Расширенный алгоритм Евклида

Алгоритм Евклида — это классический метод вычисления наибольшего общего делителя (НОД) двух чисел. НОД чисел a и b обозначается как gcd(a, b). Расширенный алгоритм Евклида, кроме НОД(a, b), также находит коэффициенты x и y для уравнения Безу: ax + by = gcd(a, b).

В Roblox можно больше, чем просто играть

Научим детей и подростков программировать и создавать миры в Roblox

Базовый алгоритм Евклида

Для понимания расширенного алгоритма начнем с обычного алгоритма Евклида. Этот метод основан на свойстве: .

Пример на Python:

def gcd(a, b):  
    while b:  
        a, b = b, a % b  
    return a

Расширенный алгоритм Евклида

Расширенный алгоритм возвращает не только НОД(a, b), но и коэффициенты x и y. Коэффициенты можно получить, используя рекурсивное свойство алгоритма Евклида.

Уравнение Безу: .

Пример на Python:

def extended_gcd(a, b):  
    if b == 0:  
        return a, 1, 0  
    else:  
        gcd, x1, y1 = extended_gcd(b, a % b)  
        x = y1  
        y = x1 - (a // b) * y1  
        return gcd, x, y

Применение расширенного алгоритма Евклида может быть полезно в различных областях, включая криптографию. Например, при использовании алгоритма RSA для генерации закрытого ключа.

Давайте найдем решение уравнения Безу для чисел 35 и 15:

a, b = 35, 15  
gcd, x, y = extended_gcd(a, b)  
print(f"gcd({a}, {b}) = {gcd}, x = {x}, y = {y}")

Результатом будет: , так как .

Расширенный алгоритм Евклида является мощным инструментом для нахождения НОД двух чисел и коэффициентов уравнения Безу. Его применение важно в многих областях математики и информатики, особенно в криптографии.