Окружности и треугольники: задания и теория

Решение.

а) Обозначим \angle ACB = \alpha. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, поэтому MO и NO — биссектрисы внешних углов при вершинах M и N треугольника MCN. Значит, \angle MON = 90° - \dfrac{\alpha}{2} , а так как CO — биссектриса угла ACP, получаем, что

\angle ОСК = \dfrac{\alpha}{2}, \angle COK = 90\degree -\dfrac{\alpha}{2} = \angle MON.

Следовательно,

\angle МОС = \angle MON - \angle CON = \angle СОК - CON = \angle NOK.

б) Луч MO — биссектриса угла AMN, поэтому

\angle АОМ = \angle NMO = \angle АМО.

Значит, треугольник АОМ равнобедренный, AM = АО. Аналогично PN = OP.

Пусть радиус вписанной окружности треугольника ABC равен r, а полупериметр треугольника АВС равен p. Точка O лежит на основании AP трапеции AMNP, поэтому высота трапеции равна r. Тогда

S_{AMNP}=\dfrac{AP + MN}{2} \cdot r = \dfrac{(AO + OP) + MN}{2} \cdot r = \dfrac{(AM + PN) + MN}{2} \cdot r = 4r,

S_{ABC} = \dfrac{1}{2}( АВ + ВС + AC)\cdot r = pr .

Поскольку \dfrac{S_{AMNP}}{S_{ABC}} = \dfrac{4r}{pr} = \dfrac{4}{p} = \dfrac{2}{7}, получаем, что p = 14, а периметр равен 28.

Ответ: б) 28.

Решение.

а) Пусть O — отличная от A_1 точка пересечения окружностей, описанных около треугольников A_1CB и A_1BC_1 (рис.1). Тогда:

\angle A_1OB_1=180\degree -\angle A_1CB_1,

\angle A_1OC_1=180\degree -\angle A_1BC_1, откуда

\angle B_1OC_1=360\degree -\angle A_1OB_1-\angle A_1OC_1=\angle ABC+\angle ACB.

Значит, \angle B_1OC_1+\angle B_1AC_1=180\degree, следовательно, точки A, B_1, O и C_1 лежат на одной окружности.

б) Пусть O_1, O_2 и O_3 — центры окружностей, описанных около треугольников B_1AC_1, A_1BC_1 и A_1CB_1 соответственно (рис.2). Заметим, что AO_1=C_1O_2=C_1O_1=BO_2 как радиусы описанных окружностей около равных треугольников. Значит, треугольники AO_1C_1 и C_1O_2B равны. Кроме того, треугольник O_2C_1O_1 также равен этим треугольникам, поскольку

\angle AO_1C_1=\angle C_1O_2B=\angle O_2C_1O_1.

Таким образом, O_1O_2=AC_1=\frac{AB}{2}. Аналогично, O_1O_3=\frac{AC}{2}, O_2O_3=\frac{BC}{2}, поэтому треугольник O_1O_2O_3 подобен треугольнику ABC с коэффициентом \frac{1}{2} и радиус вписанной в него окружности равен половине радиуса окружности, вписанной в треугольник ABC.

Пусть M — середина BC, а радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, равен r (рис.3). Тогда площадь треугольника ABC

S_{ABC}=\dfrac{AB+BC+AC}{2}\cdot r=16r.

С другой стороны, высота равнобедренного треугольника ABC равна AM=\sqrt{AB^2-BM^2}=8, поэтому S_{ABC}=48. Значит, r=3. Искомый радиус равен \frac{r}{2}=1,5.

Ответ: 1,5.

Решение.

а) Пусть \angle BAC=\alpha, тогда \angle OKC=\angle AKC=90\degree-\alpha и \angle BOC=2\angle BAC=2\alpha. Треугольник BOC равнобедренный, следовательно

\angle OBC=\angle OCB=\dfrac{180\degree-2\alpha}{2}=90\degree-\alpha,

\angle OBC=\angle OKC.

Следовательно, точки O, B, K, C лежат на одной окружности. Следовательно, четырёхугольник OBKC вписанный.

б) По условию \cos{\angle BAC}=\frac{3}{5}, поэтому \sin{\angle BAC}=\frac{4}{5}.

Из теоремы синусов, получаем соотношение для радиуса окружности, описанной около треугольника ABC, таким образом,

OC=\dfrac{BC}{2\sin{\angle BAC}}=\dfrac{48}{2\cdot \frac{4}{5}}=30.

Пусть R — радиус окружности, описанной около четырёхугольника OBKC. В треугольнике OCK имеем:

R=\dfrac{OC}{2\sin{\angle OKC}}=\dfrac{OC}{2\sin{90\degree -\alpha}}=\dfrac{OC}{2\cos{\alpha}}=\dfrac{30}{2\cdot \frac{3}{5}}=25.