Сложение чисел с разными знаками и отрицательных чисел (6 класс) подчиняется двум фундаментальным правилам модулей: 1) чтобы сложить два отрицательных числа, нужно сложить их модули и поставить перед результатом знак «минус (−)»: −a + (−b) = −(a + b); 2) чтобы сложить два числа с РАЗНЫМИ знаками, нужно из большего модуля вычесть меньший модуль и поставить знак того числа, у которого модуль БОЛЬШЕ!
- Правило 1 — Два минуса при сложении («долг плюс долг = общий долг»):
−5 + (−8) = −5 − 8 = −(5 + 8) = −13(внимание: «минус на минус даёт плюс» работает ТОЛЬКО при умножении, а при сложении двух долгов получается большой минус!). - Правило 2 — Разные знаки («доход и расход»): сравниваем модули
|a|и|b|: ставим знак победителя (у кого модуль больше) и вычитаем(|больший| − |меньший|):−12 + 5 = −(12 − 5) = −7;−4 + 10 = +(10 − 4) = +6. - Замена вычитания сложением:
a − b = a + (−b); а два минуса подряд перед скобкой дают плюс: a − (−b) = a + b!
Правило для бланка ОГЭ и ЕГЭ: главная путаница 6–7 классов: при виде примера −4 − 6 ученики вспоминают «минус на минус даёт плюс» и пишут +10! Запомните: здесь НЕТ знака умножения — это сложение двух отрицательных чисел (−4) + (−6) = −10 («4 рубля долга да ещё 6 рублей долга = 10 рублей долга»)!
2. Подстановка в формулу (Ставь знак БОЛЬШЕГО модуля и вычитай: −12 + 5 = −(12 − 5) = −7): 1) Модуль |−15| = 15 больше модуля |9| = 9 ⇒ в ответе будет знак «−»
3. Итоговый ответ: 2) Вычитаем из большего модуля меньший: −(15 − 9) = −6
1. Главные формулы и правила темы «Сложение чисел с разными знаками»
2. Подробный теоретический разбор, свойства и наглядные схемы
Сложение чисел с разными знаками - это процесс, при котором из большего модуля одного числа вычитается меньший модуль другого числа. Затем к результату добавляется знак числа с большим модулем. Например, для чисел -7 и 3 вычисление будет следующим:
- |7| - |3| = 4
- знак - (потому что у -7 больший модуль)
- итого: -4
Для кого эта статья:
- студенты, изучающие математику
- учителя и преподаватели начальных классов
- родители, помогающие детям с домашней работой
Получи больше пользы от Skysmart:
-
Прокачивай знания на курсах математики
-
Выбирай из 1200+ репетиторов по математике
Записывайся на бесплатные курсы для детей
Основные определения
Целые числа — это множество чисел, которые состоят из натуральных чисел, целых отрицательных чисел и нуля.
Отрицательные целые числа — это целые числа со знаком «минус». Они всегда меньше нуля. Примеры целых отрицательных чисел: -1, -945, -20.
Положительные целые числа — это целые числа со знаком «плюс». Они всегда больше нуля. Примеры положительных целых чисел: 11, 500, 1387.
У каждого положительного числа есть число-близнец, которое отличается только тем, что перед ним стоит знак минус. Такие числа называются противоположными.
Противоположные числа не равны друг другу, но у них есть общее — модуль. Модуль у противоположных чисел одинаковый: у положительного числа он равен самому числу, а у отрицательного — противоположному, то есть положительному. Например:
- ∣8∣ = 8, ∣-8∣ = 8.
Действительные числа — это числа, которые могут быть записаны в виде конечной или бесконечной десятичной дроби.
Рациональные числа — это числа, которые можно представить в виде положительной или отрицательной обыкновенной дроби или числа ноль.
Правило сложения чисел с разными знаками
Положительное число можно рассматривать как доход, а отрицательное — как расходы или долг. Чтобы понять, сколько мы заработали или потратили, нужно смотреть на модули этих чисел.
Например, родители выдали триста рублей на карманные расходы. Если в конце недели у нас осталось немного денег — значит расходов было меньше, чем дохож. А если нам пришлось попросить еще 50 рублей на наклейки — расходы привысили доход. Если же расходы равны доходам, то у нас будет нулевой остаток.
А теперь сформулируем правило сложения чисел с разными знаками.
|
Чтобы сложить положительное и отрицательное число, нужно:
|
Это правило сводит сложение чисел с разными знаками к вычитанию из большего положительного числа меньшее число. В результате сложения положительного и отрицательного числа может получиться: положительное число, отрицательное число или нуль.
Вот, как выглядит эта последовательность на примере 2 + (-6) = -4:
| Знаки слагаемых | Знак суммы | Модули слагаемых | Модуль суммы | Разность модулей слагаемых | Сравнение знака суммы со знаками слагаемых |
| Разные | «−» | ∣2∣ = 2 ∣-6∣ = 6 |
∣-4∣ = 4 | ∣-6∣ - ∣2∣ = 4 6 - 2 = 4 |
Знак результата (-4) такой же, как и у числа, которое больше по модулю (-6) |
Повторим еще раз. Чтобы сложить числа с разными знаками:
- из большего модуля вычесть меньший модуль;
- в результате поставить знак слагаемого с большим модулем.
Алгоритм сложения чисел с разными знаками справедлива для целых чисел, для рациональных чисел и для действительных чисел.
Курсы подготовки к ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.
Примеры сложения чисел с разными знаками
Сложение чисел с разными знаками требует внимательности и последовательности. Рассмотрим примеры по правилу выше:
Пример 1. Сложить числа -8 и 1.
Как решаем:
Нам нужно сложить числа с разными знаками. Выполним все шаги по правилу сложения положительного и отрицательного числа.
- Сначала найдем модули слагаемых, они равны 8 и 1 соответственно.
- Модуль числа -8 больше, чем модуль числа 1. Запомним знак минус.
Теперь от большего модуля отнимаем меньший модуль:
8 - 1 = 7. - Осталось поставить знак минус перед полученным числом, получаем ответ: -7.
На этом сложение чисел с разными знаками завершено.
Ответ: (-8) + 1 = -7.
Пример 2. Сложить положительное число 
и отрицательное число -1,25.
Чтобы сложить рациональные числа с разными знаками, которые не являются целыми, их следует представить в виде обыкновенных или десятичных дробей.
Как решаем:
- Представим числа в виде обыкновенных дробей.
Для этого выполним переход от смешанного числа к неправильной дроби:
, и переводим десятичную дробь в обыкновенную:
- Теперь можно воспользоваться правилом сложения чисел с разными знаками.
Модули складываемых чисел равны 17/8 и 5/4. Чтобы нам было удобнее считать, приведем дроби к общему знаменателю — получаем 17/8 и 10/8. - Сравним обыкновенные дробей 17/8 и 10/8.
Так как 17>10, то
. Это значит, что слагаемое со знаком плюс имеет больший модуль, поэтому запоминаем знак плюс. - Теперь из большего модуля вычитаем меньший, то есть, выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:
Осталось перед полученным числом поставить знак плюс, получаем:
, то есть 7/8.
На этом сложение чисел с разными знаками завершено. Краткая запись решения выглядит так:
Пример 3. Чему равна сумма чисел 
и 
?
Как решаем:
Замечаем, что у складываемых чисел разные знаки, а их модули равны. Значит эти числа являются противоположными, а сумма противоположных чисел равна нулю.
Получается вот так: 
Ответ: 0.
Важно помнить, что при сложении действительных чисел с разными знаками результат можно записывать не в виде бесконечной десятичной дроби, а в виде числового выражения, которое содержит корни, степени, логарифмы и прочее.
- Например, результат сложения двух чисел с разными знаками -1 и π записывается так: π - 1.
3. Сводная таблица всех формул и свойств для контрольной, ОГЭ и ЕГЭ
| Условие / Правило | Рабочая формула и пример применения |
|---|---|
| Правило 1 — Два минуса при сложении («долг плюс долг = общий долг») | −5 + (−8) = −5 − 8 = −(5 + 8) = −13 (внимание: «минус на минус даёт плюс» работает ТОЛЬКО при умножении, а при сложении двух долгов получается большой минус!). |
| Правило 2 — Разные знаки («доход и расход») | сравниваем модули |a| и |b|: ставим знак победителя (у кого модуль больше) и вычитаем (|больший| − |меньший|): −12 + 5 = −(12 − 5) = −7; −4 + 10 = +(10 − 4) = +6. |
| Замена вычитания сложением | a − b = a + (−b); а два минуса подряд перед скобкой дают плюс: a − (−b) = a + b! |
4. Практикум: разбор реальных задач с пошаговым решением
1. −14 + 6 (разные знаки, |−14| > |6|): −(14 − 6) = −8.
2. −8 + (−11) (два отрицательных): −(8 + 11) = −19.
3. 9 − 16 = −(16 − 9) = −7. −5 − (−12) = −5 + 12 = +7.
1. Сгруппируем отдельно положительные числа и отдельно отрицательные: (7,8 + 2,2) + (−4,3 − 5,7).
2. Считаем круглые суммы: 10 + (−10) = 0.
1. К полудню: −9 + 6 = −3 °C.
2. К вечеру: −3 − 4 = −7 °C.
5. Контрольный чек-лист: частые ошибки и ловушки на экзамене
- Главное правило проверки ответа: главная путаница 6–7 классов: при виде примера −4 − 6 ученики вспоминают «минус на минус даёт плюс» и пишут +10! Запомните: здесь НЕТ знака умножения — это сложение двух отрицательных чисел (−4) + (−6) = −10 («4 рубля долга да ещё 6 рублей долга = 10 рублей долга»)!
- Контроль первой формулы (РАЗНЫЕ ЗНАКИ: ВЫЧТИ МОДУЛИ!): Если модули равны (противоположные числа): −a + a = 0 (Ставь знак БОЛЬШЕГО модуля и вычитай: −12 + 5 = −(12 − 5) = −7).
- Контроль второй формулы (ДВА ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ЧИСЛА И МИНУС ПЕРЕД ( − )): Два минуса подряд перед скобкой дают плюс: a − (−b) = a + b (−a + (−b) = −a − b = −(a + b) (сложи модули и поставь «−»!)).
Потренироваться самостоятельно с автопроверкой ответов можно в бесплатном тренажёре ЕГЭ от Skysmart: доступны разделы по базовой математике и профильной математике.
На онлайн-курсах по математике в Skysmart преподаватели разбирают каждый прототип ФИПИ на интерактивной доске и помогают довести решение задач первой и второй части до полного автоматизма.
6. Часто задаваемые вопросы (FAQ)
Какая главная формула в теме «Сложение чисел с разными знаками»?
Базовое соотношение темы: Ставь знак БОЛЬШЕГО модуля и вычитай: −12 + 5 = −(12 − 5) = −7, а также вторая ключевая формула: −a + (−b) = −a − b = −(a + b) (сложи модули и поставь «−»!). Подробный пример расчёта: Вычислить: −15 + 9 ➔ 1) Модуль |−15| = 15 больше модуля |9| = 9 ⇒ в ответе будет знак «−» ➔ 2) Вычитаем из большего модуля меньший: −(15 − 9) = −6.
На какой ловушке чаще всего теряют баллы на контрольной, ОГЭ и ЕГЭ?
Главное правило для бланка ответов: главная путаница 6–7 классов: при виде примера −4 − 6 ученики вспоминают «минус на минус даёт плюс» и пишут +10! Запомните: здесь НЕТ знака умножения — это сложение двух отрицательных чисел (−4) + (−6) = −10 («4 рубля долга да ещё 6 рублей долга = 10 рублей долга»)!
Где скачать шпаргалку со всеми формулами для печати?
В первом экране статьи доступна бесплатная PDF-шпаргалка формата А4 со всеми формулами и алгоритмами темы «Сложение чисел с разными знаками».
