Умножение многочлена на многочлен

Многоточие, многолетие, многоножка, многочлен — такие разные слова с одним началом. Одно из этих понятий активно изучают на алгебре в 7 классе. Эта статья как раз про него: умножение многочлена на многочлен.
  • Автор

    Лидия Казанцева

  • Дата публикации

    31.03.2021

  • Просмотры

    151

Определение многочлена

Прежде чем мы расскажем, как умножить один многочлен на другой многочлен, разберемся в основных понятиях.

Одночлен — это произведение чисел, переменных и степеней.

Многочлен— алгебраическое выражение, которое представляет из себя сумму или разность нескольких одночленов.

Стандартный вид многочлена — представление многочлена в виде суммы одночленов стандартного вида, среди которых нет подобных одночленов.

Как привести многочлен к стандартному виду:

  1. Привести к стандартному виду все одночлены, которые входят в многочлен.

  2. Привести подобные члены.

Вспомним, как умножать многочлен на одночлен, двучлен на двучлен, трехчлен на трехчлен:

  • Правило умножения двучленов:

    (a + b) * (c + d) = ac + ad + bc + bd.

  • Правило умножения двучлена на трехчлен:

    (a + b + c) * (x + y) = ax + bx + cx + ay + by + cy.

  • Правило перемножения трехчленов:

    (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc.

Эти правила можно описать так: чтобы умножить один многочлен на другой, нужно каждый член первого умножить на каждый член второго многочлена. Затем полученные произведения сложить и привести результат к многочлену стандартного вида, если это возможно.

Правило умножения многочлена на многочлен

Рассмотрим пример, а после решения сформулируем правило умножения многочлена на многочлен:

  • Возьмем два многочлена (a + b) и (c + d) и выполним их умножение.
  • Сначала составим их произведение: (a + b)(c + d).
  • Теперь обозначим (c + d) как x. После этой замены произведение примет вид: (a + b)x.
  • Выполним умножение многочлена на одночлен: (a + b)x = ax + bx.
  • Проведем обратную замену x на (c + d):
    a(c + d) + b(c + d). Преобразуем: ac + ad + bc + bd.
  • Как изменилось произведение исходных многочленов:
    (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd.
    Как раз так и выглядит формула умножения многочлена на многочлен.
Запоминаем!
Результат умножения многочлена на многочлен — всегда многочлен.

Правило умножения многочлена на многочлен

Чтобы умножить многочлен на многочлен, надо каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлена и все полученные произведения сложить.

Алгоритм умножения многочлена на многочлен:


  1. Первый член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлена. Второй член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлена. И так далее.

  2. Сложить полученные произведения.

  3. Преобразовать полученную сумму в многочлен стандартного вида.

Запоминаем!
Умножение трех, четырех и большего количества многочленов нужно свести к последовательному умножению двух многочленов. То есть, сначала умножаем первые два многочлена, затем результат умножаем на третий многочлен, и этот результат умножаем на четвертый многочлен и так далее.

Рассмотрим пример умножения многочлена на многочлен:
(6x – 2a) * (4 – 3x).

Как решаем:

  • Умножим последовательно первый одночлен 6x из первой скобки на оба одночлена второй скобки.
  • Уумножим второй одночлен −2a первой скобки на оба одночлена второй скобки.

пример решение

Ответ: (6x – 2a) * (4 – 3x) = 24x – 18x2 – 8a + 6ax.

Рассмотрим пример умножения трех многочленов:
(x – 2) * (3x + 1) * (4x – 3).

Как решаем:

  • Умножим первый многочлен на второй. Результат запишем в скобках.
    пример решение рис 2
  • Перемножим получившийся многочлен и третий многочлен. Приведем подобные одночлены.
    пример решение рис 3

Ответ: (x – 2) * (3x + 1) * (4x – 3) = 12x3 – 29x2 + 7x + 6.

Теперь мы знаем все из темы умножения многочлена на многочлен. Осталось отточить на практике новый навык и ловить хорошие и отличные отметки на контрольных.

Примеры умножения многочлена на многочлен

Рассмотрим еще несколько примеров, чтобы закрепить пройденный материал.

Пример 1. Выполнить умножение многочленов:
2 − 3x и x2 − 7x + 1.

Как решаем:

Запишем произведение: (2 − 3x)(x2 − 7x + 1).

Составим сумму произведений каждого члена многочлена (2 − 3x) на каждый член многочлена (x2 − 7x + 1). Для этого первый член первого многочлена «2» умножим на каждый член второго многочлена: 2x2, 2(−7x) и 2*1.

Теперь второй член первого многочлена «−3x» умножим на каждый член второго многочлена: −3xx2, −3x(−7x) и −3x*1.

Из полученных выражений составим сумму: 2x2 + 2(−7x) + 2*1 − 3xx2 − 3x(−7x) − 3x*1.

Чтобы убедиться, что мы все сделали правильно, посчитаем количество членов в полученной сумме. Их шесть. Так и должно быть, так как исходные многочлены состоят из 2 и 3 членов: 2 * 3 = 6.

Осталось полученную сумму преобразовать в многочлен стандартного вида:

2x2 + 2(−7x) + 2*1 − 3xx2 − 3x(−7x) − 3x*1 = 2x2 − 14 x + 2 − 3x3 + 21x2 − 3x = (2x2 + 21x2) + (−14x − 3x) + 2 − 3x3 = 23x2 − 17x + 2 − 3x3.

Получается, что (2 − 3x)(x2 − 7x + 1) = 23x2 − 17x + 2 − 3x3.

Ответ: (2 − 3x)(x2 − 7x + 1) = 23x2 − 17x + 2 − 3x3.

Пример 2. Найти произведение трех многочленов:
x2 + xy − 1, x + y и 2y − 3.

Как решаем:

Запишем их произведение: (x2 + xy − 1)(x + y)(2y − 3).

Умножим первые два многочлена:

(x2 + xy − 1)(x + y) = x2x + x2y + xyx + xyy − 1x − 1y = x3 + 2x2y + xy2 − x − y.

Таким образом: (x2+ xy − 1)(x + y)(2y − 3) = (x3 + 2x2y + xy2 − x − y)(2y − 3).

Снова выполним умножение двух многочленов:

(x3 + 2x2y + xy2 − x − y)(2y − 3) = x32y + x3(−3) + 2x2y2y + 2x2y(−3) + xy22y + xy2(−3) − x2y − x(−3) − y2y − y(−3) = 2x3y − 3x3 + 4x2y2 − 6x2y + 2xy3 − 3xy2 − 2xy + 3x − 2y2 + 3y.

Ответ: (x2 + xy − 1)(x + y)(2y − 3) = 2x3y − 3x3 + 4x2y2 − 6x2y + 2xy3 − 3xy2 − 2xy + 3x − 2y2 + 3y.

Научиться умножать многочлен на многочлен и решать задачки любой сложности — помогут уроки в современной онлайн-школе Skysmart. Обучение проходит в интерактивном формате и с учетом индивидуальных целей ученика.

Запишитесь на бесплатное вводное занятие по алгебре и начните заниматься в удовольствие уже завтра!


Бесплатный вводный урок
Шаг 1 из 2. Данные ученика
Класс
Цель обучения
  • 0
  • 0
  • 0
  • 0
  • 0
  • 0