c, d > 0, то аc < bd.
    Неравенства одного смысла на множестве положительных чисел можно почленно перемножать.
    Следствием является: если а > b, где а, b > 0, то а2 > b2, и если а < b, то а2 < b2. На множестве положительных чисел обе части можно возвести в квадрат.

  1. Если а > b, где а, b > 0, то результат условия а > b, где а, b > 0.
    Если а < b , то результат условия, где а < b.

Таблица числовых промежутков

Полезна тем, что с ее помощью удобно записывать множество решений.

Неравенство

Графическое решение

Форма записи ответа

x < c


графическое решения неравенства x<c

x ∈ (−∞; c)

x ≤ c


графическое решения неравенства x ≤ c

x ∈ (−∞; c]

x > c


графическое решения неравенства x > c

x ∈ (c; +∞)

x ≥ c


графическое решения неравенства x ≥ c

x ∈ (c; +∞)

Еще один важный шаг — запись ответа. Вот, как правильно это делать:

  • Если знак строгий (>, <), точка на оси будет не закрашена, а скобка — круглой.
  • Если знак нестрогий (≥, ≤), точка на оси будет закрашена, а скобка — квадратной.
  • Скобка, рядом со знаком бесконечности всегда круглая.

Решение системы неравенств

Линейное неравенство — то, в котором неизвестное представлено в первой степени. Для его решения нужно, чтобы в левой части осталось только неизвестное в первой степени с коэффициентом равном единице. Алгоритм решения:

1. Раскрыть скобки, перенести неизвестное в левую часть, числа в правую и привести подобные слагаемые. Получится одно из следующих видов:

  • ax < b,
  • ax ≤ b,
  • ax > b,
  • ax ≥ b.

2. Если получилось ax ≤ b.Для его решения необходимо поделить левую и правую часть на коэффициент перед неизвестным a.

3. Если a > 0, то x ≤ ba.
Если a < 0, то знак меняется на противоположный.
Получаем x ≥ ba.

4. Записываем ответ как он есть или в соответствии с таблицей числовых промежутков.

Решим пример

3 * (2 − x) > 18

Как решаем

  1. Раскрываем скобки, оставляем неизвестное слево, числа перемещаем вправо, приводим подобные слагаемые.
    6 − 3x > 18
    −3x > 18 − 6
    −3x > 12
  1. Делим обе части на коэффициент, который стоит перед неизвестным. Так как −3 < 0, знак меняется на противоположный. 
    x < 12−3
    x < −4

Ответ: x < −4 или в числовом промежутке x ∈ (−∞; −4).

И еще один
условие примера

Как решаем

  1. Оставляем неизвестное слева, избавляемся от знаменателя через умножение на это число обеих частей.
  2. Делим обе части на коэффициент, который стоит перед неизвестным.
    Так как - 2 < 0, знак меняется на противоположный.
    запись решения примера

 Ответ: х < – 2.

Последний, чтобы разобраться наверняка
условие последнего примера

Как решаем

  1. Проверим, что неизвестное находится слева.
  2. Делим обе части на коэффициент, который стоит перед неизвестным в каждом из них.
    запись решения последнего примера

 Ответ: числовой промежуток x ∈ (– 2; 0].

 
 
  • 0
  • 0
  • 0
  • 0
  • 0
  • 0