Основные определения
Когда мы описываем разные части целого, мы используем такие понятия, как половина (1/2), треть (1/3), четверть (1/4). Это удобно: отрезать половину пирога, пройти треть пути, закончить первую четверть в школе.
Чтобы называть сотые доли, придумали процент (1/100): с латинского языка — «за сто».
Процент — это одна сотая часть от любого числа. Обозначается вот так: %.
Как перевести проценты в десятичную дробь? Нужно убрать знак % и разделить число на 100. Например, 18% — это 18 : 100 = 0,18.
А если нужно перевести десятичную дробь в проценты — умножаем дробь на 100 и добавляем знак %. Например:
0,18 = 0,18 · 100% = 18%.
А вот, как перевести проценты в десятичную дробь — обратным действием:
18% : 100% = 0,18.
Выразить дробь в процентах просто. Для перевода сначала превратим ее в десятичную дробь, а потом используем предыдущее правило и переведем десятичную дробь в проценты:
Получи больше пользы от Skysmart:
-
Прокачивай знания на курсах математики.
-
Выбирай из 1200+ репетиторов по математике.
Записывайся на бесплатные курсы для детей.
Типы задач на проценты
В 5, 6, 7, 8, 9 классах в задачках по математике на проценты сравнивают части одного целого, определяют долю части от целого, ищут целое по части. Давайте рассмотрим все виды задач на проценты.
Тип 1. Нахождение процента от числа
Чтобы найти процент от числа, нужно число умножить на процент.
Задача. Блогер записал 500 видео для тиктока, но его продюсер сказал, что 20% из них — отстой. Сколько роликов придется перезаписать блогеру?
Как решаем: нужно найти 20% от общего количества снятых роликов (500).
20% = 0,2
500 * 0,2 = 100
Ответ: из общего количества снятых роликов продюсер забраковал 100 штук.
Тип 2. Нахождение числа по его проценту
Чтобы найти число по его проценту, нужно его известную часть разделить на то, сколько процентов она составляет от числа.
Задачи по поиску процента по числу и числа по его проценту очень похожи. Чтобы не перепутать — внимательно читаем условия, иначе зайдем в тупик или решим неправильно. Если в задании есть слова «который», «что составляет» и «который составляет» — перед нами задача по нахождению числа по его проценту.
Задача. Школьник решил 40 задач из учебника. Что составляет 16% числа всех задач в книге. Сколько всего задач собрано в этом учебнике?
Как решаем: мы не знаем, сколько всего задач в учебнике. Но нам известно, что 40 задач составляют 16% от общего количества. Запишем 16% в виде дроби: 0,16. Далее известную нам часть целого разделим на ту долю, которую она составляет от всего целого.
40 : 0,16 = 40 · 100 : 16 = 250
Ответ: 250 задач собрано в этом учебнике.
Тип 3. Нахождение процентного отношения двух чисел
Чтобы найти, сколько процентов одно число составляет от другого, нужно ту часть, о которой спрашивается, разделить на общее количество и умножить на 100%.
Задача. В секретном чатике 25 человек. 10 из них — девочки. Сколько процентов девочек в чате?
Как решаем: поделим 10 на 25, полученную дробь переведем в проценты.
10/25 * 100% = 2/5 * 100% = 2 * 100/5 = 40%
Ответ: в чатике 40% девочек.
Тип 4. Увеличение числа на процент
Чтобы увеличить число на некоторое количество процентов, можно найти число, которое выражает нужное количество процентов от данного числа, и сложить его с данным числом.
А можно воспользоваться формулой:
a = b · (1 + с : 100),
где a — число, которое нужно найти,
b — первоначальное значение,
c — проценты.
Задача. В прошлом месяце стикерпак стоил 110 рублей. А в этом месяце на 12% больше. Сколько стоит стикер-пак?
Как решаем: можно найти 12% от 110:
0,12 · 110 = 13,2.
Прибавить к исходному числу:
110 + 13,2 = 123,2 рубля.
Или можно воспользоваться формулой, тогда:
110 · (1 + 12 : 100) = 110 · 1,12 = 123,2.
Ответ: стоимость стикерпака в этом месяце — 123 рубля 20 копеек.
Тип 5. Уменьшение числа на процент
Чтобы уменьшить число на несколько процентов, можно найти число, которое выражает нужное количество процентов данного числа, и вычесть его от данного числа.
А можно воспользоваться формулой:
a = b · (1 − с : 100),
где a — число, которое нужно найти,
b — первоначальное значение,
c — проценты.
Задача. В прошлом году школу закончили 100 ребят. А в этом году выпускников на 25% меньше. Сколько выпускников в этом году?
Как решаем: можно найти 25% от 100:
0,25 · 100 = 25.
Вычесть из исходного числа 100 − 25 = 75 человек.
Или можно воспользоваться формулой, тогда:
100 · (1 − 25 : 100) = 75/p>
Ответ: 75 выпускников в этом году.
Тип 6. Задачи на простые проценты
Простые проценты — метод расчета процентов, при котором начисления происходят на первоначальную сумму вклада или долга.
Формула расчета выглядит так:
S = а · (1 + у · х : 100),
где a — исходная сумма,
S — сумма, которая наращивается,
x — процентная ставка,
y — количество периодов начисления процента.
Задача. Марии срочно понадобились деньги и она взяла на один год в долг 70 000 рублей под 8% ежемесячно. Сколько денег она вернет через год?
Как решаем: подставим в формулу данные из условий задачи.
70 000 · (1 + 12 · 8 : 100) = 137 200
Ответ: 137 200 рублей вернет Мария через год.
Тип 7. Задачи на сложные проценты
Сложные проценты — это метод расчета процентов, когда проценты прибыли прибавляют к сумме на остатке каждый месяц. В следующий раз проценты начисляют на эту новую сумму.
Формула расчета выглядит так:
S = а · (1 + х : 100)y,
где S — наращиваемая сумма,
a — исходная,
x — процентная ставка,
y — количество периодов начисления процента.
Задача. Антон хочет оформить вклад 10 000 рублей на 5 лет в банке, который дает 10% годовых. Какую сумму снимет Антон через 5 лет хранения денег в этом банке?
Как решаем: просто подставим в формулу данные из условий задачи:
10000 · (1 + 10 : 100)3 = 13 310
Ответ: 13 310 рублей снимет Антон через год.
Курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы. Вводный урок — бесплатно!
Способы нахождения процента
Деление числа на 100
При делении на 100 получается 1% от этого числа. Это правило можно использовать по-разному. Например, чтобы узнать процент от суммы, нужно умножить их на размер 1%. А чтобы перевести известное значение, следует разделить его на размер 1%. Этот метод отлично помогает в вопросе, как перевести целое число в проценты.
Представьте, что вы пришли в магазин за шоколадом. Обычно он стоит 250 рублей, но сегодня скидка 15%. Если у вас есть дисконтная карта магазина, шоколад обойдется вам в 225 рублей. Чем будет выгоднее воспользоваться: скидкой или картой?
Как решаем:
Переведем 15% в рубли:
250 : 100 = 2,5 — это 1% от стоимости шоколада,
значит 2,5 * 15 = 37,5 — это 15%.
250 - 37,5 = 212,5.
212,5 < 225.
Ответ: выгоднее воспользоваться скидкой 15%.
Составление пропорции
Пропорция — определенное соотношение частей между собой.
С помощью метода пропорции можно рассчитать любые %. Выглядит это так:
a : b = c : d.
Читается: а относится к b так, как с относится к d. Также важно помнить, что произведение крайних членов равно произведению средних. Чтобы узнать неизвестное из этого равенства, нужно решить простейшее уравнение.
Рассмотрим пример. На сколько выгодно покупать спортивную футболку за 1390 рублей при условии, что в магазине в честь дня всех влюбленных действует скидка 14%?
Как решаем:
Узнаем сколько стоит футболка сейчас в % соотношении:
100 - 14 = 86,
значит 1390 рублей это 86%.
Составим пропорцию:
1390 : 100 = х : 86,
х = 86 * (1390 : 100),
х = 1195,4.
1390 - 1195,4 = 194,6.
Ответ: купить спортивную футболку выгоднее на 194,6 рубля.
Соотношения чисел
Есть случаи, когда найти процент от числа проще, если представить проценты в виде простых дробей. В таком случае будем искать часть числа.
10% — десятая часть целого. Чтобы найти десять %, понадобится известное разделить на 10.
20% — пятая часть целого. Чтобы вычислить двадцать % от известного, его нужно разделить на 5.
25% — четверть целого. Чтобы вычислить двадцать пять %, понадобится известное разделить на 4.
50% — половина целого. Чтобы вычислить половину, нужно известное разделить на 2.
75% — три четверти целого. Чтобы вычислить семьдесят пять %, нужно известное значение разделить на 4 и умножить на 3.
Задача для тренировки. В черную пятницу вы нашли отличный пиджак со скидкой 25%. В обычный день он стоит 8500 рублей, но сейчас с собой есть только 6400 рублей. Хватит ли средств для покупки?
Как решаем:
100 - 25 = 75,
значит нужно заплатить 75% от первоначальной цены.
Используем правило соотношения чисел:
8500 : 4 * 3 = 6375.
Ответ: средств хватит, так как пиджак стоит 6375 рублей.
Задачи на проценты с решением
Как мы уже убедились, решать задачи на проценты совсем несложно. Для закрепления материала рассмотрим реальные примеры на проценты из учебников и несколько заданий для подготовки к ЕГЭ.
Задача 1. Организм взрослого человека на 70% состоит из воды. Какова масса воды в теле человека, который весит 76 кг?
Как решаем:
76 · 0,7 = 53,2 кг
Ответ: масса воды 53,2 кг
Задача 2. Цена товара понизилась на 40%, затем еще на 25%. На сколько процентов понизилась цена товара по сравнению с первоначальной ценой?
Как решаем:
Обозначим первоначальную цену товара через х. После первого понижения цена станет равной.
х - 0,4х = 0,6x
Второе понижение цены составляет 25% от новой цены 0,6х, поэтому после второго понижения получим:
0,6х - 0,25 * 0,6x = 0,45x
После двух понижений изменение цены составит:
х - 0,45x = 0,55х
Так как величина 0,55x составляет 55% от величины x, то цена товара понизилась на 55%.
Ответ: 55%.
Задача 3. Четыре пары брюк дешевле одного пальто на 8%. На сколько процентов пять пар брюк стоят дороже, чем одно пальто?
Как решаем:
По условиям задачи стоимость четырех пар брюк — это 92% от стоимости пальто
100 - 8 = 92
Получается, что стоимость одной пары брюк — это 23% стоимости пальто.
92 : 4 = 23
Теперь умножим стоимость одной пары брюк на пять и узнаем, что пять пар брюк обойдутся в 115% стоимости пальто.
23 * 5 = 115
Ответ: пять пар брюк на 15% дороже, чем одно пальто.
Задача 4. Семья состоит из трех человек: муж, жена и дочь-студентка. Если зарплата мужа вырастет в два раза, общий доход семьи возрастет на 67%. Если дочери в три раза урежут стипендию, общий доход этой семьи уменьшится на 4%. Вычислить, какой процент в общий доход семьи приносит заработок жены.
Как решаем:
По условиям задачи общий доход семьи напрямую зависит от доходов мужа. Благодаря увеличению зарплаты общий доход семьи вырастет на 67%. Значит, зарплата мужа составляет как раз 67% от общего дохода.
Если стипендия дочери уменьшится в три раза (т.е. на 1/3), останется 2/3 — это и есть 4%, на которые уменьшился бы семейных доход.
Можно составить простую пропорцию и выяснить, что раз 2/3 стипендии — это 4% дохода, то вся стипендия — это 6%.
А теперь отнимем от всего дохода вклад мужа и дочери и узнаем, какой процент составляет заработок жены в общем доходе семьи: 100 – 67 – 6 = 27.
Ответ: заработок жены составляет 27%.
Задача 5. В свежих абрикосах 90% влаги, а в сухофрукте кураге только 5%. Сколько килограммов абрикосов нужно, чтобы получить 20 килограммов кураги?
Как решаем:
Исходя из условия, в абрикосах 10% питательного вещества, а в кураге в концентрированном виде — 95%.
Поэтому в 20 килограммах кураги 20 * 0,95 = 19 кг питательного вещества.
Значит, 19 килограммов питательного вещества в абрикосах — это 10% веса свежих абрикосов. Найдем число по проценту.
19 : 0,1 = 190
Ответ: 190 кг свежих абрикосов потребуется для изготовления 20 кг кураги.
