Сложение чисел с разными знаками

На математике в 6 классе мы уже умеем складывать числа и понимаем, что плюс и минус — это разные знаки. Пора выйти на новый уровень и узнать, как правильно складывать числа с разными знаками.
  • Автор

    Лидия Казанцева

  • Дата публикации

    29.12.2020

  • Просмотры

    2296

Основные определения

Целые числа — это множество чисел, которые состоят из натуральных чисел, целых отрицательных чисел и нуля.

Отрицательные целые числа — это целые числа со знаком «минус». Они всегда меньше нуля. Примеры целых отрицательных чисел: -1, -945, -20.

Положительные целые числа — это целые числа со знаком «плюс». Они всегда больше нуля. Примеры положительных целых чисел: 11, 500, 1387.

У каждого положительного числа есть число-близнец, которое отличается только тем, что перед ним стоит знак минус. Такие числа называются противоположными.

Противоположные числа не равны друг другу, но у них есть общее — модуль. Модуль у противоположных чисел одинаковый: у положительного числа он равен самому числу, а у отрицательного — противоположному, то есть положительному. Например:

  • ∣8∣ = 8, ∣-8∣ = 8.

Действительные числа — это числа, которые могут быть записаны в виде конечной или бесконечной десятичной дроби.

Рациональные числа — это числа, которые можно представить в виде положительной или отрицательной обыкновенной дроби или числа ноль.

Правило сложения чисел с разными знаками

Положительное число можно рассматривать как доход, а отрицательное — как расходы или долг. Чтобы понять, сколько мы заработали или потратили, нужно смотреть на модули этих чисел.

Например, родители выдали триста рублей на карманные расходы. Если в конце недели у нас осталось немного денег — значит расходов было меньше, чем дохож. А если нам пришлось попросить еще 50 рублей на наклейки — расходы привысили доход. Если же расходы равны доходам, то у нас будет нулевой остаток.

А теперь сформулируем правило сложения чисел с разными знаками.

Чтобы сложить положительное и отрицательное число, нужно:

 
  1. Найти модули слагаемых — то есть этих чисел.

  2. Сравнить полученные числа.
    Если они равны, то исходные слагаемые противоположны друг другу (те самые близнецы) — их сумма равна нулю. А если же числа не равны, то нужно запомнить знак числа, модуль которого больше.

  3. Из большего модуля вычесть меньший.

  4. Перед полученным числом поставить знак того слагаемого, модуль которого больше.

Это правило сводит сложение чисел с разными знаками к вычитанию из большего положительного числа меньшее число. В результате сложения положительного и отрицательного числа может получиться: положительное число, отрицательное число или нуль.

Вот, как выглядит эта последовательность на примере 2 + (-6) = -4:

 
Знаки слагаемых Знак суммы Модули слагаемых Модуль суммы Разность модулей слагаемых Сравнение знака суммы со знаками слагаемых
Разные «−» ∣2∣ = 2
∣-6∣ = 6
∣-4∣ = 4 ∣-6∣ - ∣2∣ = 4
6 - 2 = 4
Знак результата (-4) такой же, как и у числа, которое больше по модулю (-6)

Повторим еще раз. Чтобы сложить числа с разными знаками:

  • из большего модуля вычесть меньший модуль;
  • в результате поставить знак слагаемого с большим модулем.

Алгоритм сложения чисел с разными знаками справедлива для целых чисел, для рациональных чисел и для действительных чисел.

Примеры сложения чисел с разными знаками

Сложение чисел с разными знаками требует внимательности и последовательности. Рассмотрим примеры по правилу выше:

Пример 1. Сложить числа -8 и 1.

Как решаем:

Нам нужно сложить числа с разными знаками. Выполним все шаги по правилу сложения положительного и отрицательного числа.

 
  1. Сначала найдем модули слагаемых, они равны 8 и 1 соответственно.

  2. Модуль числа -8 больше, чем модуль числа 1. Запомним знак минус.
    Теперь от большего модуля отнимаем меньший модуль:
    8 - 1 = 7.

  3. Осталось поставить знак минус перед полученным числом, получаем ответ: -7.
    На этом сложение чисел с разными знаками завершено.

Ответ: (-8) + 1 = -7.

Пример 2. Сложить положительное число Положительное число и отрицательное число -1,25.

Чтобы сложить рациональные числа с разными знаками, которые не являются целыми, их следует представить в виде обыкновенных или десятичных дробей.

Как решаем:

 
  1. Представим числа в виде обыкновенных дробей.
    Для этого выполним переход от смешанного числа к неправильной дроби:
    Неправильная дробь , и переводим десятичную дробь в обыкновенную:
    Обыкновенная дробь

  2. Теперь можно воспользоваться правилом сложения чисел с разными знаками.
    Модули складываемых чисел равны 17/8 и 5/4. Чтобы нам было удобнее считать, приведем дроби к общему знаменателю — получаем 17/8 и 10/8.

  3. Сравним обыкновенные дробей 17/8 и 10/8.
    Так как 17>10, то Сравнение дробей. Это значит, что слагаемое со знаком плюс имеет больший модуль, поэтому запоминаем знак плюс.

  4. Теперь из большего модуля вычитаем меньший, то есть, выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:
    Вычитание дробей
    Осталось перед полученным числом поставить знак плюс, получаем:
    Поставить знак плюс , то есть 7/8.
    На этом сложение чисел с разными знаками завершено. Краткая запись решения выглядит так:
    Краткая запись решения

Пример 3. Чему равна сумма чисел Число 1 и Число 2 ?

Как решаем:

Замечаем, что у складываемых чисел разные знаки, а их модули равны. Значит эти числа являются противоположными, а сумма противоположных чисел равна нулю.

Получается вот так: Cумма противоположных чисел

Ответ: 0.

Важно помнить, что при сложении действительных чисел с разными знаками результат можно записывать не в виде бесконечной десятичной дроби, а в виде числового выражения, которое содержит корни, степени, логарифмы и прочее.

  • Например, результат сложения двух чисел с разными знаками -1 и π записывается так: π - 1.

Еще больше практики — в онлайн-школе Skysmart. Мы подобрали для вашего ребенка тысячи увлекательных заданий: от простых логических загадок до хитрых головоломок, над которыми интересно подумать.

Ученики занимаются на интерактивной платформе с мгновенной автоматической проверкой, проходят игры и квесты, а еще отслеживают прогресс в личном кабинете. Приходите на бесплатный вводный урок математики, чтобы подружиться с ней раз раз и навсегда.

 
Бесплатный вводный урок
Шаг 1 из 2. Данные ученика
Класс
Цель обучения
  • 0
  • 0
  • 0
  • 0
  • 0
  • 0