Как решать систему неравенств

Начиная с 8 класса, задачи с системой неравенств появляются так часто, что проще выучить тему, чем списывать у соседа. В этой статье сделаем это и, наконец, выдохнем.
  • Автор

    Лидия Казанцева

  • Дата публикации

    30.07.2020

  • Просмотры

    1932

Основные понятия

Неравенство — алгебраическое выражение, в котором используются знаки ≠, <, >, ≤, ≥.

Числовое неравенство — в записи которого по обе стороны от знака находятся числа или числовые выражения.

Решение — значение переменной, при котором неравенство становится верным.

Решить неравенство значит найти множество, для которых оно выполняется.

Типы неравенств

Строгие — используют только больше (>) или меньше (<)

  • a < b — это значит, что a меньше, чем b.
  • a > b — это значит, что a больше, чем b.
  • a > b и b < a означают одно и тоже, то есть равносильны.

Нестрогие — используют сравнения ≥ (больше или равно) или ≤ (меньше или равно)

  • a ≤ b — это значит, что a меньше либо равно b.
  • a ≥ b — это значит, что a больше либо равно b.
  • знаки ⩽ и ⩾ являются противоположными.

Другие типы

  • a ≠ b — означает, что a не равно b.
  • a ≫ b — означает, что a намного больше, чем b.
  • a ≪ b — означает, что a намного меньше, чем b.
  • знаки >> и << противоположны.

Система неравенств

Чтобы щелкать задачки, нам пригодятся свойства числовых неравенств. Вот они:

  1. Если а > b , то b < а. Также наоборот: а < b, то b > а.
  1. Если а > b и b > c, то а > c. И также если а < b и b < c, то а < c.
  1. Если а > b, то а + c > b+ c (и а – c > b – c).
    Если же а < b, то а + c < b + c (и а – c < b – c). К обеим частям можно прибавлять или вычитать одну и ту же величину.
  1. Если а > b и c > d, то а + c > b + d.
    Если а < b и c < d, то а + c < b + d.
    Два неравенства одинакового смысла можно почленно складывать. Но важно перепроверять, т.к. возможны исключения. Например, если из 12 > 8 почленно вычесть 3 > 2, получим верный ответ 9 > 6. Если из 12 > 8 почленно вычесть 7 > 2, то полученное будет неверным.
  1. Если а > b и c < d, то а – c > b – d.
    Если а < b и c > d, то а – c < b – d.
    Из одного неравенства можно почленно вычесть другое противоположного смысла, оставляя знак того, из которого вычиталось.
  1. Если а > b, m — положительное число, то mа > mb и .
    Обе части можно умножить или разделить на одно положительное число (знак при этом остаётся тем же).
    Если же а > b, n — отрицательное число, то nа < nb и .
    Обе части можно умножить или разделить на одно отрицательное число, при этом знак поменять на противоположный.
  1. Если а > b и c > d, где а, b, c, d > 0, то аc > bd.
    Если а < b и c < d, где а, b, c, d > 0, то аc < bd.
    Неравенства одного смысла на множестве положительных чисел можно почленно перемножать.
    Следствием является: если а > b, где а, b > 0, то а2 > b2, и если а < b, то а2 < b2. На множестве положительных чисел обе части можно возвести в квадрат.
  1. Если а > b, где а, b > 0, то .
    Если а < b , то .

Таблица числовых промежутков

Полезна тем, что с ее помощью удобно записывать множество решений.

Неравенство

Графическое решение

Форма записи ответа

x < c


x<c

x ∈ (−∞; c)

x ≤ c


x ∈ (−∞; c]

x > c


x ∈ (c; +∞)

x ≥ c


x ∈ (c; +∞)

Еще один важный шаг — запись ответа. Вот, как правильно это делать:

  • Если знак строгий (>, <), точка на оси будет не закрашена, а скобка — круглой.
  • Если знак нестрогий (≥, ≤), точка на оси будет закрашена, а скобка — квадратной.
  • Скобка, рядом со знаком бесконечности всегда круглая.

Решение системы неравенств

Линейное неравенство — то, в котором неизвестное представлено в первой степени. Для его решения нужно, чтобы в левой части осталось только неизвестное в первой степени с коэффициентом равном единице. Алгоритм решения:

1. Раскрыть скобки, перенести неизвестное в левую часть, числа в правую и привести подобные слагаемые. Получится одно из следующих видов:

  • ax < b,
  • ax ≤ b,
  • ax > b,
  • ax ≥ b.

2. Если получилось ax ≤ b.Для его решения необходимо поделить левую и правую часть на коэффициент перед неизвестным a.

3. Если a > 0, то x ≤ ba.
Если a < 0, то знак меняется на противоположный.
Получаем x ≥ ba.

4. Записываем ответ как он есть или в соответствии с таблицей числовых промежутков.

Решим пример

3 * (2 − x) > 18

Как решаем

  1. Раскрываем скобки, оставляем неизвестное слево, числа перемещаем вправо, приводим подобные слагаемые.
    6 − 3x > 18
    −3x > 18 − 6
    −3x > 12
  1. Делим обе части на коэффициент, который стоит перед неизвестным. Так как −3 < 0, знак меняется на противоположный. 
    x < 12−3
    x < −4

Ответ: x < −4 или в числовом промежутке x ∈ (−∞; −4).

И еще один

Как решаем

  1. Оставляем неизвестное слева, избавляемся от знаменателя через умножение на это число обеих частей.
  2. Делим обе части на коэффициент, который стоит перед неизвестным.
    Так как - 2 < 0, знак меняется на противоположный.

 Ответ: х < – 2.

Последний, чтобы разобраться наверняка

Как решаем

  1. Проверим, что неизвестное находится слева.
  2. Делим обе части на коэффициент, который стоит перед неизвестным в каждом из них.

 Ответ: числовой промежуток x ∈ (– 2; 0].

Запомнить все правила и научиться быстро их применять помогут на уроках математики в детской школе Skysmart. Вместо скучных параграфов ребенка ждут интерактивные упражнения с мгновенной автоматической проверкой и онлайн-доска, где можно рисовать и чертить вместе с преподавателем.

 
Бесплатный вводный урок
Шаг 1 из 2. Данные ученика
Класс
Цель обучения
Поделиться: