Параллельность прямых: признаки, свойства углов при секущей и калькулятор
2. Смежные и односторонние с ним углы дополняют его до 180°: 180° − 65° = 115°.
3. Биссектрисы двух односторонних углов пересекаются строго под прямым углом 90°!
Метрика экзаменационных требований: структура заданий ФИПИ
| Параметр оценивания | Период (2024–2025) | Регламент (2027) |
|---|---|---|
| Утверждения в задании №19 ОГЭ | Ловушка с формулировкой аксиомы параллельных | Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести ТОЛЬКО ОДНУ прямую, параллельную данной (утверждение про «несколько прямых» — ложное!). |
| Биссектрисы углов параллелограмма и трапеции | Свойство накрест лежащих углов | Биссектриса угла параллелограмма или трапеции отсекает от них равнобедренный треугольник, а биссектрисы соседних (односторонних) углов пересекаются под углом 90°. |
Определение параллельности прямых
Начнем с главного — определимся, какие прямые параллельны согласно евклидовой геометрии. Мы недаром упомянули Евклида, ведь именно в его трудах, написанных за 300 лет до н. э., до нас дошли первые упоминания о параллельности.
|
Параллельными называются прямые в одной плоскости, не имеющие точек пересечения, даже если их продолжать бесконечно долго. Обозначаются они следующим образом: a II b. |
Казалось бы, здесь все просто, но со времен Евклида над определением параллельных прямых и признаками параллельности прямых бились лучшие умы. Особый интерес вызывал 5-й постулат древнегреческого математика: через точку, которая не относится к прямой, в той же плоскости можно провести только одну прямую, параллельную первой. В XIX веке российский математик Н. Лобачевский смог опровергнуть постулат и указать на условия, при которых возможно провести как минимум 2 параллельные прямые через одну точку.
Впрочем, поскольку школьная программа ограничена евклидовой геометрией, вышеуказанное утверждение мы принимаем как аксиому.
|
На плоскости через любую точку, не принадлежащую некой прямой, можно провести единственную прямую, которая была бы ей параллельна. |
Получи больше пользы от Skysmart:
-
Подготовься к ОГЭ на пятёрку
-
Подготовься к ЕГЭ на высокие баллы
Записывайся на бесплатные курсы для детей
Решай задания в бесплатном тренажёре ЕГЭ
Свойства и признаки параллельных прямых
Есть ряд признаков, по которым можно определить, что одна прямая параллельна другой. К счастью, свойства и признаки параллельности прямых тесно связаны, поэтому не придется запоминать много информации.
Начнем со свойств. Для этого проведем третью прямую, пересекающую параллельные прямые — она будет называться секущей. В результате у нас образуется 8 углов.
Если секущая проходит через две параллельные прямые, то:
- два внутренних односторонних угла образуют в сумме 180°:
∠4 + ∠5 = 180°; ∠3 + ∠6 = 180°.
- два внутренних накрест лежащих угла равны между собой:
∠3 = ∠5, ∠4 = ∠6.
- два соответственных угла равны между собой:
∠1 = ∠5, ∠3 = ∠7, ∠4 = ∠8, ∠2 = ∠6.
|
Если секущая образует перпендикуляр с одной из параллельных прямых, то она будет перпендикулярна и другой. |
Вышеуказанные свойства являются одновременно признаками, по которым мы можем сделать вывод о параллельности прямых. Причем достаточно установить и доказать лишь один признак — остальные будут к нему прилагаться.
А сейчас посмотрим, как все это помогает решать задачи и практиковаться в определении параллельности двух прямых.
Задача 1
Прямые MN и KP пересекают две другие прямые, образуя несколько углов. Известно, что ∠1 = 73°; ∠3 = 92°; ∠2 = 73°. Требуется найти величину ∠4.
Решение
В данном случае ∠3 и ∠MPK являются вертикальными, следовательно ∠MPK = ∠3 = 92°.
Поскольку ∠1 и ∠2 являются соответственными, их равенство говорит о том, что MN II KP.
Согласно другому свойству параллельных прямых ∠4 + ∠MPK = 180°.
∠4 = 180° - 92° = 88°
Задача 2
Две параллельные прямые а и b удалены друг от друга на расстояние 27 см. Секущая к этим прямым образует с одной из них угол в 150°. Требуется найти величину отрезка секущей, расположенного между а и b.
Решение
Поскольку а II b, значит ∠MKD + ∠KDN = 180°.
Соответственно, ∠MKD = 180° - ∠KDN = 180° - 150° = 30°.
Теперь рассмотрим треугольник KDM. Мы знаем, что отрезок DM представляет собой расстояние между прямыми а и b, а значит, DM ┴ b и наш треугольник является прямоугольным.
Поскольку катет, противолежащий углу в 30°, равен ½ гипотенузы, DM = 1/2DK.
DK = 2DM = 2 х 27 = 54 (см)
Практикум ОГЭ и ЕГЭ 2027: разбор типовых задач
1. Сумма внутренних односторонних углов всегда равна 180°: α + β = 180°.
2. По условию их разность равна 46°: α − β = 46°.
3. Сложим оба уравнения: 2α = 180° + 46° = 226° ⇒ α = 113° (меньший угол β = 180° − 113° = 67°).
Часто задаваемые вопросы (FAQ)
| Вопрос | Ответ |
|---|---|
Всегда ли две прямые, которые не пересекаются, являются параллельными? |
На плоскости (в планиметрии) — да, всегда! Но в трёхмерном пространстве (в стереометрии) две непересекающиеся прямые могут лежать в разных плоскостях и называться скрещивающимися. |
Почему сумма углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, равна 180°? |
Потому что основания трапеции по определению параллельны, а боковая сторона является секущей. Значит, углы при боковой стороне — это внутренние односторонние углы! |
