Изучайте английский в любое время, в любом месте

Задание с развернутым ответом

Выполните его и проверьте ответ по критериям ФИПИ

Александр написал на доске натуральное число 1825. Затем между каждыми двумя цифрами записал их сумму и получил число 19810275.

а) Существует ли такое натуральное число, из которого можно получить число 711495117125?

б) Найдите число, из которого получено число 310792119134.

в) Какое наибольшее число, кратное 11, может получиться из трехзначного числа?

а) Исходное число 711495117125, вычеркнем суммы 7\sout{11}495117125 (7+4=11, \space7+1 \ne 1), 7\sout{11}4\sout{9}5117125 (4+5=9, \space 4+1 \ne 95), 7\sout{11}4\sout{9}5\space 11 \space7125 (5+1 \ne 1,\space 5+7 \ne 11), следовательно, такое число не существует.

б) Исходное число 310792119134, вычеркнем суммы 3 \sout{10} 7 \sout{9} 2 \sout{11} 9 \sout{13} 4, получим, 37294

в) Обозначим число k=100\cdot a +10\cdot b +c.

Наибольшее возможное количество разрядов в получившемся числе N равно 7, что возможно только при a+b \ge 10, b+c \ge 10, иначе N \lt 1000000.

Т.к. необходимо найти наибольшее число, то a+b\ge 0, \space b+c \ge 0.

Таким образом, t=a\cdot 10^6+1\cdot 10^5 +(a+b-10)\cdot 10^4 + b\cdot 10^3 + 1\cdot 10^2+(b+c-10)\cdot 10+c.

По признаку делимости на 11:

a+(a+b-10)+1+c-(1+b+(b+c-10))=a+a+b-10+1+c-1-b-b-c+10=2a-b

Наибольшее число будет при a=9, при этом число будет делиться на 11 при b=7 и независимо от значения с, следовательно, возьмем максимально возможное c=9.

Следовательно, k=979, подставим суммы 9167169.

В городе N проходит конкурс детских танцевальных коллективов. Выступление каждого участника оценивается целым неотрицательным количеством баллов. Коллектив проходит во второй тур, если он набрал не менее 73 баллов. По окончанию конкурса оказалось, что судьи оценивали коллективы слишком строго и во второй тур прошло слишком мало коллективов. Тогда было принято решение добавить всем коллективам по 5 баллов. Теперь количество коллективов-участников второго тура возросло.

а) Возможно ли, что после добавления баллов, средний балл коллективов, не попавших во второй тур, понизился?

б) Возможно ли, что после добавления баллов, средний балл коллективов, попавших во второй тур, понизился и средний балл коллективов, не попавших во второй тур, тоже понизился?

в) По результатам первого тура средний балл всех коллективов составил 80 баллов. Средний балл коллективов, прошедших во второй тур составил 90 баллов. Средний балл коллективов, не прошедших во второй тур составил 65. После добавления баллов средний балл, коллективов, прошедших во второй тур стал равен 93, а не прошедших — 69. При каком наименьшем количестве коллективов эта ситуация возможна?

а) Допустим было 3 коллектива, которые набрали 92, 72 и 4 балла. Средний балл коллективов, не прошедших во второй тур составил \dfrac{72+4}{2}=38 баллов.

После того, как добавили баллы, получилось, что у коллективов 97, 77 и 8 баллов.

Тогда, средний балл коллективов, не прошедших во второй тур, равен 8. Следовательно, да, возможно.

б) Рассмотрим пример, приведенный выше. Средний балл участников, прошедших во второй тур, изначально составлял 92 балла.

После добавления баллов средний балл участников, прошедших во второй тур составил \dfrac{97+77}{2}=87 баллов. Следовательно, да, возможно.

в) Обозначим N — количество коллективов, A — количество коллективов, которые прошли во второй тур изначально, B — количество участников, которые прошли во второй тур после добавления баллов.

Средний балл после добавления равен 85 баллов.

Составим систему уравнений:

\begin{cases} 80N=65(N-A)+90A \\ 85N=69(N-B)+93B \end{cases}

\begin{cases} 15N=25A \\ 16N=24B \end{cases}

\begin{cases} 3N=5A \\ 2N=3B \end{cases}

Следовательно целое число N делится на 5 и на 3, следовательно N делится на 5. Следовательно N\ge 15.

Убедимся что N может быть равно 15.

Пусть 5 коллективов набрали по 64 балла, 1 коллектив — 70 баллов и 9 коллективов по 90 баллов.

Тогда средний балл был равен 80 баллов, средний балл коллективов, прошедших во второй тур был равен 90 баллов, а средний балл коллективов, не прошедших во второй тур был равен 65.

После добавления баллов средний балл коллективов, прошедших во второй тур стал равен 92 балла, средний балл участников, не прощедших во второй тур стал равен 69.

Что соответствует условию задачи, следовательно N=15.

Артур пишет палочкой на песке различные натуральные числа. Известно, что количество чисел — не менее 2, что любые два из них отличаются не более, чем в 4 раза.

а) Могут ли быть написаны 6 чисел, сумма которых равна 42?

б) Могут ли быть написаны 13 чисел, сумма которых равна 113?

в) Сколько может быть чисел, если их произведение равно 1296?

а) Да, могут: 3 \space 5 \space 6 \space 7 \space 10 \space 11

б) Обозначим наименьшее число за x. Тогда, наибольшее число будет не менее x+12.

По условию: 4x \ge x+12, x \ge 4

Следовательно, сумма 13 чисел не меньше 4+5+...+15+16=130, что больше 113. Следовательно, не могут.

в) Число 1296=2^4 \cdot 3^4

Если на песке написано 2 числа: 48 \cdot 27=1296

Если на песке написано 3 числа: 8 \cdot 18 \cdot 9 = 1296

Если на песке написано 4 числа: 3 \cdot 6 \cdot 8 \cdot 9=1296

Если на песке написано 5 чисел или более, то наименьшее число меньше 5 (т.к. 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 = 720, \space 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 = 2520)

Следовательно, каждое число не превосходит 12.

Число 1296 имеет делители, не превосходящие 12: 1 \space 2 \space 4 \space 8 \space 3 \space 9 \space 6 \space 12.

Из которых невозможно составить комбинацию, удовлетворяющую заданным условиям.

Следовательно, 2, 3 или 4 числа.

Каждый из 28 студентов писал или одну из двух контрольных работ, или написал обе контрольные работы. За каждую работу можно было получить целое число баллов от 0 до 20 включительно. По каждой из двух контрольных работ в отдельности средний балл составил 15. Затем каждый студент назвал наивысший из своих баллов (если студент писал одну работу, то он назвал балл за неё). Среднее арифметическое названных баллов равно S.

а) Приведите пример, когда S \lt 15.

б) Могло ли оказаться, что только два студента написали обе контрольные работы, если S = 13?

в) Какое наименьшее количество студентов могло написать обе контрольные работы, если S = 13?

Решение.

а) Например, если 20 студентов писали обе контрольные работы и получили по 18 баллов за каждую, 4 студента писали только первую контрольную работу и получили по 0 баллов, 4 студента писали только вторую контрольную работу и получили по 0 баллов, то средний балл по каждой из контрольных работ в отдельности составил 15, а S=\dfrac{20\cdot18+0}{28}=\dfrac{90}{7}\lt 15.

б) Поскольку средние баллы по каждой контрольной в отдельности равны 15, средний балл по обеим контрольным работам тоже равен 15. Всего было написано 28+2=30 контрольных работ. Значит, общее количество набранных студентами баллов равно 15\cdot 30=450. При этом сумма наивысших баллов равна 13\cdot 28=364. Следовательно, сумма наименьших баллов, набранных двумя студентами, писавшими обе работы, равна 450-364=86. Но сумма наименьших баллов двух студентов не может превосходить 40. Противоречие.

в) Пусть k — количество студентов, писавших обе контрольные работы, a — сумма баллов студентов, которые писали только одну контрольную работу, b — сумма наибольших баллов студентов, которые писали обе контрольные работы, с — сумма наименьших баллов студентов, которые писали обе контрольные работы.

Тогда суммы всех набранных баллов: a+b+c=15\cdot (28+k)=420+15k, сумма наивысших баллов a+b=13\cdot 28=364. Тогда c=56+15k. С другой стороны, c\le 20k, поэтому 56+15k \le 20k, откуда k \ge 12.

Приведём пример, когда k=12, т.е. если c=236, b=240, a=124. Например, 11 студентов написали обе контрольные работы на 20 баллов, один студент написал обе контрольные, получив за первую 20 баллов, а за вторую 16 баллов, 8 студентов писали только первую контрольную, причём 3 из них написали её на 20 баллов, а 5 из них — на 0 баллов, и 8 студентов писали только вторую контрольную, каждый на 8 баллов. Тогда обе контрольные писали по 20 студентов, набрав за первую 3\cdot 20+12\cdot 20=300 баллов и за вторую 8\cdot 8+11 \cdot 20+16=300 баллов.

Ответ: а) например, если 20 студентов написали обе контрольные работы и получили по 18 баллов, а по 4 студента написали только одну из двух контрольных работ и получили по 0 баллов; б) нет; в) 12.

Сюжетные задачи: кино, театр, мотки верёвки: задания и теория

Как пользоваться тренажёром

Инструкция