Сюжетные задачи: кино, театр, мотки верёвки: задания и теория

а) Допустим было 3 коллектива, которые набрали 92, 72 и 4 балла. Средний балл коллективов, не прошедших во второй тур составил \dfrac{72+4}{2}=38 баллов.

После того, как добавили баллы, получилось, что у коллективов 97, 77 и 8 баллов.

Тогда, средний балл коллективов, не прошедших во второй тур, равен 8. Следовательно, да, возможно.

б) Рассмотрим пример, приведенный выше. Средний балл участников, прошедших во второй тур, изначально составлял 92 балла.

После добавления баллов средний балл участников, прошедших во второй тур составил \dfrac{97+77}{2}=87 баллов. Следовательно, да, возможно.

в) Обозначим N — количество коллективов, A — количество коллективов, которые прошли во второй тур изначально, B — количество участников, которые прошли во второй тур после добавления баллов.

Средний балл после добавления равен 85 баллов.

Составим систему уравнений:

\begin{cases} 80N=65(N-A)+90A \\ 85N=69(N-B)+93B \end{cases}

\begin{cases} 15N=25A \\ 16N=24B \end{cases}

\begin{cases} 3N=5A \\ 2N=3B \end{cases}

Следовательно целое число N делится на 5 и на 3, следовательно N делится на 5. Следовательно N\ge 15.

Убедимся что N может быть равно 15.

Пусть 5 коллективов набрали по 64 балла, 1 коллектив — 70 баллов и 9 коллективов по 90 баллов.

Тогда средний балл был равен 80 баллов, средний балл коллективов, прошедших во второй тур был равен 90 баллов, а средний балл коллективов, не прошедших во второй тур был равен 65.

После добавления баллов средний балл коллективов, прошедших во второй тур стал равен 92 балла, средний балл участников, не прощедших во второй тур стал равен 69.

Что соответствует условию задачи, следовательно N=15.

а) Да, могут: 3 \space 5 \space 6 \space 7 \space 10 \space 11

б) Обозначим наименьшее число за x. Тогда, наибольшее число будет не менее x+12.

По условию: 4x \ge x+12, x \ge 4

Следовательно, сумма 13 чисел не меньше 4+5+...+15+16=130, что больше 113. Следовательно, не могут.

в) Число 1296=2^4 \cdot 3^4

Если на песке написано 2 числа: 48 \cdot 27=1296

Если на песке написано 3 числа: 8 \cdot 18 \cdot 9 = 1296

Если на песке написано 4 числа: 3 \cdot 6 \cdot 8 \cdot 9=1296

Если на песке написано 5 чисел или более, то наименьшее число меньше 5 (т.к. 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 = 720, \space 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 = 2520)

Следовательно, каждое число не превосходит 12.

Число 1296 имеет делители, не превосходящие 12: 1 \space 2 \space 4 \space 8 \space 3 \space 9 \space 6 \space 12.

Из которых невозможно составить комбинацию, удовлетворяющую заданным условиям.

Следовательно, 2, 3 или 4 числа.

Решение.

а) Например, если 20 студентов писали обе контрольные работы и получили по 18 баллов за каждую, 4 студента писали только первую контрольную работу и получили по 0 баллов, 4 студента писали только вторую контрольную работу и получили по 0 баллов, то средний балл по каждой из контрольных работ в отдельности составил 15, а S=\dfrac{20\cdot18+0}{28}=\dfrac{90}{7}\lt 15.

б) Поскольку средние баллы по каждой контрольной в отдельности равны 15, средний балл по обеим контрольным работам тоже равен 15. Всего было написано 28+2=30 контрольных работ. Значит, общее количество набранных студентами баллов равно 15\cdot 30=450. При этом сумма наивысших баллов равна 13\cdot 28=364. Следовательно, сумма наименьших баллов, набранных двумя студентами, писавшими обе работы, равна 450-364=86. Но сумма наименьших баллов двух студентов не может превосходить 40. Противоречие.

в) Пусть k — количество студентов, писавших обе контрольные работы, a — сумма баллов студентов, которые писали только одну контрольную работу, b — сумма наибольших баллов студентов, которые писали обе контрольные работы, с — сумма наименьших баллов студентов, которые писали обе контрольные работы.

Тогда суммы всех набранных баллов: a+b+c=15\cdot (28+k)=420+15k, сумма наивысших баллов a+b=13\cdot 28=364. Тогда c=56+15k. С другой стороны, c\le 20k, поэтому 56+15k \le 20k, откуда k \ge 12.

Приведём пример, когда k=12, т.е. если c=236, b=240, a=124. Например, 11 студентов написали обе контрольные работы на 20 баллов, один студент написал обе контрольные, получив за первую 20 баллов, а за вторую 16 баллов, 8 студентов писали только первую контрольную, причём 3 из них написали её на 20 баллов, а 5 из них — на 0 баллов, и 8 студентов писали только вторую контрольную, каждый на 8 баллов. Тогда обе контрольные писали по 20 студентов, набрав за первую 3\cdot 20+12\cdot 20=300 баллов и за вторую 8\cdot 8+11 \cdot 20+16=300 баллов.

Ответ: а) например, если 20 студентов написали обе контрольные работы и получили по 18 баллов, а по 4 студента написали только одну из двух контрольных работ и получили по 0 баллов; б) нет; в) 12.