Умножение обыкновенных дробей — это самая простая операция с дробями (приводить к общему знаменателю НЕ нужно!): произведение двух дробей равно дроби, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей: (a / b) · (c / d) = (a · c) / (b · d).
- 1. Умножение обыкновенной дроби на обыкновенную дробь:
(a / b) · (c / d) = (a · c) / (b · d)(обязательно сокращайте крест-накрест под общей чертой ДО перемножения!). - 2. Умножение дроби на натуральное число n: умножается ТОЛЬКО числитель, а знаменатель остаётся прежним: (a / b) · n = (a · n) / b!
- 3. Умножение смешанных чисел (с целой частью — главная ловушка!): перемножать отдельно целые и дробные части КАТЕГОРИЧЕСКИ НЕЛЬЗЯ! Сначала обязательно переведите оба смешанных числа в неправильные дроби:
1 ½ · 2 ⅔ = (3/2) · (8/3) = 4!
Правило для бланка ОГЭ и ЕГЭ: две главные ошибки в 5–6 классах: 1) при умножении дроби на целое число n ученики умножают на n и числитель, и знаменатель (а нужно умножать ТОЛЬКО числитель!); 2) при умножении смешанных чисел 2 ½ · 3 ⅓ умножают 2·3 = 6 и 1/2·1/3 = 1/6 (а нужно переводить в неправильные дроби: 5/2 · 10/3 = 25/3 = 8 ⅓)!
2. Подстановка в формулу ((a / b) · (c / d) = (a · c) / (b · d) | (a / b) · n = (a · n) / b): 1) Переводим в неправильные дроби: 2 ¼ = 9/4; 1 ⅓ = 4/3
3. Итоговый ответ: 2) Умножаем и сокращаем: (9 · 4) / (4 · 3) = 9 / 3 = 3
1. Главные формулы и правила темы «Умножение дробей: теория и практика»
2. Подробный теоретический разбор, свойства и наглядные схемы
Чтобы умножить дроби с разными знаменателями, сначала умножьте числитель первой дроби на числитель второй, затем знаменатель первой дроби на знаменатель второй. Результат запишите в виде новой дроби.
Например,
Для кого эта статья:
- Читатели, интересующиеся темой статьи
- Специалисты в данной области знаний
- Студенты или школьники, стремящиеся углубить свои знания
Получи больше пользы от Skysmart:
-
Прокачивай знания на курсах математики
-
Выбирай из 1200+ репетиторов по математике
Записывайся на бесплатные курсы для детей
Понятие дроби
Дробь — одна из форм представления числа в математике. Это запись, в которой a и b являются числами или выражениями. Существует два формата записи:
- обыкновенный вид — 1/2 или a/b,
- десятичный вид — 0,5.
Над чертой принято писать делимое, которое является числителем, а под чертой всегда находится делитель, который называют знаменателем. Черта между числителем и знаменателем означает деление — в 5 классе уже это знают.
Дроби могут быть двух видов:
- Числовые — состоят из чисел, например, 5/9 или (1,5 - 0,2)/15.
- Алгебраические — состоят из переменных, например, (x + y)/(x - y). В этом случае значение дроби зависит от данных значений букв.
Дробь называют правильной, когда ее числитель меньше знаменателя:
- 3/7 и 31/45.
Неправильной — ту, у которой числитель больше знаменателя или равен ему:
- 21/4
Такое число называют смешанным, читают как «пять целых одна четвертая», а записывают так: 5 1\4.
Умножение дробных чисел
Умножение обыкновенных дробей - это операция, при которой перемножаются числители и знаменатели дробей. Чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить их числители и записать результат числителем новой дроби, а знаменатели перемножить и записать результат знаменателем новой дроби.
Пример:
Рассмотрим несколько вариантов умножения обыкновенных дробей.
Как умножить дробь на дробь
Числитель равен произведению числителей обеих дробей, а знаменатель равен произведению знаменателей:
Важно проверить возможность сокращения — так решать будет легче:
Как умножить смешанные дроби
Преобразовать смешанные числа в неправильные, перемножить числители и знаменатели, при необходимости сократить и перевести в смешанную дробь.
Как умножить дробь на натуральное число
Умножение целого числа на дробь - это операция, при которой числитель дроби умножается на целое число, а знаменатель остаётся неизменным.
- Например:
Метод 1. Числитель умножить на натуральное число, а знаменатель оставить без изменения. Если в результате произведения получилась неправильная дробь, нужно выделить целую часть, то есть превратить неправильную в смешанную.
Метод 2. Знаменатель разделить на натуральное число, а числитель оставить прежним.
Этот способ будет удобнее предыдущего, если знаменатель делится на натуральное число без остатка.
Решение задач
Ребятам в 5 и 6 классе нужно практиковаться как можно чаще, чтобы решать такие примеры быстро и легко.
Задание 1. Выполнить умножение 2/17 на 5.
Как решаем: перемножим числитель и натуральное число.
Ответ:
Задание 2. Выполнить умножение 4/15 и 55/6.
Как решаем:
- перемножим числители между собой и знаменатели соответственно
- сократим полученное
- выделим целую часть
Ответ:
Задание 3. Выполнить умножение одной целой трех седьмых на шесть.
Как решаем:
- переводим смешанное число в неправильную дробь,
- умножаем делимое на натуральное число,
- сократим полученное,
- преобразуем в смешанное число.
Ответ:
Онлайн-курсы по математике для детей и подростков — прекрасный способ разобраться в новом материале и закрепить его на практике.
3. Сводная таблица всех формул и свойств для контрольной, ОГЭ и ЕГЭ
| Условие / Правило | Рабочая формула и пример применения |
|---|---|
| 1. Умножение обыкновенной дроби на обыкновенную дробь | (a / b) · (c / d) = (a · c) / (b · d) (обязательно сокращайте крест-накрест под общей чертой ДО перемножения!). |
| 2. Умножение дроби на натуральное число n | умножается ТОЛЬКО числитель, а знаменатель остаётся прежним: (a / b) · n = (a · n) / b! |
| 3. Умножение смешанных чисел (с целой частью — главная ловушка!) | перемножать отдельно целые и дробные части КАТЕГОРИЧЕСКИ НЕЛЬЗЯ! Сначала обязательно переведите оба смешанных числа в неправильные дроби: 1 ½ · 2 ⅔ = (3/2) · (8/3) = 4! |
4. Практикум: разбор реальных задач с пошаговым решением
1. Записываем под общей чертой: (14 · 15) / (25 · 28).
2. Сокращаем 14 и 28 на 14 (остаётся 1 и 2); сокращаем 15 и 25 на 5 (остаётся 3 и 5).
3. Получаем: (1 · 3) / (5 · 2) = 3 / 10 = 0,3.
1. Умножаем числитель на 12: (7 · 12) / 18.
2. Сокращаем 12 и 18 на 6: (7 · 2) / 3 = 14 / 3 = 4 ⅔.
1. Представим 7 ⅜ как сумму (7 + 3/8) и применим распределительный закон:
2. (7 + 3/8) · 8 = 7 · 8 + (3/8) · 8 = 56 + 3 = 59!
5. Контрольный чек-лист: частые ошибки и ловушки на экзамене
- Главное правило проверки ответа: две главные ошибки в 5–6 классах: 1) при умножении дроби на целое число n ученики умножают на n и числитель, и знаменатель (а нужно умножать ТОЛЬКО числитель!); 2) при умножении смешанных чисел 2 ½ · 3 ⅓ умножают 2·3 = 6 и 1/2·1/3 = 1/6 (а нужно переводить в неправильные дроби: 5/2 · 10/3 = 25/3 = 8 ⅓)!
- Контроль первой формулы (ЧИСЛИТЕЛЬ НА ЧИСЛИТЕЛЬ, ЗНАМЕНАТЕЛЬ НА ЗНАМЕНАТЕЛЬ): Общий знаменатель при умножении искать НЕ нужно! ((a / b) · (c / d) = (a · c) / (b · d) | (a / b) · n = (a · n) / b).
- Контроль второй формулы (ПРАВИЛО ДЛЯ СМЕШАННЫХ ЧИСЕЛ): Пример: 1 ½ · 2 ⅔ = (3 / 2) · (8 / 3) = 4 (Смешанные числа ОБЯЗАТЕЛЬНО переводи в неправильные дроби!).
Потренироваться самостоятельно с автопроверкой ответов можно в бесплатном тренажёре ЕГЭ от Skysmart: доступны разделы по базовой математике и профильной математике.
На онлайн-курсах по математике в Skysmart преподаватели разбирают каждый прототип ФИПИ на интерактивной доске и помогают довести решение задач первой и второй части до полного автоматизма.
6. Часто задаваемые вопросы (FAQ)
Какая главная формула в теме «Умножение дробей: теория и практика»?
Базовое соотношение темы: (a / b) · (c / d) = (a · c) / (b · d) | (a / b) · n = (a · n) / b, а также вторая ключевая формула: Смешанные числа ОБЯЗАТЕЛЬНО переводи в неправильные дроби!. Подробный пример расчёта: Вычислить произведение смешанных чисел: 2 ¼ · 1 ⅓ ➔ 1) Переводим в неправильные дроби: 2 ¼ = 9/4; 1 ⅓ = 4/3 ➔ 2) Умножаем и сокращаем: (9 · 4) / (4 · 3) = 9 / 3 = 3.
На какой ловушке чаще всего теряют баллы на контрольной, ОГЭ и ЕГЭ?
Главное правило для бланка ответов: две главные ошибки в 5–6 классах: 1) при умножении дроби на целое число n ученики умножают на n и числитель, и знаменатель (а нужно умножать ТОЛЬКО числитель!); 2) при умножении смешанных чисел 2 ½ · 3 ⅓ умножают 2·3 = 6 и 1/2·1/3 = 1/6 (а нужно переводить в неправильные дроби: 5/2 · 10/3 = 25/3 = 8 ⅓)!
Где скачать шпаргалку со всеми формулами для печати?
В первом экране статьи доступна бесплатная PDF-шпаргалка формата А4 со всеми формулами и алгоритмами темы «Умножение дробей: теория и практика».
