b733e4
Проверьте знания по математике бесплатно
Узнать бесплатно
Ваш ребёнок технарь или гуманитарий?

Узнайте бесплатно за 10 минут

Умножение многочлена на многочлен

Умножение многочлена на многочлен
70.7K

Многоточие, многолетие, многоножка, многочлен — такие разные слова с одним началом. Одно из этих понятий активно изучают на алгебре в 7 классе. Эта статья как раз про него: умножение многочлена на многочлен.

Для кого эта статья:

  • Ученики средней школы, готовящиеся к экзаменам по математике
  • Студенты, изучающие основы алгебры и многочлены
  • Преподаватели, ищущие материалы для объяснения умножения многочленов

Определение многочлена

Прежде чем мы расскажем, как умножить один многочлен на другой многочлен, разберемся в основных понятиях.

Одночлен — это произведение чисел, переменных и степеней.

Многочлен— алгебраическое выражение, которое представляет из себя сумму или разность нескольких одночленов.

Стандартный вид многочлена — представление многочлена в виде суммы одночленов стандартного вида, среди которых нет подобных одночленов.

Как привести многочлен к стандартному виду:

  1. Привести к стандартному виду все одночлены, которые входят в многочлен.

  2. Привести подобные члены.

Вспомним, как умножать многочлен на одночлен, двучлен на двучлен, трехчлен на трехчлен:

  • Правило умножения двучленов:

    (a + b) * (c + d) = ac + ad + bc + bd.

  • Правило умножения двучлена на трехчлен:

    (a + b + c) * (x + y) = ax + bx + cx + ay + by + cy.

  • Правило перемножения трехчленов:

    (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc.

Эти правила можно описать так: чтобы умножить один многочлен на другой, нужно каждый член первого умножить на каждый член второго многочлена. Затем полученные произведения сложить и привести результат к многочлену стандартного вида, если это возможно.

Modal window id: popup-development

Правило умножения многочлена на многочлен

Рассмотрим пример, а после решения сформулируем правило умножения многочлена на многочлен:

  • Возьмем два многочлена (a + b) и (c + d) и выполним их умножение.
  • Сначала составим их произведение: (a + b)(c + d).
  • Теперь обозначим (c + d) как x. После этой замены произведение примет вид: (a + b)x.
  • Выполним умножение многочлена на одночлен: (a + b)x = ax + bx.
  • Проведем обратную замену x на (c + d):
    a(c + d) + b(c + d). Преобразуем: ac + ad + bc + bd.
  • Как изменилось произведение исходных многочленов:
    (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd.
    Как раз так и выглядит формула умножения многочлена на многочлен.

Запоминаем!
Результат умножения многочлена на многочлен — всегда многочлен.

Правило умножения многочлена на многочлен

Чтобы умножить многочлен на многочлен, надо каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлена и все полученные произведения сложить.

Алгоритм умножения многочлена на многочлен:


  1. Первый член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлена. Второй член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлена. И так далее.

  2. Сложить полученные произведения.

  3. Преобразовать полученную сумму в многочлен стандартного вида.

Запоминаем!
Умножение трех, четырех и большего количества многочленов нужно свести к последовательному умножению двух многочленов. То есть, сначала умножаем первые два многочлена, затем результат умножаем на третий многочлен, и этот результат умножаем на четвертый многочлен и так далее.

Рассмотрим пример умножения многочлена на многочлен:
(6x – 2a) * (4 – 3x).

Как решаем:

  • Умножим последовательно первый одночлен 6x из первой скобки на оба одночлена второй скобки.
  • Уумножим второй одночлен −2a первой скобки на оба одночлена второй скобки.

пример решение

Ответ: (6x – 2a) * (4 – 3x) = 24x – 18x2 – 8a + 6ax.

Рассмотрим пример умножения трех многочленов:
(x – 2) * (3x + 1) * (4x – 3).

Как решаем:

  • Умножим первый многочлен на второй. Результат запишем в скобках.
    пример решение рис 2
  • Перемножим получившийся многочлен и третий многочлен. Приведем подобные одночлены.
    пример решение рис 3

Ответ: (x – 2) * (3x + 1) * (4x – 3) = 12x3 – 29x2 + 7x + 6.

Теперь мы знаем все из темы умножения многочлена на многочлен. Осталось отточить на практике новый навык и ловить хорошие и отличные отметки на контрольных.

Курсы ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.

Получи больше пользы от Skysmart:

Примеры умножения многочлена на многочлен

Рассмотрим еще несколько примеров, чтобы закрепить пройденный материал.

Пример 1. Выполнить умножение многочленов:
2 − 3x и x2 − 7x + 1.

Как решаем:

Запишем произведение: (2 − 3x)(x2 − 7x + 1).

Составим сумму произведений каждого члена многочлена (2 − 3x) на каждый член многочлена (x2 − 7x + 1). Для этого первый член первого многочлена «2» умножим на каждый член второго многочлена: 2x2, 2(−7x) и 2*1.

Теперь второй член первого многочлена «−3x» умножим на каждый член второго многочлена: −3xx2, −3x(−7x) и −3x*1.

Из полученных выражений составим сумму: 2x2 + 2(−7x) + 2*1 − 3xx2 − 3x(−7x) − 3x*1.

Чтобы убедиться, что мы все сделали правильно, посчитаем количество членов в полученной сумме. Их шесть. Так и должно быть, так как исходные многочлены состоят из 2 и 3 членов: 2 * 3 = 6.

Осталось полученную сумму преобразовать в многочлен стандартного вида:

2x2 + 2(−7x) + 2*1 − 3xx2 − 3x(−7x) − 3x*1 = 2x2 − 14 x + 2 − 3x3 + 21x2 − 3x = (2x2 + 21x2) + (−14x − 3x) + 2 − 3x3 = 23x2 − 17x + 2 − 3x3.

Получается, что (2 − 3x)(x2 − 7x + 1) = 23x2 − 17x + 2 − 3x3.

Ответ: (2 − 3x)(x2 − 7x + 1) = 23x2 − 17x + 2 − 3x3.

Пример 2. Найти произведение трех многочленов:
x2 + xy − 1, x + y и 2y − 3.

Как решаем:

Запишем их произведение: (x2 + xy − 1)(x + y)(2y − 3).

Умножим первые два многочлена:

(x2 + xy − 1)(x + y) = x2x + x2y + xyx + xyy − 1x − 1y = x3 + 2x2y + xy2 − x − y.

Таким образом: (x2+ xy − 1)(x + y)(2y − 3) = (x3 + 2x2y + xy2 − x − y)(2y − 3).

Снова выполним умножение двух многочленов:

(x3 + 2x2y + xy2 − x − y)(2y − 3) = x32y + x3(−3) + 2x2y2y + 2x2y(−3) + xy22y + xy2(−3) − x2y − x(−3) − y2y − y(−3) = 2x3y − 3x3 + 4x2y2 − 6x2y + 2xy3 − 3xy2 − 2xy + 3x − 2y2 + 3y.

Ответ: (x2 + xy − 1)(x + y)(2y − 3) = 2x3y − 3x3 + 4x2y2 − 6x2y + 2xy3 − 3xy2 − 2xy + 3x − 2y2 + 3y.


Комментарии

Открыть диалоговое окно с формой по клику
Бесплатные шпаргалки
Бесплатные шпаргалки
Бесплатные шпаргалки
Проверьте знания по математике бесплатно
  • Оставьте заявку на бесплатное тестирование
  • Приходите на тестирование вместе с ребёнком
  • Получите оценку знаний и конкретные шаги, чтобы прокачать их
Шаг 1 из 2
Шаг 1 из 2
Шаг 2 из 2