Единичная (тригонометрическая) окружность — это окружность с радиусом R = 1 и центром в начале декартовой системы координат O(0; 0), заданная уравнением x² + y² = 1. При повороте начального радиуса OA (1; 0) на любой угол α (против часовой стрелки — в «+», по часовой — в «−») абсцисса x точки на окружности равна косинусу угла (x = cos α), а ордината y равна синусу угла (y = sin α)!
- Координатное определение косинуса и синуса на единичном круге: Ось Ox (горизонтальная) — это ось КОСИНУСОВ (x = cos α); ось Oy (вертикальная) — это ось СИНУСОВ (y = sin α); отсюда сразу следует тождество Пифагора
cos²α + sin²α = 1! - 4 узловые точки на осях окружности (в радианах): справа
(1; 0)— углы0, 2π; вверху(0; 1)— уголπ/2 (90°); слева(−1; 0)— уголπ (180°); внизу(0; −1)— угол3π/2 (270°)или−π/2. - Табличные значения в I четверти (правило √1/2, √2/2, √3/2): для
30° (π/6):(√3/2; 1/2); для45° (π/4):(√2/2; √2/2); для60° (π/3):(1/2; √3/2).
Правило для бланка ОГЭ и ЕГЭ: чтобы никогда не путать оси на тригонометрическом круге, запомните: КОСИНУС — горизонталь Ox (косит траву по земле влево-вправо), СИНУС — вертикаль Oy (синее небо вверх-вниз)!
2. Подстановка в формулу (x = cos α (горизонталь) | y = sin α (вертикаль)): Точка π (180°) лежит на левом краю круга с координатами (−1; 0)
3. Итоговый ответ: Абсцисса cos π = −1, ордината sin π = 0
1. Главные формулы и правила темы «Единичная окружность»
2. Подробный теоретический разбор, свойства и наглядные схемы
Тригонометрическая окружность - это окружность радиуса 1 на координатной плоскости с центром в начале координат. На ней углы измеряются по часовой стрелке от положительной полуоси OX. Используется для определения тригонометрических функций углов.
Пример:
- sin(0) = 0
- cos(π/2) = 0
- tan(π) = 0
Для кого эта статья:
- Студенты и школьники, изучающие тригонометрические функции
- Преподаватели математики и репетиторы
- Люди, интересующиеся математикой и её прикладными аспектами
Получи больше пользы от Skysmart:
-
Подготовься к ОГЭ на пятёрку
-
Подготовься к ЕГЭ на высокие баллы
Записывайся на бесплатные курсы для детей
Решай задания в бесплатном тренажёре ЕГЭ
Единичная окружность в тригонометрии
При изучении тригонометрии используют единичную окружность. Сейчас узнаем, какую окружность называют единичной и дадим определение.
Единичная окружность — это окружность с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат и радиусом, равным единице.
Прямоугольная система координат — прямолинейная система координат с взаимно перпендикулярными осями на плоскости или в пространстве. Наиболее простая и поэтому часто используемая система координат.
Радиус — отрезок, который соединяет центр окружности с любой точкой, лежащей на окружности, а также длина этого отрезка. Радиус составляет половину диаметра.
Единичную окружность с установленным соответствием между действительными числами и точками окружности называют числовой окружностью.
Поясним, как единичная окружность связана с тригонометрией.
В тригонометрии мы постоянно сталкиваемся с углами поворота. А углы поворота связаны с вращением по окружности.
Угол принято считать против часовой стрелки между положительным направлением оси OX и лучом OA.
Величины углов не зависят от радиуса окружности, по которой происходит вращение, поэтому удобно работать именно с окружностью единичного радиуса. Это позволяет избавиться от коэффициентов при математическом описании.
Все углы, которые принадлежат одной четверти, дают одинаковые абсолютные значения тригонометрических функций, но эти значения могут различаться по знаку. Вот как:
Если угол находится в первой четверти, все тригонометрические функции имеют положительные значения.
Для угла во второй четверти синус положителен, косинус, тангенс и котангенс — отрицательны.
В третьей четверти синус и косинус отрицательны, а тангенс и котангенс — положительны.
В четвертой четверти синус отрицателен, косинус положителен, тангенс и котангенс — отрицательны.
Градусная мера окружности равна 360°. Чтобы решать задачи быстро, важно запомнить, где находятся углы 0°; 90°; 180°; 270°; 360°. Единичная окружность с градусами выглядит так:
Радиан — одна из мер для определения величины угла.
Один радиан — это величина угла между двумя радиусами, проведенными так, что длина дуги между ними равна величине радиуса.
Число радиан для полной окружности — 360 градусов.
Длина окружности равна 2πr, что превышает длину радиуса в 2π раза.
Поскольку по определению 1 радиан — это угол между концами дуги, длина которой равна радиусу, в полной окружности заключен угол, равный 2π радиан.
Потренируемся переводить радианы в градусы. В полной окружности содержится 2π радиан, или 360 градусов. Таким образом:
2π радиан = 360°
1 радиан = (360/2π) градусов = (180/π) градусов
360° = 2π радиан
1° = (2π/360) радиан = (π/180) радиан
Курсы по математике в онлайн-курсах Skysmart помогут подтянуть оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам.
Для чего можно использовать единичную окружность
определить синус, косинус, тангенс и котангенс угла
найти значения тригонометрических функций для некоторых значений числового и углового аргумента
вывести основные формулы тригонометрии
применить формулы приведения
найти области определения и области значений тригонометрических функций
определить периодичность тригонометрических функций
определить четность и нечетность тригонометрических функций
определить промежутки возрастания и убывания тригонометрических функций
определить промежутки знакопостоянства тригонометрических функций
применить радианное измерение углов
найти значения обратных тригонометрических функций
решить простейшие тригонометрические уравнения
решить простейшие тригонометрические неравенства.
3. Сводная таблица всех формул и свойств для контрольной, ОГЭ и ЕГЭ
| Условие / Правило | Рабочая формула и пример применения |
|---|---|
| Координатное определение косинуса и синуса на единичном круге | Ось Ox (горизонтальная) — это ось КОСИНУСОВ (x = cos α); ось Oy (вертикальная) — это ось СИНУСОВ (y = sin α); отсюда сразу следует тождество Пифагора cos²α + sin²α = 1! |
| 4 узловые точки на осях окружности (в радианах) | справа (1; 0) — углы 0, 2π; вверху (0; 1) — угол π/2 (90°); слева (−1; 0) — угол π (180°); внизу (0; −1) — угол 3π/2 (270°) или −π/2. |
| Табличные значения в I четверти (правило √1/2, √2/2, √3/2) | для 30° (π/6): (√3/2; 1/2); для 45° (π/4): (√2/2; √2/2); для 60° (π/3): (1/2; √3/2). |
4. Практикум: разбор реальных задач с пошаговым решением
1. Угол 130° лежит во II четверти ⇒ sin 130° > 0 («+»).
2. Угол 200° лежит в III четверти ⇒ cos 200° < 0 («−»).
3. Угол 310° лежит в IV четверти ⇒ tg 310° < 0 («−»). Перемножаем знаки: (+) · (−) · (−) = «+» (больше нуля).
1. Выделим из 750° два полных оборота по 360° (720°): cos(750°) = cos(720° + 30°) = cos 30° = √3 / 2.
2. Синус нечётный: sin(−30°) = −0,5. Итог: (√3 − 1) / 2 (а для 2sin(750°): 2 · 0,5 = 1).
1. Дуга от π до 5π/2 проходит через III, IV и I четверти (где 2π = 12π/6, а 5π/2 = 15π/6).
2. В I четверти на новом витке лежит только первая точка: x = 2π + π/6 = 13π/6 (вторая точка 2π + 5π/6 = 17π/6 уже больше 15π/6).
5. Контрольный чек-лист: частые ошибки и ловушки на экзамене
- Главное правило проверки ответа: чтобы никогда не путать оси на тригонометрическом круге, запомните: КОСИНУС — горизонталь Ox (косит траву по земле влево-вправо), СИНУС — вертикаль Oy (синее небо вверх-вниз)!
- Контроль первой формулы (ОСЬ КОСИНУСОВ (OX) И ОСЬ СИНУСОВ (OY)): Уравнение круга: cos²α + sin²α = 1 (x = cos α (горизонталь) | y = sin α (вертикаль)).
- Контроль второй формулы (УЗЛОВЫЕ ТОЧКИ И ТАБЛИЧНЫЕ УГЛЫ): π/6 (30°): sin = 1/2 | π/4 (45°): √2/2 | π/3 (60°): √3/2 (0 ➔ (1; 0) | π/2 ➔ (0; 1) | π ➔ (−1; 0) | 3π/2 ➔ (0; −1)).
Потренироваться самостоятельно с автопроверкой ответов можно в бесплатном тренажёре ЕГЭ от Skysmart: доступны разделы по базовой математике и профильной математике.
На онлайн-курсах по математике в Skysmart преподаватели разбирают каждый прототип ФИПИ на интерактивной доске и помогают довести решение задач первой и второй части до полного автоматизма.
6. Часто задаваемые вопросы (FAQ)
Какая главная формула в теме «Единичная окружность»?
Базовое соотношение темы: x = cos α (горизонталь) | y = sin α (вертикаль), а также вторая ключевая формула: 0 ➔ (1; 0) | π/2 ➔ (0; 1) | π ➔ (−1; 0) | 3π/2 ➔ (0; −1). Подробный пример расчёта: Найти по единичной окружности sin(π) и cos(π) ➔ Точка π (180°) лежит на левом краю круга с координатами (−1; 0) ➔ Абсцисса cos π = −1, ордината sin π = 0.
На какой ловушке чаще всего теряют баллы на контрольной, ОГЭ и ЕГЭ?
Главное правило для бланка ответов: чтобы никогда не путать оси на тригонометрическом круге, запомните: КОСИНУС — горизонталь Ox (косит траву по земле влево-вправо), СИНУС — вертикаль Oy (синее небо вверх-вниз)!
Где скачать шпаргалку со всеми формулами для печати?
В первом экране статьи доступна бесплатная PDF-шпаргалка формата А4 со всеми формулами и алгоритмами темы «Единичная окружность».
