Механические колебания и волны

Что такое колебания и волны. Периодические и механические колебания

Колебания — повторяющиеся около точки равновесия изменения состояния системы.

Проще говоря, для колебания необходимы:

1. Система — объект физических исследований.
2. Определённые состояния этой системы.
3. Изменение этих состояний, повторяющееся со временем.

Например, под колебаниями температуры воздуха подразумевается периодические изменения состояния (нагретости) системы (воздух) относительно определённой точки (к примеру, относительно нуля — 0°С).

Или колебания струны гитары: изменение положения струны в пространстве относительно «точки покоя».

Колебания можно классифицировать по-разному. Например, по физической природе:

1. Механические.
2. Электромагнитные.
3. Квантовые (квантовый осциллятор).
4. Смешанные.

Механические колебания — колебательные (повторяющиеся во времени) движения тела или системы тел. Примером механических колебаний является движение струны музыкального инструмента, движение иголки швейной машины, а также возникновение звука и вибрации.

Электромагнитные колебания — периодические изменения напряжённости и индукции электромагнитного поля.

Обратите внимание, как определение колебаний осуществляется в этом случае:

1. Система — электромагнитное поле.
2. Состояние — характеристика напряжённости и индукции.
3. Движение (изменение значений этих физических величин) во времени.

Примером электромагнитных колебаний являются радиоволны, микроволны, инфракрасное излучение, видимый свет, ультрафиолетовое излучение, рентгеновские лучи, гамма-лучи.

Колебания, которые мы будем рассматривать, обладают общим свойством — периодичностью, т. е. движения повторяются через равные промежутки времени. Но в природе существуют также и затухающие, апериодические, квазипериодические и другие колебания.

Волна — это процесс распространения колебаний в пространстве и времени, при котором энергия передаётся от одной точки к другой без переноса вещества.

Свободные и вынужденные колебания

По характеру взаимодействия с окружающей средой колебания бывают:

1. Свободные (собственные) — движение происходит за счёт исходного (своего собственного) запаса энергии. Например: колебание груза на нити, движение маятника, движение струны музыкального инструмента.
2. Вынужденные — колебания, происходящие по причине внешнего воздействия. Например: колебания цветка из-за ветра, колебание качели из-за движения детей, колебательные движения руки человека (он принял решение сделать это движение и усилием мускулов совершает взмах).
3. Автоколебания — это колебания в системе, которые поддерживаются за счёт внутренних источников энергии без внешнего периодического воздействия. В таких системах энергия передаётся в строго определённые моменты, что поддерживает постоянную амплитуду колебаний. Примером может служить работа двигателя внутреннего сгорания.

Обратите внимание

• Свободные колебания — систему выводят из равновесия, и она движется за счёт своего запаса сил.
• Вынужденные колебания — за движение системы отвечает воздействие внешних сил.
• Автоколебание — есть внутренний источник энергии, где эта энергия подаётся в определённые моменты.

170.4K

Какая профессия тебе подходит? Узнай за 10 минут!

Получи больше пользы от Skysmart:

• Подтяни оценки на курсах по физике.

• Выбирай из 890+ репетиторов по физике.

• Записывайся на бесплатные курсы для детей.

Амплитуда, период, частота колебаний

Колебания характеризуются следующими величинами:

1. Амплитуда — максимальное смещение относительно точки равновесия. Амплитуда обозначается буквой А и измеряется в СИ в метрах.

2. Период — время одного полного колебания. Период обозначается буквой Т, измеряется в СИ в секундах. Период можно рассчитать по формуле:

   , где

   t — полное время всех колебаний, [с],

   N — количество колебаний.

3. Частота — величина, обратная периоду и характеризующая число полных колебаний в единицу времени. Обозначается буквой (ню) и измеряется в герцах (Гц).

   Обратите внимание: .

   Частоту можно рассчитать по формуле: , где

   t — полное время всех колебаний, [с],

   N — количество колебаний.

4. Циклическая частота — это величина, характеризующая скорость колебательного процесса. Она показывает, сколько полных колебаний (в радианах) происходит за единицу времени. Её единица измерения — радианы в секунду (рад/с), обозначение — буква (омега).

   , где

   T — период колебаний, [c],

   — частота колебаний, [Гц],

   — число пи, математическая константа.

Период и амплитуду колебаний можно найти с помощью графика.

Обратите внимание

Во время поиска амплитуды внимательно смотрите, где находится точка равновесия системы — она должна располагаться строго между точками максимальных отклонений в обе стороны (график может быть немного смещён относительно оси ОУ).

Период на графике — это модуль изменения времени между соседними точками в равных положениях (например, между двумя вершинами графика).

Циклическую и обычную частоту можно определить только через формулу!

Гармонические колебания. Энергия гармонических колебаний

Что такое гармонические колебания

Гармонические колебания — это колебания, в которых изменение состояний системы происходит по гармоническому закону (зависимость величин, их изменения осуществляются с помощью функции синуса или косинуса).

Представьте себе синусоиду или косинусоиду. Они — периодические, симметричные, «гармоничные», «идеальные».

К гармоническим колебаниям относят незатухающие, вынужденные или автоколебания. Свободные колебания — затухающие ( потому что исходного запаса энергии не хватает на бесконечное продолжение движения), но некоторые части колебаний можно считать приближенными к гармоническим и описывать соответствующими законами.

Гармонические колебания подчиняются математическим правилам, стоящим в основе тригонометрических функций, и чаще всего выражаются следующими уравнениями зависимости координаты от времени:

, где

x — координата, [м],

А — амплитуда колебаний, [м],

— фаза колебаний,

циклическая частота, [рад/с],

t — время, [с],

— начальная фаза, положение взятое при t = 0, [рад].

Так как , уравнения гармонических колебаний можно записать и так:

В уравнении гармонических колебаний выбор синуса или косинуса зависит от начальных условий системы, то есть от того, как начинается движение в момент времени t = 0.

Когда используют синус или косинус?

1. Косинус чаще используется, если в момент t = 0 колебание начинается с максимального отклонения, то есть положение тела . Если начальная фаза , это означает, что система начинает движение с максимального положения: .
2. Синус применяют, когда движение начинается с нулевого отклонения, но с максимальной скоростью, то есть x(0) = 0, но скорость .

Вы всегда можете перейти от одной тригонометрической функции к другой с помощью следующих преобразований:

Дифференцирование в уравнениях гармонических колебаний

Гармоническими колебаниями описывается не только зависимость координаты от времени. С помощью дифференциации (взятия производной) мы можем получить также и зависимости скорости и ускорения от времени.

Энергия гармонических колебаний

Энергия гармонических колебаний — это сумма потенциальной и кинетической энергии колеблющейся системы.

В процессе колебаний энергия периодически переходит из одного вида в другой, но полная механическая энергия системы остаётся постоянной (в идеализированном случае без потерь, но в реальной жизни такое невозможно).

В крайних точках (максимальное смещение) вся энергия сосредоточена в потенциальной форме, а кинетическая энергия равна нулю.

В положении равновесия (когда x = 0) вся энергия преобразуется в кинетическую, так как скорость максимальна, а потенциальная энергия равна нулю.

С изменением баланса потенциальной и кинетической энергии познакомимся более подробно на примере математического и пружинного маятников.

Осциллятор. Математический маятник. Пружинный маятник

Что такое осциллятор?

Осциллятор — это система, которая совершает периодические колебания вокруг положения равновесия.

Примером может быть колеблющаяся струна или электрический контур с индуктивностью и ёмкостью. Осцилляторы используются для описания множества процессов, как механических, так и электромагнитных.

Осцилляторы играют ключевую роль во многих технологиях и природных процессах. Например, кварцевый осциллятор используется в часах и компьютерах для создания стабильных колебаний с точной частотой, что помогает синхронизировать время или процессы. В природе осцилляторы встречаются в биологических ритмах — сердцебиение или циркадные ритмы (суточные колебания активности организма) можно рассматривать как биологические осцилляторы.

Также примерами осцилляторов являются математический и пружинный маятники.

Математический маятник

Математический маятник — это система, состоящая из маленького груза, подвешенного на невесомой нерастяжимой нити. Он совершает колебания под действием силы тяжести.

Период колебания математического маятника не зависит от массы груза, а только от длины нити и ускорения свободного падения! Его можно рассчитать по формуле:

, где

— число пи, математическая константа,

l — длина нити маятника, [м],

— ускорение свободного падения, [м/c²].

В то время как циклическая частота:

В точках максимального отклонения маятник обладает максимальной потенциальной энергией, а в точке равновесия — максимальной кинетической энергией.

Математический маятник интересен тем, что его колебания можно использовать для измерения времени. Такие маятники применялись в старинных маятниковых часах. Также маятник Фуко, разновидность математического маятника, показал вращение Земли вокруг своей оси.

Пружинный маятник

Пружинный маятник — это система, состоящая из груза, прикреплённого к пружине. Когда груз отклоняется от положения равновесия, на него действует сила, описываемая законом Гука, и он начинает совершать гармонические колебания за счёт энергии сжатия или растяжения пружины.

Период колебаний пружинного маятника, в отличие от математического, зависит от массы груза, а также от жёсткости пружины:

, где

— число пи, математическая константа,

m — масса груза, [кг],

k — жёсткость пружины, [Н/кг].

Циклическая частота: .

Пружинный маятник обладает максимальной кинетической энергией при прохождении точки равновесия, и максимальной потенциальной — в точках максимального растяжение и сжатия (максимальные отклонения от точки равновесия).

Пружинный маятник — это основа для понимания множества систем с колебаниями, от автомобилей до электрических цепей. Он также лежит в основе принципа работы многих измерительных приборов, таких как весы, и моделирует колебательные процессы на атомарном уровне, например, колебания атомов в молекулах.

Примеры решения заданий по теме

Задача 1

Период колебаний потенциальной энергии пружинного маятника 1 с. Каким будет период её колебаний, если массу груза маятника и жесткость пружины уменьшить в 8 раз? Ответ дайте в секундах.

Решение

Период колебаний пружинного маятника вычисляется по формуле:

Таким образом, если одновременно уменьшить в 8 раз и массу груза, и жёсткость пружины, это никак не повлияет на период колебаний.

Ответ: 1 секунда.

Задача 2

В таблице представлены данные о положении точки, гармонически колеблющейся вдоль оси Ox в различные моменты времени.

x, м	0	2	5	10	13	15	13	10	5	2	0
t, с	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1

Чему равна амплитуда колебаний точки?

Решение

Проанализировав данные таблицы, можно сделать вывод: положение точки меняется относительно точки x = 0. Своего максимума отклонение достигает при t = 0,5 с и равно 15 м — это и есть амплитуда.

Ответ: 15 м.

Задача 3

Груз совершает гармонические колебания, двигаясь вдоль прямой линии. Зависимость координаты от времени представлена на графике.

Чему равна максимальная скорость движения тела? Ответ выразите в метрах в секунду.

Решение:

1. Запишем уравнение зависимости координаты от времени для гармонических колебаний:

   Почему косинус? По графику видно, что движение начинается из точки максимального отклонения.

2. Нам необходимо найти максимальную скорость движения тела. Помним, что скорость является первой производной от координаты:

3. В уравнение скорости входят такие величины: амплитуда, циклическая частота и начальная фаза.

   • По графику, амплитуда равна 3 см, А = 0,03 м (положению равновесия соответствует точка х = −1 см).
   • Начальная фаза равна нулю.
   • Период колебаний равен .
   • Циклическая частота рад/с.

4. Подставим найденные значения в уравнение скорости:

5. Максимальное значение скорость приобретёт в том случае, когда синус будет равен −1 (область определения синуса [−1; 1]), а значит v_max = 0,6 м/с.

Ответ: 0,6 м/с

Механические колебания — это важная тема, которая не только помогает понять повседневные явления, но и встречается в ЕГЭ по физике! Чтобы закрепить знания и уверенно подготовиться к экзаменам, приглашаем вас на курс подготовки к ЕГЭ по физике в онлайн-школу Skysmart. Здесь вы найдёте увлекательные занятия, опытных преподавателей и эффективные методы подготовки, которые помогут вам достигнуть высоких результатов!