Расстояние между прямыми и плоскостями - задания и теория для подготовки к ЕГЭ

Задание с развернутым ответом

Выполните его и проверьте ответ по критериям ФИПИ

В правильной четырёхугольной призме ABCDA_1B_1C_1D_1 сторона AB основания равна 8, а боковое ребро AA_1 равно 4\sqrt2. На рёбрах BC и C_1D_1 отмечены точки K и L соответственно, причём BK = C_1L = 2. Плоскость \gamma параллельна прямой BD и содержит точки K и L.

а) Докажи, что прямая A_1C перпендикулярна плоскости \gamma.

б) Найди расстояние от точки B до плоскости \gamma.

а) Проведём KK_1 и LL_1 параллельно BD.

K=(6;0;0),\ L=(0;2;4\sqrt2),\ L_1=(2;0;4\sqrt2)

\gamma: x+y+\dfrac z{\sqrt2}-6=0,\ \overrightarrow{n}=\left(1;1;\dfrac 1{\sqrt2}\right)

C(0;0;0),\ A_1(8;8;4\sqrt2)

\overrightarrow{CA_1}=(8;8;4\sqrt2)

\overrightarrow{CA_1}=8\overrightarrow{n}\Rightarrow CA_1\parallel \overrightarrow{n} \Rightarrow CA_1\perp \gamma

б)B=(8;0;0)

\rho(B;\gamma)=\dfrac{8-6}{\sqrt{1+1+\frac12}}=\dfrac{2}{\sqrt{2,5}}=\dfrac{2\sqrt2}{\sqrt5}=\dfrac{2\sqrt{10}}{5}

Ответ: \dfrac{2\sqrt{10}}{5}.

2 балл	Если обоснованно получен верный ответ
1 балл	Если обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек или получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения
0 баллов	Если решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

Ребро правильной шестиугольной призмы MKNPQRM_1K_1N_1Q_1R_1 равно \sqrt{17}.

а) Докажи, что плоскости RKK_1 и Q_1QN параллельны.

б) Найди расстояние между плоскостями RKK_1 и Q_1QN.

а) Угол правильного шестиугольника: \alpha=\dfrac{(n-2)\cdot 180\degree}{n}=120\degree.

Т.к. MKNPQR — правильный многоугольник, треугольник QNP — равнобедренный. Следовательно, \angle QDP= \angle NDP = 60\degree, следовательно, \angle DQP = \angle DNP = 30\degree, следовательно, \angle DQR = \angle DNK = 90\degree.

Аналогично, \angle QRT = \angle TKN = 90\degree.

Следовательно, RQKN — прямоугольник, следовательно, RK\parallel NQ.

Т.к. призма прямая, то RR_1\parallel \QQ_1.

Следовательно, плоскости RKK_1 и Q_1QN параллельны

б) Т.к. MKNPQR — правильный шестиугольник, следовательно, MKNP и MPQR — равные трапеции. Т.к. KNQR — прямоугольник, следовательно, KT, ND, QD, RT — высоты трапеций.

Следовательно, MP\perp QN и MP\perp RK.

Следовательно, отрезок TD — искомый, следовательно, TD=KN=\sqrt{17}.

2 балл	Если обоснованно получен верный ответ
1 балл	Если обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек или получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения
0 баллов	Если решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

В основании прямоугольного параллелепипеда PRTFP_1R_1T_1F_1 лежит квадрат PRTF со стороной 8\sqrt{6}. Боковое ребро равно 2\sqrt{33}.

а) Докажи, что плоскость, проходящая через прямую PT_1 и точку T параллельна ребру R_1R.

Подтвердите выполнение задания:

б) Найди расстояние между прямыми RF и PT_1.

\dfrac{16\sqrt{11}}{10}

2 балл	Если обоснованно получен верный ответ
1 балл	Если обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек или получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения
0 баллов	Если решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

Все рёбра правильной шестиугольной призмы MNPKTGM_1N_1P_1K_1T_1G_1 равны \sqrt{17}. Найди расстояние между прямыми M_1N и TK_1.

\sqrt{51}

Как пользоваться тренажёром

Инструкция

Сперва выберите предмет: обществознание, русский язык, базовую или профильную математику. Далее — формат. Это могут быть задания по конкретной теме или полноценный пробный экзамен со всеми типами заданий и темами по кодификатору.

Первое поможет тогда, когда надо отточить задания лишь по нескольким разделам программы. Выполнять весь тест для этого не нужно. Вместо этого можно выбрать раздел и темы внутри него, чтобы отработать все типы заданий, которые могут попасться на экзамене.

Переключаться между ними можно через кнопку Следующий тип заданий в теме.

Если же остановиться на пробном экзамене, можно будет выбрать один из нескольких вариантов. Далее тренажёр ознакомит вас со всеми условиями пробника: сколько будет заданий и какого типа, что понадобится для выполнения.

Обратите внимание: пробный экзамен в тренажёре повторяет условия реального. А значит, это работа на время, которое будет отсчитывать таймер. Если нужно, во время работы можно будет поставить таймер на паузу. Пока она активна, все задания на экране будут скрыты.

В начале пробника всегда будет инструкция. Она напомнит, какие бывают типы заданий в ЕГЭ, чем они отличаются. А также научит добавлять ответы в тренажёр, чтобы тот правильно их обработал.

Слева — все задания пробника по порядку. Их можно переключать здесь же или нажатием кнопки Следующее задание. Как и на реальном экзамене, задания можно выполнять по очереди или в произвольном порядке. С последним помогут кнопки Показать следующие и Показать предыдущие.

Если задание даётся трудно, перейдите к следующему. Позже можно будет вернуться к пропущенным, если останется время. По окончании теста можно не дожидаться, пока сработает таймер, и нажать Завершить тест. Тогда тренажёр перейдёт к проверке результатов.

Разбор результатов начинается со 2 части пробника. Здесь вы сможете сами сравнить ответ с верным и выставить количество баллов. Это несложно — на той же странице мы понятным языком изложили все критерии оценивания.

После этого тренажёр покажет, сколько баллов вы набрали за экзамен. Здесь же будет видно, в какой части и номерах были ошибки. Разобрать их точнее можно с помощью кнопки под результатами.

В разделе с разбором ошибок можно сверить свои ответы из 1 части экзамена с правильными. Это поможет закрепить знания по теме и не ошибиться в следующий раз.

Удачи и высоких баллов!

1	banner-popap-bts-exams-training	Бот BTS Exams
2	banner-popap-probnik-exams-training	Бот с пробниками Exams

Расстояние между прямыми и плоскостями: задания и теория

Как пользоваться тренажёром

Инструкция