Задание 14 ЕГЭ профиль [2025]: Круглые тела: цилиндр, конус, шар

Задание с развернутым ответом

Выполните его и проверьте ответ по критериям ФИПИ

Радиус основания конуса равен 15, а высота — 3\sqrt{97}. В плоскости основания конуса проведена хорда TR, не являющаяся диаметром. Точка K — середина образующей SR. Отрезок KP параллелен образующей ST, при этом точка P лежит в плоскости основания конуса.

а) Докажи, что угол RPO — прямой, точка O — центр основания конуса.

б) Найди угол между плоскостью основания и прямой TK, если TR=18.

а) Отрезок KP проходит через середину отрещка SR (точка K) и KP \ parallel ST, следовательно, KP — средняя линяя треугольника STR, следовательно, точка P — середина отрезка TR, следовательно, OP \perp TR (отрезок OP лежит на диаметре, а диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам).

б) Рассмторим треугольник SOR: построим KH \perp SO, следовательно, KH — средняя линяя треугольника SOR, следовательно, KH=\dfrac{1}{2} \cdot SO = \dfrac{3\sqrt{97}}{2}

KH перпендикулярна плоскости основания, следовательно, TH — проекция TK на плоскость основания, следовательно, угол KTH — искомый.

TH — медиана треугольника OTR:

TH=\dfrac{\sqrt{2\cdot TO^2 + 2\cdot TR^2 - OR^2}}{2}=\dfrac{3\sqrt{97}}{2}

Следовательно, треугольник BHM — равнобедренный и прямоугольный

Следовательно, \angle KTH = 45\degree

2 балл	Если обоснованно получен верный ответ
1 балл	Если обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек или получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения
0 баллов	Если решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

В основании конуса с вершиной S проведён диаметр RK, а также на окружности конуса отмеченна точка L, не принадлежащая RK. Точка T — середина хорды LK основания конуса.

а) Докажи, что угол между прямой ST и плоскостью RKL равен углу между прямой RL и плоскостью SLK.

б) Найди угол между прямой SR и плоскостью SLK, если RL=18\sqrt{2}, LK=24\sqrt{2}, SR=30.

а) Проекция точки S на плоскость основания конуса — точка O (центр основания конуса.

Т.к. OT \perp LK по теореме о трёх перпендикулярах ST \perp LK, следовательно, угол между прямой ST и плоскостью RKL равен углу STO.

OT \parallel RL (как средняя линяя), следовательно, угол между прямой OT и плоскостью SLK равен углу STO.

б) Обозначим искомы угол \gamma.

\sin \gamma = \dfrac{\rho(R; SLK)}{SR}

O — середина RK, следовательно, \rho(O, SLK}=\dfrac{\rho(R, SLK)}{2}=OH

Рассмотри треугольник SOT:

OH = \dfrac{SO \cdot OT}{ST}

OT=\dfrac{RL}{2}=9\sqrt{2}

ST=\sqrt{SK^2-\dfrac{LK^2}{4}}=6\sqrt{17}

SO = \sqrt{ST^2-OT^2}=15\sqrt{2}

OH = \dfrac{SO \cdot OT}{ST}=\dfrac{45}{\sqrt{17}}

Следовательно, \rho(R, SLK)=2\cdot OH = \dfrac{90}{\sqrt{17}}

\sin \gamma = \dfrac{3}{\sqrt{17}}

\gamma = \arcsin {\dfrac{3}{\sqrt{17}}}

2 балл	Если обоснованно получен верный ответ
1 балл	Если обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек или получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения
0 баллов	Если решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

В прямом цилиндре проведён диаметр основания PQ, хорда основания PR=8\sqrt{3} и образующая QQ_1=8\sqrt{3}. Угол PQR равен 30\degree.

а) Докажи, что угол между прямыми PQ_1 и RQ равен 45\degree.

б) Найди объём цилиндра.

1536\sqrt{3} \pi

2 балл	Если обоснованно получен верный ответ
1 балл	Если обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек или получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения
0 баллов	Если решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

Прямоугольник ABCD и цилиндр расположены таким образом, что AB — диаметр верхнего основания цилиндра, а CD лежит в плоскости нижнего основания и касается его окружности, при этом плоскость прямоугольника наклонена к плоскости основания цилиндра под углом 60^\circ.

а) Докажи, что ABCD — квадрат.

б) Найди длину той части отрезка BD, которая находится снаружи цилиндра, если радиус цилиндра равен 5\sqrt2.

а) Пусть сторона CD прямоугольника касается окружности нижнего основания в точке F, O_1 - центр верхнего основания, O - центр нижнего. Тогда OO_1 - перпендикуляр к плоскости основания, отрезок OF перпендикулярен отрезку CD и отрезок O_1F перпендикулярен CD. Поэтому F - середина CD.

Тогда \angle OFO_1=60^\circ и \cos \angle OFO_1=\dfrac{OF}{O_1F}=\dfrac{r}{O_1F}. (r - радиус цилиндра). \cos \angle OFO_1=\dfrac12, значит O_1F=AD=AB=2r. Таким образом ABCD - квадрат.

б) Отрезок BD пересекает поверхность цилиндра в точке S, M — проекция S, а N — проекция D на плоскость верхнего основания. Тогда MS параллелен ND (MC лежит на образующей).

Значит \dfrac{DS}{SB}=\dfrac{MN}{NB}. Угол AMB=90^\circ, значит \dfrac{NM}{MB}=\dfrac{NM}{MA} \cdot \dfrac{AM}{MB}=\tg \angle NAM \cdot \angle ABM=\tg^2 \angle ABM=\left ( \dfrac{NA}{AB}\right )^2=\dfrac14

\dfrac{DS}{SB}=\dfrac14, значит DT=\dfrac15 BD=\dfrac15 AD\sqrt2=\dfrac{2\sqrt2}{5}r=\dfrac{2\sqrt2}{5}\cdot 5\sqrt2=4

2 балл	Если обоснованно получен верный ответ
1 балл	Если обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек или получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения
0 баллов	Если решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

1	banner-popap-prof-exams-training	ЛМ Профориентация
2	banner-popap-newyearexams-info	Exams прямая воронка

Задание №14 ЕГЭ профиль: Круглые тела: цилиндр, конус, шар

Как пользоваться тренажёром

Инструкция